Cách khác: Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Suy ra ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right].$

Bước 2. $ d \ left ( { { d_1 }, { d_2 } } \ right ) = d \ left ( { { d_2 }, \ left ( P \ right ) } \ right ) = d \ left ( { { M_2 }, \ left ( P \ right ) } \ right ). $

Ví dụ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 – 2t\\
z = 14 – 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 – 4\lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z = – 1 + 5\lambda
\end{array} \right..$

Giải. Ta có ${\vec u_1} = \left( {1; – 2; – 3} \right),\;\;{\vec u_1} = \left( { – 4;1;5} \right) \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { – 7;7; – 7} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { – 7} \right)}^2} + {7^2} + {{\left( { – 7} \right)}^2}} = 7\sqrt 3 .$
Ta cũng có ${M_1}\left( {0;5;14} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {9;3; – 1} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {9; – 2; – 15} \right).$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = – 7 \cdot 9 + 7 \cdot \left( { – 2} \right) – 7 \cdot \left( { – 15} \right) = 28.$
Như vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{28}}{{7\sqrt 3 }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$

Cách khác. Ta có ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { – 7;7; – 7} \right) = – 7\left( {1; – 1;1} \right)$ và $M\left( {0;5;14} \right) \in {d_1} \subset \left( P \right).$ Suy ra $$\left( P \right):1 \cdot \left( {x – 0} \right) – 1 \cdot \left( {y – 5} \right) + 1 \cdot \left( {z – 14} \right) = 0 \Leftrightarrow x – y + z – 9 = 0.$$ Như vây $$d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {9 – 3 – 1 – 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$$

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

Ta có $ { \ vec n_P } = \ left [ { { { \ vec u } _ { { d_1 } } }, { { \ vec u } _ { { d_2 } } } } \ right ] = \ left ( { – 7 ; 7 ; – 7 } \ right ) = – 7 \ left ( { 1 ; – 1 ; 1 } \ right ) USD và USD M \ left ( { 0 ; 5 ; 14 } \ right ) \ in { d_1 } \ subset \ left ( P \ right ). $ Suy ra $ $ \ left ( P \ right ) : 1 \ cdot \ left ( { x – 0 } \ right ) – 1 \ cdot \ left ( { y – 5 } \ right ) + 1 \ cdot \ left ( { z – 14 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x – y + z – 9 = 0. $ $ Như vây $ $ d \ left ( { { d_1 }, { d_2 } } \ right ) = d \ left ( { { M_2 }, \ left ( P \ right ) } \ right ) = \ frac { { \ left | { 9 – 3 – 1 – 9 } \ right | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } } } = \ frac { 4 } { { \ sqrt 3 } }. $ $

Video liên quan