Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân.

Bài này viết về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Đối với bất đẳng thức trong tích vectơ, xem Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Trong toán học, bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Vì có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng cách chứng minh quy nạp của Cauchy được đánh giá là hiệu quả nhất nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means).

Bất đẳng thức AM-GM có thể được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

• Với 2 số thực dương a và b:

a
+
b

2

≥

a
b

{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}

Bạn đang đọc: Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân.

khi và chỉ khi a = b { \ displaystyle a = b }

• Với n số:

x 1 + x 2 +. .. + x n n ≥ x 1. x 2. .. .. x n n { \ displaystyle { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { n } } { n } } \ geq { \ sqrt [ { n } ] { x_ { 1 }. x_ { 2 } ….. x_ { n } } } }

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 =. .. = x n { \ displaystyle x_ { 1 } = x_ { 2 } = … = x_ { n } \, }

Trung bình có thông số :.

Cho n số x1, x2,…, xn ≥ 0
và các hệ số α1, α2,…, αn > 0

Đặt

α
=

α

1

+

α

2

+
⋯
+

α

n

{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}

.

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có thông số, như sau :

α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n α ≥ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α { \ displaystyle { \ frac { \ alpha _ { 1 } x_ { 1 } + \ alpha _ { 2 } x_ { 2 } + \ cdots + \ alpha _ { n } x_ { n } } { \ alpha } } \ geq { \ sqrt [ { \ alpha } ] { x_ { 1 } ^ { \ alpha _ { 1 } } x_ { 2 } ^ { \ alpha _ { 2 } } \ cdots x_ { n } ^ { \ alpha _ { n } } } } }

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi

x

1

=

x

2

=
⋯
=

x

n

{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}

Với những loại trung bình khác :.

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

n 1 x 1 + 1 x 2 +. .. + 1 x n ≤ x 1 x 2. .. x n n ≤ x 1 + x 2 +. .. + x n n { \ displaystyle { \ frac { n } { { \ frac { 1 } { x_ { 1 } } } + { \ frac { 1 } { x_ { 2 } } } + … + { \ frac { 1 } { x_ { n } } } } } \ leq { \ sqrt [ { n } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { n } } } \ leq { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { n } } { n } } }

Đẳng thức khi và chỉ khi x 1 = x 2 = ⋯ = x n { \ displaystyle x_ { 1 } = x_ { 2 } = \ cdots = x_ { n } }

Ví dụ ứng dụng.

Cho hàm số sau :

f ( x, y, z ) = x y + y z + z x 3 { \ displaystyle f ( x, y, z ) = { \ frac { x } { y } } + { \ sqrt { \ frac { y } { z } } } + { \ sqrt [ { 3 } ] { \ frac { z } { x } } } }

Với x, y và z là các số thực dương. Giả sử rằng ta phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

f ( x, y, z ) { \ displaystyle f ( x, y, z ) \, \ ; }	= 6 ⋅ x y + 1 2 y z + 1 2 y z + 1 3 z x 3 + 1 3 z x 3 + 1 3 z x 3 6 { \ displaystyle = 6 \ cdot { \ frac { { \ frac { x } { y } } + { \ frac { 1 } { 2 } } { \ sqrt { \ frac { y } { z } } } + { \ frac { 1 } { 2 } } { \ sqrt { \ frac { y } { z } } } + { \ frac { 1 } { 3 } } { \ sqrt [ { 3 } ] { \ frac { z } { x } } } + { \ frac { 1 } { 3 } } { \ sqrt [ { 3 } ] { \ frac { z } { x } } } + { \ frac { 1 } { 3 } } { \ sqrt [ { 3 } ] { \ frac { z } { x } } } } { 6 } } }
	≥ 6 ⋅ x y ⋅ 1 2 y z ⋅ 1 2 y z ⋅ 1 3 z x 3 ⋅ 1 3 z x 3 ⋅ 1 3 z x 3 6 { \ displaystyle \ geq 6 \ cdot { \ sqrt [ { 6 } ] { { \ frac { x } { y } } \ cdot { \ frac { 1 } { 2 } } { \ sqrt { \ frac { y } { z } } } \ cdot { \ frac { 1 } { 2 } } { \ sqrt { \ frac { y } { z } } } \ cdot { \ frac { 1 } { 3 } } { \ sqrt [ { 3 } ] { \ frac { z } { x } } } \ cdot { \ frac { 1 } { 3 } } { \ sqrt [ { 3 } ] { \ frac { z } { x } } } \ cdot { \ frac { 1 } { 3 } } { \ sqrt [ { 3 } ] { \ frac { z } { x } } } } } }
	= 6 ⋅ 1 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 x y y z z x 6 { \ displaystyle = 6 \ cdot { \ sqrt [ { 6 } ] { { \ frac { 1 } { 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 } } { \ frac { x } { y } } { \ frac { y } { z } } { \ frac { z } { x } } } } }
	= 2 2 / 3 ⋅ 3 1 / 2 { \ displaystyle = 2 ^ { 2/3 } \ cdot 3 ^ { 1/2 } }

