Trong hình học, đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Giao điểm của đường cao và đáy được gọi là chân của đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Nội dung chính

• Tính chất ba đường cao của tam giác
• Đường cao của tam giác là gì?
• Tính chất ba đường cao của tam giác
• Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân
• Tính chất
• Nhận xét
• Tính chất ba đường cao của tam giác đều
• Câu hỏi, bài tập về tính chất ba đường cao của tam giác
• Video liên quan

Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại trực tâmBa đường cao của một tam giác đồng quy tại trực tâm

Độ dài đường cao được sử dụng để tính diện tích quy hoạnh của một tam giác : diện tích quy hoạnh tam giác bằng nửa tích đường cao nhân với đáy. Vì vậy, đường cao dài nhất vuông góc với cạnh ngắn nhất của tam giác. Các đường cao cũng tương quan đến những cạnh của tam giác qua những hàm lượng giác .

Độ dài đường cao thường được ký hiệu là chữ h (viết tắt cho từ tiếng Anh height; có nghĩa là “chiều cao”) và thường viết xuống dưới là chữ đại diện cho độ dài của cạnh đường cao đó cắt. Ví dụ, đường cao vuông góc cạnh c sẽ được ký hiệu là
h
c
{\displaystyle h_{c}}

Trong một tam giác cân (tam giác có hai cạnh bằng nhau), có đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến[1] ứng với cạnh đáy đó. Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.

Trong một tam giác vuông (tam giác có một góc bằng 90°), đường cao có đáy là một cạnh góc vuông trùng với cạnh góc vuông còn lại. Đường cao với đáy là cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài lần lượt là p và q, ta có quan hệ:

h
c
=
p
q
{\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}

Độ dài đường cao Có nhiều cách để tính độ dài đường cao, cách đơn thuần để tính độ dài đường cao khi có độ dài ba cạnh là dùng công thức Heron .
Với a, b, c là độ dài những cạnh ; p là nửa chu vi tam giác :
p = ( a + b + c ) 2 { \ displaystyle p = { \ frac { ( a + b + c ) } { 2 } } }” Trực tâm ” chuyển hướng đến đây. Đừng nhầm lẫn với Hệ thống trực giao .
Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác .Ta có đặc thù : ” Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại ” .Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của nó .

Tính chất:

Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối lập của cạnh đó .Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ những đỉnh A, B, C đến những cạnh BC, AC, AB tương ứng .

Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

1. ^

Bản mẫu : Sẽ

• Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p. 20, 1928.
• Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.
• Bogomolny, A. “The Altitudes.” http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.html Lưu trữ 2008-07-04 tại Wayback Machine.
• Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. “More on the Altitude and Orthocentric Triangle.” §2.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 9 and 36-40, 1967.

1. Các kiến thức cần nhớ

Trên hình, $ H $ là trực tâm của \ ( \ Delta ABC. \ )

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

Sử dụng đặc thù trực tâm của tam giác .
Nếu \ ( H \ ) là giao điểm của hai đường cao kẻ từ \ ( B \ ) và \ ( C \ ) của \ ( \ Delta ABC \ ) thì \ ( AH \ bot BC. \ )

Dạng 2: Bài toán về đường cao với tam giác, tam giác cân, tam giác đều

Phương pháp:

– Sử dụng đặc thù vuông góc của đường cao so với cạnh đối lập
– Sử dụng định lý “ Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó ” để một trong những đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là những đường còn lại .
– Sử dụng nhận xét : Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường ( đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao ) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân .

Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.

Tính chất ba đường cao của tam giác là kỹ năng và kiến thức quan trọng trong toán học ở cấp hai. Cùng GiaiNgo tìm hiểu và khám phá triết lý này và bài tập vận dụng nhé !

Tính chất ba đường cao của tam giác là gì? Đây là một trong những phần lý thuyết khá quan trọng trong môn Toán với các bạn học sinh cấp 2. Trong bài viết này, GiaiNgo sẽ mách nhỏ cho bạn tính chất ba đường cao của tam giác là gì nhé!

Tính chất ba đường cao của tam giác

Tính chất ba đường cao của tam giác là phần kỹ năng và kiến thức khá quen thuộc, nằm trong chương trình Toán lớp 7. Tuy nhiên, nhiều bạn học viên còn gặp khó khăn vất vả khi giải những bài tập tương quan đến nó .
Để hiểu rõ hơn về đặc thù ba đường cao của tam giác, mời bạn theo dõi bài viết bên dưới của GiaiNgo nhé !

