Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng hay, chi tiết

Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

* Để chứng tỏ ba vectơ đồng phẳng, ta hoàn toàn có thể chứng tỏ bằng một trong những cách :
– Chứng minh những giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng .

– Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: c→
= ma→
+ nb→
thì a→
; b→
; c→
đồng phẳng.

+ Để phân tích một vectơ x ⃗ theo ba vectơ a→; b→; c→ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x→ = ma→ + nb→ + pc→ .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai?

A. IK→ = (1/2)AC→ = (1/2)A’C’→

B. Bốn điểm I ; K ; C ; A đồng phẳng .

C. BD→ + 2IK→ = 2BC→

D. Ba vectơ BD→ ; IK→ ; B’C’→ không đồng phẳng.

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Chọn D .
Ta xét những giải pháp :
+ A đúng do đặc thù đường trung bình trong tam giác A’BC ’ và đặc thù của hình bình hành ACC’A ’ .
+ B đúng do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK / / AC
⇒ bốn điểm I ; K ; C ; A đồng phẳng .
+ C đúng do việc ta nghiên cứu và phân tích :

+ D sai do giá của ba vectơ BD→ ; IK→ ; B’C’→ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→
; b→
; c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ + b→, y→ = a→ – b→ – c→, z→ = -3b→ – 2c→. Chọn khẳng định đúng?

A. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng

B. Ba vectơ x→, a→ cùng phương

C. Ba vectơ x→, b→ cùng phương

D. Ba vectơ x→, y→, z→ đôi một cùng phương

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. BD→, AK→, GF→ đồng phẳng

B. BD→, IK→, GF→ đồng phẳng

C. BD→, EK→, GF→ đồng phẳng

D. BD→, IK→, GC→ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn B.

+ Xét tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác .
⇒ IK / / AC nên IK / / mp ( ABCD ) .
+ BC / / GF nên GF / / mp ( ABCD )

+

Ví dụ 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.

B. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có một vectơ 0→ thì ba vectơ đó đồng phẳng.

C. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có giá ba vecto AB→; AD→ và AA’→ đôi một cắt nhau nhưng ba vecto đó không đồng phẳng.

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai ?

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M; N sao cho AM= 3MD; BN= 3NC. Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng.

B. Các vectơ MN→, DC→, PQ→ đồng phẳng.

C. Các vectơ AB→, DC→, PQ→ đồng phẳng.

D. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD ; BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng

B. Các vectơ AB→, AC→, MN→ không đồng phẳng

C. Các vectơ AN→, CM→, MN→ đồng phẳng

D. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn C.

A. Đúng vì MN→ = (1/2)(AB→ + DC→)

B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN→
thì MN→ không nằm trong mặt phẳng ( ABC) .

C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN→ không nằm trong mặt phẳng (CMN) .

D. Đúng vì MN→ = (1/2)(AC→ + BD→)

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ x→ = a→ + b→ + 2c→, y→ = 2a→ – 3b→ – 6c→, z→ = –a→ + 3b→ + 6c→ đồng phẳng.

B. Các vectơ x→ = a→ – 2b→ + 4c→, y→ = 3a→ – 3b→ + 2c→, z→ = 2a→ – 3b→ – 3c→ đồng phẳng.

C. Các vectơ x→ = a→ + b→ + c→, y→ = 2a→ – 3b→ + c→, z→ = –a→ + 3b→ + 3c→ đồng phẳng.

D. Các vectơ x→ = a→ + b→ – c→, y→ = 2a→ – b→ + 3c→, z→ = –a→ – b→ + 2c→ đồng phẳng.

Hiển thị lời giải

Chọn B

Các vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng ⇔ ∃ m, n: x→ = my→ + nz→

+ Xét giải pháp C :

Câu 2: Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: PI→ = k(PA→ + PB→ + PC→ + PD→)

A. k = 4 B. k = 1/2 C. k = 1/4 D. k = 2
Hiển thị lời giải

Chọn C

Do M ; N lần lượt là trung điểm của AC ; BD nên ta có :

Vậy k = 1/4

Câu 3: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI→ = (1/2) (OA→ + OB→)

B. Vì AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→ nên bốn điểm A : B ; C ; D đồng phẳng

C. Vì NM→ + NP→ = 0→ nên N là trung điểm đoạn NP

D. Từ hệ thức AB→ = 2AC→ – 8AD→ ta suy ra ba vectơ AB→, AC→, AD→ đồng phẳng

Hiển thị lời giải

Chọn B.

Do AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→ đúng với mọi điểm A : B ; C ; D nên câu B sai

Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Từ AB→ = 3AC→ ta suy ra BA→ = -3CA→

B. Nếu AB→ = (-1/2)BC→ thì B là trung điểm đoạn AC.

C. Vì AB→ = -2AC→ + 5AD→ nên bốn điểm A ; B ; C ; D đồng phẳng

D. Từ AB→ = -3AC→ ta suy ra CB→ = 2AC→ .

Hiển thị lời giải

Chọn C

Ta xét những giải pháp :

+ Phương án A: Nếu AB→ = 3AC→ thì BA→ = 3CA→ ⇒ A sai.

+ Phương án B: nếu AB→ = (-1/2)BC→ thì A là trung điểm của BC. ⇒ B sai

+ Phương án C :

Ta có: AB→ = -2AC→ + 5AD→

Suy ra: AB→, AC→, AD→ hay bốn điểm A : B ; C ; D đồng phẳng. ⇒ C đúng

+ Nếu AB→ = -3AC→ thì AC→ + CB→ = -3AC→ hay CB→ = -4AC→ nên D sai.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC; SB, AB và AC. Tìm mệnh đề sai ?

A. Hai vecto MN→ và PQ→ cùng phương

B. Ba vecto MN→; PQ→ và BC→ đồng phẳng

C. Ba vecto MN→; BC→ và AC→ đồng phẳng

D. A đúng và B sai
Hiển thị lời giải
+ Xét tam giác SBC có M và N lần lượt là trung điểm của SC và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SBC .
⇒ MN là đường trung bình của tam giác .
⇒ MN / / BC ; MN = 1/2 BC ( 1 )
+ Tương tự ; ta chứng tỏ được PQ là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ PQ / / BC ; PQ = 1/2 BC ( 2 )

Từ (1) và ( 2) suy ra: MN//PQ nên Hai vecto MN→ và PQ→ cùng phương .

Chọn D

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.