Vậy ta có giá trị nhỏ nhất của :

f ( x, y, z ) là 2 2 / 3 ⋅ 3 1 / 2 khi x y = 1 2 y z = 1 3 z x 3. { \ displaystyle f ( x, y, z ) { \ mbox { là } } 2 ^ { 2/3 } \ cdot 3 ^ { 1/2 } \ quad { \ mbox { khi } } \ quad { \ frac { x } { y } } = { \ frac { 1 } { 2 } } { \ sqrt { \ frac { y } { z } } } = { \ frac { 1 } { 3 } } { \ sqrt [ { 3 } ] { \ frac { z } { x } } }. }

Chứng minh bằng quy nạp.

Đặt :

μ = x 1 + ⋯ + x n n { \ displaystyle \ mu = { \ frac { \ x_ { 1 } + \ cdots + x_ { n } } { n } } }

bất đẳng thức tương đương với
x1,…,xn là các số thực không âm, ta có:

μ n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n { \ displaystyle \ mu ^ { n } \ geq x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { n } \, }

dấu bằng xảy ra nếu μ = xi với mọi i = 1,…,n.

Chứng minh dưới đây vận dụng giải pháp quy nạp toán học .

Cơ sở: với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả thiết quy nạp: giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1).

Quy nạp: xét n + 1 một số thực không âm. Ta có:

( n + 1 ) μ = x 1 + ⋯ + x n + x n + 1. { \ displaystyle ( n + 1 ) \ mu = \ x_ { 1 } + \ cdots + x_ { n } + x_ { n + 1 }. \, }

Nếu tất cả các số đều bằng μ, thì ta có đẳng thức và đã được chứng minh. Ngược lại, ta sẽ tìm được ít nhất một số nhỏ hơn μ và một số lớn hơn μ, không mất tính tổng quát, xem rằng: xn > μ và xn+1 μ. Ta có:

( x n − μ ) ( μ − x n + 1 ) > 0. ( ∗ ) { \ displaystyle ( x_ { n } – \ mu ) ( \ mu – x_ { n + 1 } ) > 0 \ ,. \ qquad ( * ) }x 1, …, x n − 1, x n ′ { \ displaystyle x_ { 1 }, \ ldots, x_ { n-1 }, x_ { n } ‘ }x n ′ = x n + x n + 1 − μ ≥ x n − μ > 0, { \ displaystyle x_ { n } ‘ = x_ { n } + x_ { n + 1 } – \ mu \ geq x_ { n } – \ mu > 0 \, , }n μ = x 1 + ⋯ + x n − 1 + x n + x n + 1 − μ ⏟ = x n ′, { \ displaystyle n \ mu = x_ { 1 } + \ cdots + x_ { n-1 } + \ underbrace { x_ { n } + x_ { n + 1 } – \ mu } _ { = \, x_ { n } ‘ }, }

μ cũng là trung bình cộng của

x

1

,
…
,

x

n
−
1

,

x

n

′

{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n}’}

và theo giả thuyết quy nạp ta có

μ n + 1 = μ n ⋅ μ ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n ′ μ. ( ∗ ∗ ) { \ displaystyle \ mu ^ { n + 1 } = \ mu ^ { n } \ cdot \ mu \ geq x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { n-1 } x_ { n } ‘ \ mu. \ qquad ( * * ) }