Đường cao của tam giác là gì?

Trước khi khám phá đặc thù ba đường cao của tam giác, hãy cùng GiaiNgo ôn lại định nghĩa đường cao của tam giác là gì nhé !
Trong toán học, đường cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng và vuông góc với cạnh đối lập. Cạnh đối lập này thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao. Mỗi tam giác có ba đường cao .
Theo triết lý, giao điểm của đường cao với đáy được gọi là chân đường cao. Độ dài của đường cao theo định nghĩa là khoảng cách giữa đỉnh và đáy .

Tính chất ba đường cao của tam giác

Đường cao của tam giác được vận dụng phong phú những loại bài tập. Vậy bạn có biết đặc thù ba đường cao của tam giác là gì không ?
Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác. Một điểm quan tâm nhỏ cho những bạn, trực tâm của một tam giác hoàn toàn có thể nằm trong hoặc trùng với một đỉnh hoặc nằm ngoài tam giác đó.

Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

Tính chất

Trong một tam giác cân ( tam giác có hai cạnh bằng nhau ), đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối lập với cạnh đó .
Giả sử, tam giác cân ABC có AH là đường trung trực. Từ đó, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể suy ra AH là đường phân giác của góc A ; AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC ; AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A .

Nhận xét

Tóm lại để giải tốt những bài tập tương quan đến đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực và đường phân giác trong tam giác cân, bạn cần ghi nhớ những đặc thù mà GiaiNgo đã gợi ý ở trên. Ngoài ra, bạn cũng hoàn toàn có thể vận dụng nhận xét sau đây :
Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường ( trung tuyến, phân giác và đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối lập của đỉnh này ) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân .

Tính chất ba đường cao của tam giác đều

Tính chất ba đường cao của tam giác đều là gì ? Tiếp tục theo dõi bài viết của GiaiNgo để tìm ra câu vấn đáp đúng mực nhé !
Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. Giả sử, ta có tam giác ABC và những điểm như hình bên dưới :
Vì tam giác ABC là tam giác đều nên những bạn hoàn toàn có thể suy ra, H là trọng tâm ( giao của ba đường trung tuyến ) ; H là trực tâm ( giao của ba đường cao ) ; H là điểm cách đều ba đỉnh A, B, C ( giao của ba đường trung trực ) ; H là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, AC ( giao của ba đường phân giác ) .
Từ đây, hoàn toàn có thể thấy đường đặc biệt quan trọng trong tam giác đều ( đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực, đường phân giác ) cùng đi qua một điểm .

Câu hỏi, bài tập về tính chất ba đường cao của tam giác

Sau khi kết thúc phần triết lý, mời bạn đọc tìm hiểu thêm một số ít câu hỏi và bài tập tương quan đến đặc thù ba đường cao của tam giác nhé !
Bài 1 : Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Bạn hãy chọn phát biểu đúng :
A. H là trọng tâm của ΔABC
B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
C. CH là đường cao của ΔABC
D. CH là đường trung trực của ΔABC
Đáp án đúng : C. Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH là đường cao của ΔABC và H là trực tâm tam giác ΔABC .
Bài 2 : Cho ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó :
A. AM ⊥ BC
B. AM là đường trung trực của BC
C. AM là đường phân giác của góc BAC
D. Cả A, B, C đều đúng
Đáp án đúng : D. Vì ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác ABC .
Bài tập vận dụng : Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. ΔAIK là tam giác gì ?
A. ΔAIK là tam giác cân tại B
B. ΔAIK là tam giác vuông cân tại A
C. ΔAIK là tam giác vuông
D. ΔAIK là tam giác đều

Đáp án đúng: B.

Bạn hãy thử vận dụng những kiến thức và kỹ năng mà GiaiNgo san sẻ ở trên để giải bài tập này nhé !
Trên đây là tất tần tật kỹ năng và kiến thức về đặc thù ba đường cao của tam giác và 1 số ít bài tập vận dụng. Theo dõi GiaiNgo để có thêm nhiều kiến thức và kỹ năng hữu dụng nhé !