Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0;

adnhacly

3 năm trước

Kiến thức biện luận bất phương trình bậc 2 | Bán Máy Nước Nóng

Bất phương trình quy về bậc hai

Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai so với x là biểu thức có dạng f ( x ) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những thông số kỹ thuật, a 0 .

* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.

Bạn đang xem: biện luận bất phương trình bậc 2

Bạn đang đọc : Kiến thức biện luận bất phương trình bậc 2

a ) f ( x ) = x2 3 x + 2
b ) f ( x ) = x2 4
c ) f ( x ) = x2 ( x-2 )

° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.

1. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét:

* Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 4ac.

Nếu Δ Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 [ Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm : Trong trái ngoài cùng ]

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

Tìm nghiệm của tam thức
Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của thông số a
Dựa vào bảng xét dấu và Kết luận

Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 (hoặc 0;

Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c 0 ; ax2 + bx + c 0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a 0 .

* Ví dụ: x2 2 >0; 2×2 +3x 5

Giải bất phương trình bậc 2

Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c 0 ) .
Để giải BPT bậc hai ta vận dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai .

Ví dụ: Giải bất phương trình

Mẫu thức là tam thức bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3D ấu của f ( x ) được cho trong bảng sau

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ là S = ( 1 ; 1/3 )

3. Phương trình Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc đặc thù của GTTĐ để khử dấu GTTĐ .

4. Phương trình Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Trong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

Bất phương trình quy về bậc nhất

Giải và biện luận bpt dạng ax + b

1.1. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao những tập nghiệm thu sát hoạch sát hoạch được .

1.2. Dấu nhị thức bậc nhất

2. Bất phương trình tích

Dạng : P ( x ). Q ( x ) > 0 ( 1 ) ( trong đó P ( x ), Q. ( x ) là những nhị thức bậc nhất. )
Cách giải : Lập bxd của P ( x ). Q ( x ). Từ đó suy ra tập nghiệm của ( 1 ) .

3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Chú ý : Không nên qui đồng và khử mẫu .

4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và đặc thù của GTTĐ để khử dấu GTTĐ .

Bài tập giải bất phương trình lớp 10

Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a ) 5 × 2 3 x + 1
b ) 2 × 2 + 3 x + 5
c ) x2 + 12 x + 36
d ) ( 2 x 3 ) ( x + 5 )

Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):

a ) 5 × 2 3 x + 1
Xét tam thức f ( x ) = 5 × 2 3 x + 1
Ta có : Δ = b2 4 ac = 9 20 = 11 0 f ( x ) > 0 với x R .
b ) 2 × 2 + 3 x + 5
Xét tam thức f ( x ) = 2 × 2 + 3 x + 5
Ta có : Δ = b2 4 ac = 9 + 40 = 49 > 0 .
Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 ; x2 = 5/2, thông số a = 2
f ( x ) > 0 khi x ( 1 ; 5/2 ) Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) = 0 khi x = 1 ; x = 5/2
f ( x ) 0 .
Ta có bảng xét dấu :

Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) > 0 với x 6
f ( x ) = 0 khi x = 6
d ) ( 2 x 3 ) ( x + 5 )
Xét tam thức f ( x ) = 2 × 2 + 7 x 15
Ta có : Δ = b2 4 ac = 49 + 120 = 169 > 0 .
Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2 ; x2 = 5, thông số a = 2 > 0 .
Ta có bảng xét dấu :

Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) > 0 khi x ( ; 5 ) ( 3/2 ; + )
f ( x ) = 0 khi x = 5 ; x = 3/2
f ( x )

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu của biểu thức

a ) f ( x ) = ( 3 × 2 10 x + 3 ) ( 4 x 5 )
b ) f ( x ) = ( 3 × 2 4 x ) ( 2 × 2 x 1 )
c ) f ( x ) = ( 4 × 2 1 ) ( 8 × 2 + x 3 ) ( 2 x + 9 )
d ) f ( x ) = [ ( 3 × 2 x ) ( 3 x2 ) ] / [ 4 × 2 + x 3 ]

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10):

a ) f ( x ) = ( 3 × 2 10 x + 3 ) ( 4 x 5 )
Xem thêm : Mạch sao tam giác là gì ? Tại sao cần đấu sao tam giác để khởi động động cơ ? Tam thức 3 × 2 10 x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, thông số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x 3 và mang dấu nếu 1/3
Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) > 0 khi x ( 1/3 ; 5/4 ) x ( 3 ; + )
f ( x ) = 0 khi x S = { 1/3 ; 5/4 ; 3 }
f ( x ) 0 .
3 × 2 4 x mang dấu + khi x 4/3 và mang dấu khi 0 0
2 × 2 x 1 mang dấu + khi x 1 và mang dấu khi 50%
Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) > 0 x ( ; 50% ) ( 0 ; 1 ) ( 4/3 ; + )
f ( x ) = 0 x S = { 50% ; 0 ; 1 ; 4/3 }
f ( x ) 0
4 × 2 1 mang dấu + nếu x 50% và mang dấu nếu 50%
Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) > 0 khi x ( ; 9/2 ) ( 50% ; 50% )
f ( x ) = 0 khi x S = { 9/2 ; 50% ; 50% }
f ( x ) 0 .
3 × 2 x mang dấu + khi x 1/3 và mang dấu khi 0 3 và mang dấu + khi 3 0 .
4 × 2 + x 3 mang dấu + khi x 3/4 và mang dấu khi 1