Mặt khác từ ( * ) ta có

( x n + x n + 1 − μ ⏟ = x n ′ ) μ − x n x n + 1 = ( x n − μ ) ( μ − x n + 1 ) > 0, { \ displaystyle ( \ underbrace { x_ { n } + x_ { n + 1 } – \ mu } _ { = \, x_ { n } ‘ } ) \ mu – x_ { n } x_ { n + 1 } = ( x_ { n } – \ mu ) ( \ mu – x_ { n + 1 } ) > 0, }x n ′ μ > x n x n + 1, ( ∗ ∗ ∗ ) { \ displaystyle x_ { n } ‘ \ mu > x_ { n } x_ { n + 1 } \, , \ qquad ( { * } { * } { * } ) }μ n + 1 > x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n x n + 1, { \ displaystyle \ mu ^ { n + 1 } > x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { n-1 } x_ { n } x_ { n + 1 } \, , }Chứng minh cho trường hợp không thông số.

Trường hợp n = 2

.

Với mọi thực

x

1

,

x

2

≥
0

{\displaystyle x_{1},x_{2}\geq 0}

, ta luôn có:

( x 1 − x 2 ) 2 ≥ 0 ⇔ x 1 − 2 x 1 x 2 + x 2 ≥ 0 ⇔ x 1 + x 2 ≥ 2 x 1 x 2 ⇔ x 1 + x 2 2 ≥ x 1 x 2 { \ displaystyle ( { \ sqrt { x_ { 1 } } } – { \ sqrt { x_ { 2 } } } ) ^ { 2 } \ geq 0 \ Leftrightarrow x_ { 1 } – 2 { \ sqrt { x_ { 1 } x_ { 2 } } } + x_ { 2 } \ geq 0 \ Leftrightarrow x_ { 1 } + x_ { 2 } \ geq 2 { \ sqrt { x_ { 1 } x_ { 2 } } } \ Leftrightarrow { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } } { 2 } } \ geq { \ sqrt { x_ { 1 } x_ { 2 } } } }

Trường hợp n = 2k

.

Giả sử

x 1 + x 2 +. .. + x k k ≥ x 1 x 2. .. x k k { \ displaystyle { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { k } } { k } } \ geq { \ sqrt [ { k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { k } } } }

Ta có :

x 1 + x 2 +. .. + x k + x k + 1 + x k + 2 +. .. + x 2 k ≥ k x 1 x 2. .. x k k + k x k + 1 x k + 2. .. x 2 k k ( 1 ) { \ displaystyle x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { k } + x_ { k + 1 } + x_ { k + 2 } + … + x_ { 2 k } \ geq k { \ sqrt [ { k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { k } } } + k { \ sqrt [ { k } ] { x_ { k + 1 } x_ { k + 2 } … x_ { 2 k } } } ( 1 ) }

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với trường hợp

n
=
2

{\displaystyle n=2}

, ta lại có:

Xem thêm: Từ đồng âm trong tiếng Việt.

k x 1 x 2. .. x k k + k x k + 1 x k + 2. .. x 2 k k ≥ 2 k x 1 x 2. .. x 2 k 2 k ( 2 ) { \ displaystyle k { \ sqrt [ { k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { k } } } + k { \ sqrt [ { k } ] { x_ { k + 1 } x_ { k + 2 } … x_ { 2 k } } } \ geq 2 k { \ sqrt [ { 2 k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k } } } ( 2 ) }

Từ

(
1
)

{\displaystyle (1)}

và

(
2
)

{\displaystyle (2)}

, ta có được bất đẳng thức

x 1 + x 2 +. .. + x 2 k ≥ 2 k x 1 x 2. .. x 2 k 2 k { \ displaystyle x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { 2 k } \ geq 2 k { \ sqrt [ { 2 k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k } } } }

Trường hợp n = 2k – 1

.

Giả sử

x 1 + x 2 +. .. + x k k ≥ x 1 x 2. .. x k k { \ displaystyle { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { k } } { k } } \ geq { \ sqrt [ { k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { k } } } }

Ta có :

x 1 + x 2 +. .. + x k + x k + 1 + x k + 2. .. + x 2 k − 1 + x 1 x 2. .. x 2 k − 1 2 k − 1 ≥ k x 1 x 2. .. x k k + k x k + 1 x k + 2. .. x 2 k − 1 x 1 x 2. .. x 2 k − 1 2 k − 1 k ( 3 ) { \ displaystyle x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { k } + x_ { k + 1 } + x_ { k + 2 } … + x_ { 2 k – 1 } + { \ sqrt [ { 2 k – 1 } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } } } \ geq k { \ sqrt [ { k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { k } } } + k { \ sqrt [ { k } ] { x_ { k + 1 } x_ { k + 2 } … x_ { 2 k – 1 } { \ sqrt [ { 2 k – 1 } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } } } } } ( 3 ) }

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với trường hợp n = 2 { \ displaystyle n = 2 }, ta lại có :

k x 1 x 2. .. x k k + k x k + 1 x k + 2. .. x 1 x 2. .. x 2 k − 1 2 k − 1 k ≥ 2 k x 1 x 2. .. x 2 k − 1 x 1 x 2. .. x 2 k − 1 2 k − 1 2 k = 2 k x 1 x 2. .. x 2 k − 1 2 k − 1 ( 4 ) { \ displaystyle k { \ sqrt [ { k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { k } } } + k { \ sqrt [ { k } ] { x_ { k + 1 } x_ { k + 2 } … { \ sqrt [ { 2 k – 1 } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } } } } } \ geq 2 k { \ sqrt [ { 2 k } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } { \ sqrt [ { 2 k – 1 } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } } } } } = 2 k { \ sqrt [ { 2 k – 1 } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } } } ( 4 ) }

Từ

(
3
)

{\displaystyle (3)}

và

(
4
)

{\displaystyle (4)}

, ta có:

x 1 + x 2 +. .. + x k + x k + 1 +. .. + x 2 k − 1 + x 1 x 2. .. x 2 k − 1 2 k − 1 ≥ 2 k x 1 x 2. .. x 2 k − 1 2 k − 1 { \ displaystyle x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { k } + x_ { k + 1 } + … + x_ { 2 k – 1 } + { \ sqrt [ { 2 k – 1 } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } } } \ geq 2 k { \ sqrt [ { 2 k – 1 } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } } } }

Cuối cùng, ta được bất đẳng thức :

x 1 + x 2. .. + x 2 k − 1 ≥ ( 2 k − 1 ) x 1 x 2. .. x 2 k − 1 2 k − 1 { \ displaystyle x_ { 1 } + x_ { 2 } … + x_ { 2 k – 1 } \ geq ( 2 k – 1 ) { \ sqrt [ { 2 k – 1 } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { 2 k – 1 } } } }

Chứng minh của Pólya.

George Pólya đưa ra một chứng tỏ cho bất đẳng thức như sau : [ 2 ]

Gọi f(x) = ex−1 − x, có đạo hàm f‘(x) = ex−1 − 1. Ta thấy f‘(1) = 0 và từ đó f có giá trị nhỏ nhất tại f(1) = 0. Từ đó x ≤ ex−1 đối với mọi số thực x.

Xét một dãy các số thực không âm

a

1

,

a

2

,
…
,

a

n

{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}

với trung bình cộng μ. Áp dụng bất đẳng thức ở trên ta có:

a 1 μ a 2 μ ⋯ a n μ ≤ e a 1 μ − 1 e a 2 μ − 1 ⋯ e a n μ − 1 = exp ⁡ ( a 1 μ − 1 + a 2 μ − 1 + ⋯ + a n μ − 1 ). ( 1 ) { \ displaystyle { { \ frac { a_ { 1 } } { \ mu } } { \ frac { a_ { 2 } } { \ mu } } \ cdots { \ frac { a_ { n } } { \ mu } } } \ leq { e ^ { { \ frac { a_ { 1 } } { \ mu } } – 1 } e ^ { { \ frac { a_ { 2 } } { \ mu } } – 1 } \ cdots e ^ { { \ frac { a_ { n } } { \ mu } } – 1 } } = \ exp \ left ( { \ frac { a_ { 1 } } { \ mu } } – 1 + { \ frac { a_ { 2 } } { \ mu } } – 1 + \ cdots + { \ frac { a_ { n } } { \ mu } } – 1 \ right ). \ qquad ( 1 ) }

Nhưng số mũ hoàn toàn có thể rút gọn thành :

a 1 μ − 1 + a 2 μ − 1 + ⋯ + a n μ − 1 = ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) μ − n = n − n = 0. { \ displaystyle { \ frac { a_ { 1 } } { \ mu } } – 1 + { \ frac { a_ { 2 } } { \ mu } } – 1 + \ cdots + { \ frac { a_ { n } } { \ mu } } – 1 = { \ frac { ( a_ { 1 } + a_ { 2 } + \ cdots + a_ { n } ) } { \ mu } } – n = n-n = 0. }

Trở lại ( 1 ) ,

a 1 a 2 ⋯ a n μ n ≤ e 0 = 1 { \ displaystyle { \ frac { a_ { 1 } a_ { 2 } \ cdots a_ { n } } { \ mu ^ { n } } } \ leq e ^ { 0 } = 1 }

và tương tự với :

a 1 a 2 ⋯ a n ≤ μ n ⟹ a 1 a 2 ⋯ a n n ≤ μ. { \ displaystyle a_ { 1 } a_ { 2 } \ cdots a_ { n } \ leq \ mu ^ { n } \ implies { \ sqrt [ { n } ] { a_ { 1 } a_ { 2 } \ cdots a_ { n } } } \ leq \ mu. }

Chứng minh của Cauchy.

Các trường hợp toàn bộ những giá trị bằng nhau.

Nếu tổng thể những giá trị bằng nhau :

x 1 = x 2 = ⋯ = x n { \ displaystyle x_ { 1 } = x_ { 2 } = \ cdots = x_ { n } }

tức tổng chúng là nx1, do đó giá trị trung bình cộng là x1; và tích các số dưới căn bậc hai là x1n, do dó giá trị trung bình nhân lúc này là x1; vì vậy, vế một và vế hai bằng nhau, điều phải chứng minh.

Các trường hợp những giá trị không bằng nhau.

Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị trung bình cộng lớn hơn giá trị trung bình nhân. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xảy ra khi n> 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.

Trường hợp n = 2

.

Nếu n= 2, tức có hai giá trị x1 và x2, và từ giả thiết ở trên, ta có:

x 1 ≠ x 2 x 1 − x 2 ≠ 0 ( x 1 − x 2 ) 2 > 0 x 1 2 − 2 x 1 x 2 + x 2 2 > 0 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 > 4 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) 2 > 4 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 2 ) 2 > x 1 x 2 x 1 + x 2 2 > x 1 x 2 { \ displaystyle { \ begin { aligned } x_ { 1 } và \ neq x_ { 2 } \ \ [ 3 pt ] x_ { 1 } – x_ { 2 } và \ neq 0 \ \ [ 3 pt ] \ left ( x_ { 1 } – x_ { 2 } \ right ) ^ { 2 } và > 0 \ \ [ 3 pt ] x_ { 1 } ^ { 2 } – 2 x_ { 1 } x_ { 2 } + x_ { 2 } ^ { 2 } và > 0 \ \ [ 3 pt ] x_ { 1 } ^ { 2 } + 2 x_ { 1 } x_ { 2 } + x_ { 2 } ^ { 2 } và > 4 x_ { 1 } x_ { 2 } \ \ [ 3 pt ] \ left ( x_ { 1 } + x_ { 2 } \ right ) ^ { 2 } và > 4 x_ { 1 } x_ { 2 } \ \ [ 3 pt ] { \ Bigl ( } { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } } { 2 } } { \ Bigr ) } ^ { 2 } và > x_ { 1 } x_ { 2 } \ \ [ 3 pt ] { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } } { 2 } } và > { \ sqrt { x_ { 1 } x_ { 2 } } } \ end { aligned } } }

Trường hợp n = 2k

.

Xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.

Khi, có một giá trị k> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm như vậy, các bước được thực hiện như sau:

x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k = x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 + x 2 k − 1 + 2 + ⋯ + x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 = x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k { \ displaystyle { \ begin { aligned } { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { 2 ^ { k } } } { 2 ^ { k } } } và { } = { \ frac { { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { 2 ^ { k-1 } } } { 2 ^ { k-1 } } } + { \ frac { x_ { 2 ^ { k-1 } + 1 } + x_ { 2 ^ { k-1 } + 2 } + \ cdots + x_ { 2 ^ { k } } } { 2 ^ { k-1 } } } } { 2 } } \ \ [ 7 pt ] và \ geq { \ frac { { \ sqrt [ { 2 ^ { k-1 } } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { 2 ^ { k-1 } } } } + { \ sqrt [ { 2 ^ { k-1 } } ] { x_ { 2 ^ { k-1 } + 1 } x_ { 2 ^ { k-1 } + 2 } \ cdots x_ { 2 ^ { k } } } } } { 2 } } \ \ [ 7 pt ] và \ geq { \ sqrt { { \ sqrt [ { 2 ^ { k-1 } } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { 2 ^ { k-1 } } } } { \ sqrt [ { 2 ^ { k-1 } } ] { x_ { 2 ^ { k-1 } + 1 } x_ { 2 ^ { k-1 } + 2 } \ cdots x_ { 2 ^ { k } } } } } } \ \ [ 7 pt ] và = { \ sqrt [ { 2 ^ { k } } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { 2 ^ { k } } } } \ end { aligned } } }

với bất đẳng thức tiên phong, hai bên đều bằng nhau chỉ khi cả hai điều sau đây là đúng :

x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 k − 1 { \ displaystyle x_ { 1 } = x_ { 2 } = \ cdots = x_ { 2 ^ { k-1 } } }

x 2 k − 1 + 1 = x 2 k − 1 + 2 = ⋯ = x 2 k { \ displaystyle x_ { 2 ^ { k-1 } + 1 } = x_ { 2 ^ { k-1 } + 2 } = \ cdots = x_ { 2 ^ { k } } }

(Trong trường hợp này, trung bình số học thứ nhất và trung bình nhân thứ 1 bằngx1, và tương tự với trung bình số học thứ hai và trung bình nhân thứ 2); và trong bất đẳng thức thứ hai, Hai bên chỉ bằng nhau nếu hai giá trị trung bình bằng nhau. Vì không phải tất cả hai k đều bằng nhau, không thể cho cả hai bất đẳng thức được đẳng, vì vậy chúng ta biết rằng:

x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k > x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k { \ displaystyle { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { 2 ^ { k } } } { 2 ^ { k } } } > { \ sqrt [ { 2 ^ { k } } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { 2 ^ { k } } } } }

Trường hợp n k

.

Nếu n không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị chặn trên. Do đó, mà không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.

Vì vậy, nếu ta có n số, thì ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:

x n + 1 = x n + 2 = ⋯ = x m = α. { \ displaystyle x_ { n + 1 } = x_ { n + 2 } = \ cdots = x_ { m } = \ alpha. }

Chúng tôi sau đó có :

⨄ α = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = m n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + m − n n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + ( m − n ) α m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 + ⋯ + x m m > x 1 x 2 ⋯ x n x n + 1 ⋯ x m m = x 1 x 2 ⋯ x n α m − n m, { \ displaystyle { \ begin { aligned } \ biguplus \ alpha và = { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { n } } { n } } \ \ [ 6 pt ] và = { \ frac { { \ frac { m } { n } } \ left ( x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { n } \ right ) } { m } } \ \ [ 6 pt ] và = { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { n } + { \ frac { m-n } { n } } \ left ( x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { n } \ right ) } { m } } \ \ [ 6 pt ] và = { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { n } + \ left ( m-n \ right ) \ alpha } { m } } \ \ [ 6 pt ] và = { \ frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + \ cdots + x_ { n } + x_ { n + 1 } + \ cdots + x_ { m } } { m } } \ \ [ 6 pt ] và > { \ sqrt [ { m } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { n } x_ { n + 1 } \ cdots x_ { m } } } \ \ [ 6 pt ] và = { \ sqrt [ { m } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { n } \ alpha ^ { m-n } } } \, , \ end { aligned } } }α m > x 1 x 2 ⋯ x n α m − n α n > x 1 x 2 ⋯ x n α > x 1 x 2 ⋯ x n n { \ displaystyle { \ begin { aligned } \ alpha ^ { m } và > x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { n } \ alpha ^ { m-n } \ \ [ 5 pt ] \ alpha ^ { n } và > x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { n } \ \ [ 5 pt ] \ alpha và > { \ sqrt [ { n } ] { x_ { 1 } x_ { 2 } \ cdots x_ { n } } } \ end { aligned } } }

Xem thêm: Trường độ là gì | Trường độ trong âm nhạc | trường độ các nốt nhạc