Từ bảng xét dấu ta có :Xem thêm : Bài tập cân đối phương trình hóa học Lớp 8 có đáp án

f ( x ) > 0 x ( 3 ; 1 ) ( 0 ; 1/3 ) ( 3/4 ; 3 )
f ( x ) = 0 x S = { ± 3 ; 0 ; 1/3 }
f ( x )

Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a ) 4 × 2 x + 1
d ) x2 x 6 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10):

a ) 4 × 2 x + 1 0 nên f ( x ) > 0 x R
Bất phương trình đã cho vô nghiệm .
b ) 3 × 2 + x + 4 0
Xét tam thức f ( x ) = 3 × 2 + x + 4
Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = 1 và x = 4/3, thông số a = 3
Điều kiện xác lập : x2 4 0 và 3 × 2 + x 4 0
x ± 2 và x 1 ; x 4/3 .
Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được :

Nhị thức x + 8 có nghiệm x = 8
Tam thức x2 4 có hai nghiệm x = 2 và x = 2, thông số a = 1 > 0
x2 4 mang dấu + khi x 2 và mang dấu khi 2 0 .
3 × 2 + x 4 mang dấu + khi x 1 mang dấu khi 4/3
Từ bảng xét dấu ta có :
( * ) 0
f ( x ) 0 khi 2 x 3 .
Tập nghiệm của bất phương trình là : S = [ 2 ; 3 ] .

° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a ) ( m 2 ) x2 + 2 ( 2 m 3 ) x + 5 m 6 = 0
b ) ( 3 m ) x2 2 ( m + 3 ) x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10):

Tham khảo : So sánh ưu điểm yếu kém của đèn led so với những loại đèn khác lúc bấy giờa ) ( m 2 ) x2 + 2 ( 2 m 3 ) x + 5 m 6 = 0 ( * )
Nếu m 2 = 0 m = 2, khi đó phương trình ( * ) trở thành :
2 x + 4 = 0 x = 2 hay phương trình ( * ) có một nghiệm
m = 2 không phải là giá trị cần tìm .
Nếu m 2 0 m 2 ta có :
Δ = b 2 ac = ( 2 m 3 ) 2 ( m 2 ) ( 5 m 6 )
= 4 mét vuông 12 m + 9 5 mét vuông + 6 m + 10 m 12
= mét vuông + 4 m 3 = ( m + 3 ) ( m 1 )
Ta thấy ( * ) vô nghiệm Δ

Bài 53 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình

a ) 5 × 2 + 4 x + 12 Lời giải:

b ) Tam thức 16 × 2 + 40 x + 25 có :
= 202 16.25 = 0 và thông số a = 16 > 0
Do đó ; 16 × 2 + 40 x + 25 0 ; x R
Suy ra, bất phương trình 16 × 2 + 40 x + 25 0
Do đó, 3 × 2 4 x + 4 0 ; x R
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = R .
d ) Tam thức x2 x 6 có hai nghiệm là 3 và 2
Hệ số a = 1 > 0 do đó, x2 x 6 khi và chỉ khi 2 x 3
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [ 2 ; 3 ] .

Lời giải:

a ) Tập nghiệm T = ( ; 6/5 ) ( 2 ; + )
b ) Bất phương trình vô nghiệm vì Δ 0
c ) Tập nghiệm là R vì 3 × 2-4 x + 4 có Δ 0
d ) Tập nghiệm T = [ 2 ; 3 ]

Bài 56 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình :

Lời giải:

Bài 55 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.

a ) ( m-5 ) x2-4mx+m-2 = 0
b ) ( m + 1 ) x2 + 2 ( m-1 ) x + 2 m 3 = 0

Lời giải:

a )
+ ) khi m 5 = 0 m = 5 phương trình trở thành :
20 x + 3 = 0 x = 3/20
+ ) khi m 5 0 m 5, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
Δ = ( 2 m ) 2 ( m 2 ) ( m 5 ) 0
4 mét vuông ( m2-5m-2m+10 ) 0 4 mét vuông mét vuông + 7 m 10 0

Do đó, m = 1 thỏa mãn nhu cầu đầu bài .
+ Trường hợp 2 : Nếu m 1, để phương trình đã cho có m nghiệm khi và chỉ khi :

Bài 54 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình sau:

Lập bảng xét dấu :

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :
S = ( ; 1 ) ( 7 ; + )
b ) Ta có :

* Lại có : x2 + 4 x 3 = 0 x = 1 ; x = 3
Và x2 3 x 10 = 0 x = 5 ; x = 2
+ Ta có bảng xét dấu :

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :
S = ( ; 2 ) [ 1 ; 3 ] ( 5 ; + )
c ) Ta có : 2 x + 1 = 0 x = 50%
x2 + x 30 = 0 x = 5 và x = 6
Ta có bảng xét dấu :

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :Xem thêm : Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 có lời giải

1. Bài tập về Bất Phương Trình:

Bài 1/ BPT bậc nhất

1.1. Giải các bất phương trình sau: