Bài tập xác suất thống kê có lời giải

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (328.78 KB, 55 trang )

BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

1

Mục lục
CHƯƠNG

1

1 Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất
1.1 Một số dạng bài tập cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
1.1.1 Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diển. .. .. .. .. .. .. .. . .
1.1.2 Tính xác suất bằng cách dùng các công thức cộng, nhân và xác suất
có điều kiện. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
1.1.3 Tính xác suất bằng cách dùng công thức xác suất toàn phần và công
thức Bayes. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
1.1.4 Tính xác suất bằng cách dùng công thức Bernoulli. .. .. .. .. .
1.1.5 Dạng bài tập tổng hợp. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
1.2 Bài tập. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

3
3
3

2 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất
2.1 Một số dạng bài tập cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
2.1.1 Tìm phân phối xác suất và các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
2.1.2 Tìm phân phối xác suất và các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
liên tục. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

2.2 Bài tập. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

12
12

3 Mẫu thống kê và ước lượng tham số
3.1 Một số dạng bài tập cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
3.1.1 Tính giá trị của các đặc trưng của mẫu. .. .. .. .. .. .. .. . .
3.1.2 Ước lượng điểm cho một số tham số đặc biệt. .. .. .. .. .. .. .
3.1.3 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng. .. .. .. .. .. .
3.1.4 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho phương sai. .. .. .. .. .
3.1.5 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho xác suất. .. .. .. .. .. .
3.1.6 Ước lượng cỡ mẫu tối thiểu khi biết độ chính xác hoặc độ dài khoảng
ước lượng tin cậy đối xứng. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
3.2 Bài tập. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

20
20
20
22
23
24
25

2

4
6
6
7

8

12
14
15

27
30

4 Kiểm định giả thuyết
4.1 Tóm tắt lý thuyết. .. .. .. .. .. .. .. .. .
4.2 Một số dạng bài tập cơ bản. .. .. .. .. .. .
4.2.1 Kiểm định giả thiết cho kỳ vọng hay trung
4.2.2 Kiểm định giả thiết cho phương sai. .. .
4.2.3 Kiểm định giả thiết cho tỷ lệ hay xác suất
4.3 Bài tập. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

.. .
.. .
bình
.. .
.. .
.. .

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

37
37
37
37
39
40
43

Hướng dẫn giải bài tập chương 1

47

Hướng dẫn giải bài tập chương 2

50

Hướng dẫn giải bài tập chương 3

52

Hướng dẫn giải bài tập chương 4

54

3

Chương 1
Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác
suất
1.1

Một số dạng bài tập cơ bản

1.1.1

Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diển

Ví dụ 1.1. Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Rút ngẫu nhiên
hai thẻ rồi đặt theo thứ tự từ trái qua phải. Tính xác suất để:
a) Rút được hai thẻ tạo thành một số có hai chữ số.

b) Rút được hai thẻ tạo thành một số chia hết cho 5.
Giải.

a) Gọi A: “Hai thẻ rút được tạo thành một số có hai chữ số”. Khi đó
P (A) =

9.8
A29
=
≈ 0, 0073.
2
A100
100.99

b) Gọi B: “Hai thẻ rút được tạo thành một số chia hết cho 5 “.
Khi đó thẻ thứ hai là phải là một trong 20 số 5, 10,. .., 100, còn thẻ thứ nhất là một
trong 99 thẻ còn lại.Vậy số trường hợp thuận lợi cho B là 99.20,
P (B) =

99.20
= 0, 2.
A2100

Ví dụ 1.2. Một hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước. Rút ngẫu
nhiên cùng lúc 4 quả cầu. Tính xác suất để trong đó có:
a) Hai quả cầu đen.
b) Ít nhất 2 quả cầu đen.
4

c) Tất cả là cầu trắng.
4
Giải. Số phần tử của không gian mẫu là C10
.

a) Gọi A: “Trong 4 quả cầu rút ra có 2 quả đen”.
Số trường hợp có thể xảy ra A là C32 .C72. Do đó P (A) =

C32 .C72
= 0, 3.
4
C10

b) Gọi B: “Trong 4 quả cầu rút ra có ít nhất hai quả đen”.
Số trường hợp có thể xảy ra B là C32 .C72 + C33 .C71 .
C 2 .C 2 + C 3 .C 1
1
Do đó P (B) = 3 7 4 3 7 = .
C10
3
c) Gọi C: “Tất cả 4 quả cầu rút ra là cầu trắng”. Khi đó P (C) =

1.1.2

1
C74 7
= .
4
C10
6

Tính xác suất bằng cách dùng các công thức cộng, nhân và
xác suất có điều kiện

Ví dụ 1.3. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 5 nam và 3 nữ dự tuyển, mỗi người đều
có cơ hội ứng tuyển ngang nhau. Tính xác suất để trong 4 người đó:
a) Có không quá 2 nam.
b) Có ít nhất 1 nữ.
c) Có 3 nữ, biết rằng có ít nhất 1 nữ đã được tuyển.
Giải.
Đặt Ak : “Có k nam được tuyển trong 4 nhân viên”.
a) Gọi A:” Có không quá 2 nam”.
P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) =

C51 .C33 + C52 .C32
1
= .
4
C8
2

b) Gọi B: “Có ít nhất một nữ”.
Xác suất để không có người nữ nào được tuyển là P (A4 ). Khi đó
P (B) = 1 − P (A4 ) = 1 −

C54
13
=
4
C8

14

.
c) Gọi C: “Có 3 nữ, biết ít nhất một nữ đã được tuyển”.Vậy
P (C) = P (A1 /B) =
.

5

P (A1 )
C 1 13
1
= 54. =
P (B)
C8 14
13

Ví dụ 1.4. Một cuộc điều tra trong thành phố X đối với các hộ gia đình sử dụng dịch vụ
truyền hình cáp và internet, có 30% hộ sử dụng truyền hình cáp, 20% hộ sử dụng internet
và 15% hộ sử dụng cả hai dịch vụ trên. Điều tra ngẫu nhiên một hộ gia đình, tính xác suất
để hộ này:
a) Không sử dụng dịch vụ nào.
b) Không dùng internet, biết người này đã dùng truyền hình cáp.
Giải.
Đặt A: “Hộ gia đình sử dụng truyền hình cáp”;
B:”Hộ gia đình sử dụng internet “.
Ta có: P (A) = 0, 3; P (B) = 0, 2; P (AB) = 0, 15.
¯ B)
¯ = P (A)

¯ + P (B)
¯ − P (AB)
¯ =
a) Xác suất để hộ gia đình không dùng dịch vụ nào là P (A.
2
15
13
3
+1−
− (1 −
)= .
1−
10
10
100
20
¯
P (AB)
P (A) − P (AB)
0, 3 − 0, 15
1
¯
b) Xác suất cần tính là P (B/A)
=
=
=
= .
P (A)
P (A)
0, 3

2
Ví dụ 1.5. Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn thể thao, người ta tổ chức một
cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh, vòng thứ hai lấy 70% thí sinh
đã qua vòng thứ nhất, vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai.
a) Tính xác suất để một thí sinh bất kì được vào đội tuyển.
b) Biết thí sinh này bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại ở vòng thứ hai.
Giải.
Đặt Ai : “Thí sinh được chọn ở vòng thứ i “, i ∈ {1, 2, 3}.
Ta có: P (A1 ) = 0, 8; P (A2 /A1 ) = 0, 7; P (A3 /A1 A2 ) = 0, 45.
a) Xác suất để thí sinh được vào đội tuyển là P (A1 A2 A3 ). Theo công thức nhân xác suất
ta có: P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /A1 A2 ) = 0, 8.0, 7.0, 45 = 0, 252.
b) Đặt K: “Thí sinh đó bị loại”. Khi đó P (K) = P (A¯1 ) + P (A1 A¯2 ) + P (A1 A2 A¯3 ).
P (A¯1 ) = 1 − P (A1 ) = 0, 2;
P (A1 A¯2 ) = P (A1 ).P (A¯2 /A1 ) = P (A1 )(1 − P (A2 /A1 )) = 0, 8.0, 3 = 0, 24;
P (A1 A2 A¯3 ) = P (A1 )P (A2 /A1 )P (A¯3 /A1 A2 ) = 0, 8.0, 7.0, 55 = 0, 308.
→ P (A1 A2 A¯3 ) = 0, 2. + 0, 24 + 0, 308 = 0, 748.
Vậy xác suất để thí sinh đó bị loại ở vòng hai, biết rằng thí sinh đã bị loại là: P (A¯2 /K) =
P (A¯2 .K)
P (A1 A¯2 )
0, 24
=
=
= 0, 3209.
P (K)
P (K)
0, 748

6

1.1.3

Tính xác suất bằng cách dùng công thức xác suất toàn phần
và công thức Bayes

Ví dụ 1.6. Có hai lô sản phẩm: lô 1 gồm toàn chính phẩm, lô 2 có tỷ lệ phế phẩm và chính
1
phầm là. Chọn ngẫu nhiên một lô rồi trong lô này lây ngẫu nhiên một sản phẩm, thấy nó
4
là chính phẩm, sau đó hoàn lại sản phảm này vào lô. Hỏi rằng nếu lấy ngẫu nhiên cũng từ
lô đã chọn một sản phẩm thì xác suất để được phế phẩm là bao nhiêu?
Giải.
Gọi Hi : “Chọn được lô i, i ∈ {1, 2}, ta có;
1
P (H1 ) = P (H2 ) = .
2
Gọi A: “Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất” thì
4
P (A/H1 ) = 1, P (A/H2 ) = .
5
Theo công thức xác suất toàn phần:
P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) =

9
.
10

4
5
Theo công thức Bayes: P (H1 /A) =, P (H2 /A) = .

9
9
Gọi B: “Lấy được phế phẩm ở lần thứ hai”, theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
5
4 1
4
P (B) = P (H1 /A)P (B/(H1 /A)) + P (H2 /A)P (B/(H2 /A)) = .0 +. = .
9
9 5
45

1.1.4

Tính xác suất bằng cách dùng công thức Bernoulli

Ví dụ 1.7. Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi vói xác suất bán được
hàng ở mỗi nơi là 0,2.
a) Tính xác suất để người đó bán được hàng ở 2 nơi.
b) Tính xác suất để người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi.
Giải.
Coi việc bán hàng ở mỗi nơi là một phép thử thì ta có 10 phép thử độc lập. Gọi A là biến
cố: “người đó bán được hàng” thì P (A) = 0, 2.
a) Người đó bán được hàng ở 2 nơi nghĩa là biến cố A xuất hiện 2 lần, xác suất cần tính là:
2
P10 (2) = C10
(0, 2)2 (1 − 0, 2)8 = 0, 302.

b) Xác suất để người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi là:
0
1 − P10 (0) = 1 − C10

(0, 2)0 (1 − 0, 2)10 = 0, 8296.

7

1.1.5

Dạng bài tập tổng hợp

Ví dụ 1.8. Có ba hộp A, B, C đựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp B
có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng; hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất để được 3 lọ cùng loại.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra 3 lọ thuốc thì được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng. Tính
xác suất để hộp được chọn là hộp A.
Giải.

a) Gọi Ai : ” Lọ lấy ra từ hộp thứ i là tốt”, i ∈ {1, 2, 3}.
Xác suất để được 3 lọ cùng loại là
P (A1 A2 A3 + A¯1 A¯2 A¯3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A¯1 )P (A¯2 )P (A¯3 )
5
4
10 6 5
·
·
+
= .
=
4 5
15 10 10
15

15 ·
·
10 10
b) Gọi Hi : “Lấy được hộp thứ i”, i ∈ {A, B, C}; X:”Lấy được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng”.
1
Khi đó P (HA ) = P (HB ) = P (HC ) =. Xác suất để hộp A được chọn là P (HA /X).
3
Theo công thức Bayes:
P (HA )P (X/HA )
P (XHA )
=
.
P (HA /X) =
P (X)
P (X)
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P (X) = P (HA )P (X/HA ) + P (HB )P (X/HB ) + P (HC )P (X/HC ).
C 2C 1
C 1C 2
C 1C 2
Lần lượt có P (X/HA ) = 5 3 10 ; P (X/HB ) = 6 3 4 ; P (X/HC ) = 5 3 5 .
C15
C10
C10
5113
≈ 0, 312. Do đó P (HA /X) = 0, 2347.
Thay vào công thức ta có: P (X) =
16380
Ví dụ 1.9. Thống kê năm học trước của một trường đại học, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn
Toán là 34%, thi trượt môn Ngoại ngữ là 20.5%, và trong số các sinh viên thi trượt Toán có

50% sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ.
a) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu sinh viên
thi trượt cả hai môn Toán và Ngoại ngữ? Tính xác suất tương ứng.
b) Phải chọn bao nhiêu sinh viên sao cho trong số đó, với xác suất không bé hơn 99%, có ít
nhất một sinh viên đỗ cả hai môn?
Giải.
Gọi T : ” viên thi trượt môn Toán”; N :”Sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ”.
Ta có: P (T ) = 0, 34; P (N ) = 0, 205; P (N/T ) = 0, 5.

8

a) Xác suất sinh viên trượt cả hai môn là P (T.N ) = P (T ).P (N/T ) = 0, 34.0, 5 = 0, 17.
Chọn 12 sinh viên nghĩa là thực hiện phép thử Bernoulli với xác suất trượt cả hai môn là
p = 0, 17. Số sinh viên nhiều khả năng trượt cả hai môn nhất là [(n+1)p] = [13.0, 17] = 2.
2
Xác suất tương ứng là P12 (2) = C12
(0, 17)2 (1 − 0, 17)1 0 = 0, 296.
¯ ) = 1−P (T ∩N ) = 1−P (T )−P (N )+P (T.N ) =
b) Xác suất sinh viên đỗ cả hai môn là P (T¯.N
0, 625.
Gọi n là số sinh viên cần chọn, I: “Ít nhất một sinh viên đỗ cả hai môn”. Theo đề bài ta
có:
P (I) = 1 − Pn (0) = 1 − (1 − 0, 625)n ≥ 0, 99 ⇔ 0, 375n ≤ 0, 01 ⇔ n ≥ 4, 69.
Vậy cần chọn ít nhất 5 sinh viên.

1.2

Bài tập

Bài 1.1. Trong hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần
lượt 2 sản phẩm. Tính xác suất để 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
Bài 1.2. Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu
nhiên 3 sản phẩm, kiểm tra xong lại trả vào lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra, 9
sản phẩm đều được kiểm tra.
Bài 1.3. Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất
trúng mục tiêu tương ứng là 0,6 và 0,7. Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom.
Bài 1.4. Trong mội đội tuyển có 3 vận động viên A, B, C thi đấu với xác suất thắng lần
lượt là 0, 6; 0, 7 và 0, 8. Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau. Tính xác suất để:
a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận
b) Đội tuyển thắng hai trận
c) Vận động viên A thua trong trường hợp đội tuyển thắng hai trận.
Bài 1.5. Hộp I có 6 bi xanh, 4 bi đỏ; hộp II có 5 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ
mỗi hộp 2 viên bi. Tính xác suất để:
a) Lấy được 4 viên bi cùng màu
b) Lấy được 3 bi xanh và 1 bi đỏ
c) Lấy được 2 bi xanh và 2 bi đỏ.
Bài 1.6. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó 6 sản phẩm loại II và 4 sản phẩm loại
III, số còn lại là sản phẩm loại I. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 sản phẩm. Tính xác suất để
được:
9

a) 3 sản phẩm khác loại
b) 3 sản phẩm cùng loại
c) Được đúng 1 sản phẩm loại I
d) Được ít nhất 1 sản phẩm loại I.
Bài 1.7. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc (cân đối, đồng chất). Tính xác suất:
a) Được ít nhất một mặt 6
b) Được tổng số chấm lớn hơn 9

c) Được hiệu số chấm là 2
d) Xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt 4
e) Xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt chẵn.
Bài 1.8. Trong hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm
(không hoàn lại). Tính xác suất để
a) 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm
b) Lần thứ hai lấy được phế phẩm, biết rằng lần đầu được chính phẩm.
Bài 1.9. Một cuộc điều tra cho thấy, xác suất để một hộ gia đình có máy vi tính nếu thu
nhập hàng năm trên 50 triệu là 0, 75. Trong số các hộ được điều tra thì 60% có thu nhập trên
50 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất để một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên:
a) Có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 50 triệu
b) Có máy vi tính, nhưng không có thu nhập hàng năm trên 50 triệu
c) Có thu nhập hàng năm trên 50 triệu, biết rằng hộ đó không có máy vi tính.
Bài 1.10. Một lô hàng do 3 nhà máy A, B, C sản xuất, tỉ lệ sản phẩm của 3 nhà máy lần
lượt là 30%, 20%, 50% và tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2%, 3%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản
phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để sản phẩm này là phế phẩm.
Bài 1.11. Có 3 hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và 1 ống
xấu, hộp III có 3 ống tốt và 2 ống xấu. Lấy ngẫu nhiên một hộp và rút ra từ hộp đó một
ống thuốc thì được ống tốt. Tính xác suất để ống này thuộc hộp II.
Bài 1.12. Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bảng thu chi chứa các sai lầm.
Trong các bảng chứa sai lầm, 60% được xem là các giá trị bất thường so với các số xuất
phát từ gốc. Trong tất cả các bảng thu chi thì 20% là những giá trị bất thường. Nếu một
con số ở một bảng thu chi là bất thường thì xác suất để số đó là một sai lầm là bao nhiêu?
10

Bài 1.13. Một hãng sản xuất tủ lạnh ước tính khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc
quảng cáo do hãng sản xuất. Trong số đó có 30% mua tủ lạnh của hãng. 10% không đọc
quảng cáo cũng mua tủ lạnh của hãng. Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua tủ
lạnh của hãng mà có đọc quảng cáo.

Bài 1.14. Trong hộp có 10 sản phẩm, trong đó có đúng 6 sản phẩm tốt. Một người lấy lần
lượt từng sản phẩm (không hoàn lại) đến khi được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại. Tính xác
suất để:
a) người đó dừng lại sau lần lấy thứ ba.
b) người đó dừng lại sau lần lấy thứ tư.
c) lần thứ ba lấy được sản phẩm xấu, biết rằng người đó dừng lại sau lần thứ tư.
Bài 1.15. Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B; hộp thứ hai có 5 sản
phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để được 3 sản phẩm loại A
b) Giả sử lấy được 1 sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A. Nhiều khả năng là sản phầm
loại B thuộc hộp nào, tại sao?
Bài 1.16. Có 2 máy cùng sản suất một loại sản phẩm. Máy thứ nhất cung cấp được 70%
sản lượng, máy thứ hai cung cấp được 30% sản lượng. Khoảng 80% sản phẩm sản suất bởi
máy 1 và 90% sản phẩm sản suất bởi máy 2 là đạt yêu cầu.
a) Hỏi trung bình cả hai máy sản suất được bao nhiêu phần trăm sản phẩm đạt yêu cầu?
b) Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thấy nó đạt yêu cầu. Tính xác suất để sản phẩm đó là
do máy 1 sản suất.
c) Giả sử lấy được 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. Theo anh/chị thì nhiều khả năng sản
phẩm này do máy nào sản suất ra?
Bài 1.17. Có 3 người muốn đi xem bóng đá nhưng chỉ có 2 vé. Họ tổ chức bốc thăm lần
lượt với hai thăm “có” và một thăm “không”. Hỏi cách làm vậy có công bằng hay không?
Hãy giải thích?
Bài 1.18. Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65%. Chọn ngẫu nhiên
12 người. Tính xác suất để trong đó có đúng 5 người thích xem bóng đá.
Bài 1.19. Một trò chơi có xác suất thắng mỗi ván là 1/50. Nếu một người chơi 50 ván thì
xác suất để người đó thắng ít nhất một ván là bao nhiêu?
Bài 1.20. Một lô hàng có 6% là phế phẩm. Người ta dùng phương pháp chọn mẫu để kiểm
tra lô hàng và quy ước rằng: kiểm tra lần lượt không hoàn lại 6 sản phẩm, nếu có ít nhất 1
sản phẩm là phế phẩm thì loại lô hàng. Tính xác suất để chấp nhận lô hàng.
11

Bài 1.21. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một nhà máy là 8%. Khảo sát một lô hàng gồm
75 sản phẩm do nhà máy đó sản xuất.
a) Tính xác suất để trong lô hàng, có 10 phế phẩm
b) Trong lô hàng, nhiều khả năng là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất tương ứng.
Bài 1.22. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạt
lép là 3% để nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất
một hạt lép không bé hơn 95%?

12

Chương 2
Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân
phối xác suất
2.1
2.1.1

Một số dạng bài tập cơ bản
Tìm phân phối xác suất và các đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc

Ví dụ 2.1. Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối đồng chất, quan sát số nút xuất hiện
ở mặt trên của hai con xúc xắc, gọi X là ĐLNN chỉ số lớn nhất trong hai số xuất hiện.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X;
b) Tìm P (X ≤ 3); P (2 ≤ X Giải. X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1
P (X = 1) = P ({(1, 1)}) = ;

36
3
P (X = 2) = P ({(1, 2); (2, 1); (2, 2)}) = ;. . .
36
a) Ta có bảng phân phối xác suất của X như sau:
X
P(X)

1
2
3
4
1/36 3/36 5/36 7/36

5
6
9/36 11/36

1
b) P (X ≤ 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = ;
4
c) P (2 ≤ X .
36

Ví dụ 2.2. Có ba hộp A, B và C đựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp B
có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 7 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một
lọ thuốc.

a) Tìm luật phân phối xác suất cho số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra;
13

b) Tìm xác suất để được ít nhất 2 lọ tốt; được 3 lọ cùng loại.
Giải. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra. X ∈ {0, 1, 2, 3}.
a) Gọi Ai : “Lọ thuốc lấy ra từ hộp thứ i là lọ tốt”.
5 4 7
7
P (X = 0) = P (A¯1 .A¯2 .A¯3 ) =. . = ;
15 10 12
90
59
¯
¯
¯
¯
P (X = 1) = P (A1 .A2 .A3 + A2 .A1 .A3 + A3 .A¯1 .A¯2 )
;
180
77
;
P (X = 2) = P (A1 .A2 .A¯3 + A1 .A3 .A¯2 + A2 .A3 .A¯1 ) =
180
1
P (X = 3) = P (A1 .A2 .A3 ) = .
6
Bảng phân phối xác suất của X:
X
P(X)

0
1
2
7/90 59/180 77/180

3
1/6

107
b) Xác suất để được ít nhất hai lọ tốt: P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) =
;
180
11
Xác suất để được ba lọ cùng loại: P (X = 0) + P (X = 3) = .
45
Ví dụ 2.3. Một hộp đựng 5 sản phẩm, trong đó có hai phế phẩm. Lần lượt kiểm tra từng
sản phẩm (không hoàn lại) cho đến khi gặp hai phế phẩm thì dừng lại. Tìm luật phân phối
xác suất cho số sản phẩm được kiểm tra. Tính số lần kiểm tra trung bình.
Giải. Gọi X là ĐLNN chỉ số sản phẩm được kiểm tra. X ∈ {2, 3, 4, 5}.
Đặt Ai : “Lần thứ i kiểm tra được phế phẩm”.
1
P (X = 2) = P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) = ;
10
2
P (X = 3) = P (A1 A¯2 A¯3 + A2 A¯1 A¯3 + A3 A¯1 A¯2 ) = ;
10
3
4
Tương tự: P (X = 4) = ; P (X = 5) = .

10
10
Ta có bảng phân phối xác suất của X:
X
P(X)

2
3
4
5
1/10 2/10 3/10 4/10

Số lần kiểm tra trung bình: EX = 4.
Ví dụ 2.4. Một xạ thủ có 4 viên đạn. Anh ta lần lượt bắn từng viên vào bia và sẽ ngừng
bắn khi có một viên trúng bia; nếu không, anh ta sẽ bắn cho đến khi hết đạn. Biết rằng xác
suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0, 8. Gọi X là số đạn mà xạ thủ đã bắn. Hãy tìm luật
phân phối xác suất của X; tính kỳ vọng và phương sai của X.
Giải. Miền giá trị của X là {1, 2, 3, 4}.
P (X = 1) = 0, 8; P (X = 2) = 0, 2.0, 8 = 0, 16; P (X = 3) = 0, 22 .0, 8 = 0, 032; P (X = 4) =
0, 23 = 0, 008. Bảng phân phối xác suất của X:

14

X
P(X)

1
2
0, 8 0, 16

3
4
0, 032 0, 008

Kì vọng của X: EX = 1.0, 8 + 2.0, 16 + 3.0, 032 + 4.0, 008 = 1, 248.
Phương sai của X: DX = 12 .0, 8 + 22 .0, 16 + 32 .0, 032 + 42 .0, 008 − 1, 2482 = 0, 2985.
Ví dụ 2.5. Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số kẹo trong mỗi bao là một đại lượng ngẫu
nhiên X có phân phối xác suất như sau:
X
P(X)

18
0, 14

19
20
21 22
0, 24 0, 32 0, 21 0, 09

a) Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao;
b) Chi phí sản xuất của mỗi bao kẹo là 3X + 16. Tiền bán mỗi bao kẹo là 100$. Không phân
biệt số kẹo trong bao. Tìm lợi nhuận trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi
bao kẹo;
c) Hai bao kẹo được chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để ít nhất một trong hai bao chứa ít
nhất 20 viên kẹo.
Giải.
a) Trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao:
EX = 22
k=18 k.P (X = k) = 19, 87;

DX = E(X 2 ) − (EX)2 = 1, 3531.
b) Gọi Y là ĐLNN chỉ lợi nhuận cho mỗi bao kẹo, ta có Y = 100 − (3X + 16) = 84 − 3X.
Lợi nhuận trung bình EY = E(84 − 3X) = 84 − 3EX = 24, 39.
√
√
Độ lệch chuẩn σ(Y ) = DY = 3 DX = 3, 4879.
c) Đặt A: “Bao chứa ít nhất 20 viên kẹo” thì P (A) = P (X = 20)+P (X = 21)+P (X = 22) =
0, 62. Xác suất để ít nhất một trong hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo: 0, 62 + 0, 62.0, 38 =
0, 8556.

2.1.2

Tìm phân phối xác suất và các đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên liên tục

Ví dụ 2.6. Cho ĐLNN liên tục X có hàm mật độ: f (x) =

a
, x>1
x3
0, x ≤ 1

Tìm a, F (x) và P (0 Giải. Từ tính chất

∞
−∞

f (x)dx = 1, ta có

∞
−∞

Hàm phân phối F được xác định bởi:
x
F (x) = −∞ 0dt = 0 nếu x ≤ 1;
1
x 2
F (x) = 1 3 dt = 1 − 2 nếu 1 t
x
8
3
P (0 9
15

a
dx = 1 ⇔ a = 2.
x3

2.2

Bài tập

Bài 2.1. Cho ĐLNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
x
P [X = x]

−2
0,2

−1
0,3

1
0,4

2
0,1

a) Tính P [X > 0].
b) Tính P [|X − 1| ≤ 2].
c) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = 3 − X.
d) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
e) Lập hàm phân phối xác suất của X.
Bài 2.2. Cho đại lượng ngẫu nhiên X với bảng phân phối xác suất:
x
P [X = x]

2
0, 2

4
0,6

6
0,2

a) Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
b) Đặt Y = 3X + 4. Tìm kỳ vọng và phương sai của Y .
c) Đặt Z = |X − 4|. Tìm kỳ vọng và phương sai của Z.
Bài 2.3. Một lớp học 40 học sinh có tỉ lệ học sinh chăm chỉ là 0,4. Chọn ngẫu nhiên 3 học
sinh, gọi X là số học sinh chăm chỉ. Lập bảng phân phối của X. Trung bình chọn được bao
nhiêu học sinh chăm chỉ?
Bài 2.4. Một thùng chứa 10 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.
Gọi X là số chính phẩm lấy được.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Lập hàm phân phối xác suất của X.
c) Tính P [X 2 d) Tính kỳ vọng, phương sai của X.
e) Tìm mod(X) và med(X).
f) Đặt Y = maxX, X 2. Tính kỳ vọng của Y .

 cx2 + x
Bài 2.5. Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) =
 0
16

nếu 0 ≤ x ≤ 1
nếu x ∈ [0, 1].

a) Tìm c.
b) Tính kỳ vọng, phương sai của X.
c) Lập hàm phân phối F (x) của X.
d) Tìm med(X).

 x2 + kx

Bài 2.6. Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) =
 0

nếu 0 nếu x ∈ (0, 1).

a) Tìm k.
b) Tính kỳ vọng, phương sai của X.
c) Lập hàm phân phối F (x) của X.
d) Tìm med(X).

 k
x2
Bài 2.7. Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) =
 0

nếu 1 ≤ x ≤ 3
nếu x ∈ [1, 3].

a) Tìm k.
b) Tìm E[X], E[5X − 2], E[X 2 + 3X].
c) Tính E[Y ] biết rằng Y = X 3 +

1
.
X

d) Tìm med(X).
Bài 2.8. Cho hàm phân phối của ĐLNN liên





 0
F (x) = ax2



 1

tục X có dạng:
nếu x ≤ 0
nếu 0 nếu x > 1

a) Tìm a.
b) Lập hàm mật độ f (x).
c) Tìm xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (0,25; 0,75).
Bài 2.9. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn và X ∼ N (300, 502 ).
a) Tính P [X > 362].
b) Tính P [X ≤ 250.
c) Tính P [275 17

Bài 2.10. Cho hàm số f (x) =



0






 4x

nếu x 1
nếu 0 ≤ x 2
1
nếu
2
nếu x ≥ 1.



4 − 4x





0

a) Chứng minh f (x) là hàm mật độ của một ĐLNN X.
b) Tìm hàm phân phối xác suất của X.
c) Tính P

1
3
theo hai cách.
4
5

d) Tìm kỳ vọng, phương sai và mode của X.
e) Đặt Y = 3X + 8, tính E[Y ].
f) Đặt Z = max {X, 1}, tính E[Z].



0






x



3
Bài 2.11. Cho hàm số f (x) =

4





2−x





 0

nếu x 1
nếu 0 ≤ x 2
1
3
nếu
≤x2
2
3
nếu
2
nếu x ≥ 2.

a) Chứng minh f (x) là hàm mật độ của một ĐLNN X.
b) Tìm hàm phân phối xác suất của X.
c) Tính P

7
5
theo hai cách.
4
4

d) Tìm kỳ vọng, phương sai và mode của X.

a
Bài 2.12. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) = x3
 0

khi x > 1
khi x ≤ 1.

a) Tìm hằng số a.
b) Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X.
Bài 2.13. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N (µ; σ 2 ). Biết rằng X lấy giá
trị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác suất 0,0516.
a) Tính µ và σ.
b) Tính P [68 18

Bài 2.14. Chiều cao của loại cây T sau khi trồng được 3 năm ở một vùng là biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn với µ = 5 (mét) và độ lệch chuẩn σ = 0,4 (mét).
a) Chọn ngẫu nhiên 1 cây loại đó. Tính xác suất chọn được cây có chiều cao từ 5, 1 đến 5, 35
(mét)?

b) Cây được xem là phát triển tốt nếu có chiều cao trên 5, 2 (mét). Chọn ngẫu nhiên 20 cây,
tính xác suất có từ 15 đến 18 cây phát triển tốt.
Bài 2.15. Trọng lượng của một con gà 6 tháng tuổi là một đại lượng ngẫu nhiên X (đơn
vị: kg) với hàm mật độ

k(x2 − 1)
với 2 ≤ x ≤ 3
f (x) =
 0
với x còn lại.
a) Tìm k. Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.
b) Lập hàm phân phối của X.
Bài 2.16. ĐLNN X có hàm mật độ f (x) =


x3 + kx2

nếu 0 ≤ x b) Tìm med(X).
Bài 2.17. Biết rằng X là ĐLNN rời rạc có tập giá trị là {1; 3; 6} với các xác suất P (X =
3) = 2P (X = 6) và P (X = 1) = 0,1.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Lập hàm phân phối xác suất của X.
c) Tính P [X 2 ≥ 7].

d) Tính kỳ vọng, phương sai của X.
e) Tìm mod(X) và med(X).
f) Đặt Y = 2X 2 − 3X + 4. Tính kỳ vọng của Y .
Bài 2.18. Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A là một ĐLNN có phối chuẩn với các
tham số µ = 10 và σ = 1 (đơn vị là phút). Tính xác suất để một sản phẩm loại A được sản
xuất
a) trong khoảng thời gian trên 11 phút.
b) trong khoảng thời gian từ 9 phút đến 12 phút.

19

Bài 2.19. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên bốn phát đạn vào bia với khả năng trúng hồng tâm
mỗi lần đều bằng 0,8. Tìm qui luật phân bố xác suất cho số viên đạn bắn trúng hồng tâm.
Trung bình xạ thủ này bắn trúng mấy phát?
Bài 2.20. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất là một ĐLNN có phân
phối chuẩn với kỳ vọng 20 mm; phương sai 0,04. Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết
thì được chi tiết
a) có đường kính trong khoảng 19,9 mm đến 20,3 mm.
b) có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3 mm (các chi tiết như vậy được gọi là
chi tiết loại A).
c) Một xưởng chế tạo mua ngẫu nhiên 20 chi tiết máy trên về để sử dụng. Tính xác suất
xưởng đó mua được trên 17 chi tiết loại A.
Bài 2.21. Trọng lượng của một loại sản phẩm là ĐLNN có phân phối chuẩn với µ = 20 kg
và σ 2 = 1,44 kg2. Sản phẩm được xem là đạt chuẩn nếu có trọng lượng từ 19,5 kg đến 21 kg.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của sản phẩm trên.
b) Một khách hàng mua ngẫu nhiên 20 sản phẩm, tính xác suất để trong đó có đúng 7 sản
phẩm đạt chuẩn.
c) Một khách hàng khác mua ngẫu nhiên 10 sản phẩm, tính xác suất để trong đó có không
dưới 8 sản phẩm đạt chuẩn.

20

Chương 3
Mẫu thống kê và ước lượng tham số
3.1

Một số dạng bài tập cơ bản

3.1.1

Tính giá trị của các đặc trưng của mẫu

Phương pháp: Áp dụng công thức tính cho X, S 2, (S )2, f với mẫu dữ liệu đơn. Nếu gặp
mẫu dữ liệu dạng khác thì ta đưa về mẫu dữ liệu đơn.
Ví dụ 3.1. Để đưa ra một nhận định về chiều cao của giống cây lâu năm, người ta tiến
hành đo ngẫu nhiên chiều cao (đơn vị mét) của một số cây lâu năm và thu được số liệu
như sau: 40; 40,5; 40,8; 41; 41,5; 41; 40,5; 40; 42; 42,8; 50; 50,5; 42; 42,5; 41;41; 40;40,5; 50;
50,5;51;51,5;52;51,8;52. Hãy tính trung bình chiều cao của mẫu, độ lệch chuẩn và độ lệch
hiệu chỉnh của mẫu.
Giải: Gọi X là chiều cao của một cây lâu năm. Gọi W = (X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu
nhiên cảm sinh từ X. Theo giả thiết, ta có n = 25.
40 + 40, 5 + · · · + 51, 8 + 52
Chiều cao trung bình của mẫu là x =
= 44, 656.
25
Độ lệch chuẩn và độ lêch hiệu chỉnh. Ta có
1
(x1 − x)2 + · · · + (xn − x)2 .

n
23, 550464 và do đó s 4, 85288.
s2 =

Suy ra s2

(s )2 =
Suy ra (s )2

1
(x1 − x)2 + · · · + (xn − x)2 .
n−1

24, 531733 và do đó s

4, 95295.

Ví dụ 3.2. Để đưa ra một nhận định nào đó về trọng lượng (đơn vị kg) của một trẻ mới
sinh, người ta tiến hành cân ngẫu nhiên 150 trẻ và thu được bảng dữ liệu sau:
Trọng lượng
Số trẻ được khảo sát

1,8 2,0
8
15

2,5 2,8 3,0
20 25 28

3,2 3,5 3,7 3,9

20 12 12
5

4,0
5

Tính trọng lượng trung bình của mẫu. Tính phương sai và phương sai hiệu chỉnh của mẫu.
Biết rằng một trẻ có trọng lượng trong đoạn [2, 7; 3, 8] được gọi là đạt chuẩn, hãy tính tỉ lệ
trẻ có trọng lượng đạt chuẩn của mẫu.
21

Giải: Gọi X là trọng lượng của một trẻ. Gọi W = (X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên
cảm sinh bởi X. Khi đó n = 150.
Trọng lượng trung bình:
x1 + x2 + · · · + xn
x=
.
n
Suy ra x = 2, 922.
Phương sai của mẫu:
s2 =

1
(x1 − x)2 + · · · + (xn − x)2 .
n

Suy ra s2 0, 335583.
Phương sai hiệu chỉnh của mẫu:
(s )2 =

Suy ra (s )2

1
(x1 − x)2 + · · · + (xn − x)2 .
n−1

0, 337835.

Tỉ lệ trẻ có trọng lượng đạt chuẩn trong mẫu là f =

97
150

64, 667%.

Ví dụ 3.3. Để khảo sát chiều cao của một sinh viên nữ tại Việt Nam, người ta đo ngẫu
nhiên 100 bạn và thu được kết quả dạng khoảng [a, b) cho bởi bảng dưới đây:
Chiều cao
Số SV

1,52-1,57 1,57- 1,62
27
22

1,62- 1,69
16

1,69- 1,74
14

1,74- 1,8
9

1,8-1,85 1,85-1,9
7
5

Tính chiều cao trung bình của mẫu và độ lêch chuẩn, độ lệch hiệu chỉnh của mẫu. Biết
rằng chiều cao của một bạn sinh viên nữ được coi là đạt tiêu chuẩn nếu nó thuộc khoảng
[1, 62; 1, 74), hãy tính tỉ lệ sinh viên nữ đạt chiều cao tiêu chuẩn.
Giải: Gọi X là chiều cao của một bạn nữ. Gọi W = (X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên
cảm sinh từ X. Khi đó n = 100. Đưa về mẫu dữ liệu đơn, ta thu được
Chiều cao
Số SV

1,545 1,595 1,655 1,715 1,77 1,825 1,875
27
22
16
14
9
7
5

Áp dụng công thức, ta thu được: x = 1, 65375, s

0, 100969 và s
30
Tỉ lệ nữ có chiều cao đạt tiêu chuẩn là f =
= 0, 3.

100

0, 101477.

Ví dụ 3.4. Để đưa ra nhận định nào đó về tỉ lệ sinh viên thi qua môn toán cao cấp phần 1
tại trường đại học nào đó, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 500 sinh viên có 350 sinh
viên thi qua. Tính tỉ lệ sinh viên thi qua của mẫu.
Giải: Gọi W = (X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên để quan sát sinh viên thi qua môn
350
= 0, 7.
toán cao cấp phần 1. Khi đó n = 500 và Tỉ lệ sinh viên thi qua trong mẫu là f =
500

22

3.1.2

Ước lượng điểm cho một số tham số đặc biệt

Phương pháp: Ta chỉ xem xét ước lượng không chệch cho các tham số EX, DX và p (p
là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu của tập nền hay xác suất chọn được một phần tử mang dấu
hiệu của tập nền). Ta tiến hành như sau:
a) Bước 1. Chọn hàm ước lượng điểm: Với EX là hàm X, với DX là hàm (S )2 và với
p là hàm tần suất f.
b) Bước 2. Từ mẫu dữ liệu tính giá trị của hàm ước lượng tại mẫu dữ liệu và sau đó xấp
xỉ tham số là giá trị vừa tính.
Ví dụ 3.5. Giả sử khối lượng của các viên gạch nung X do một nhà máy sản suất là đại
lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với giá trị trung bình E(X) = a; phương sai D(X) = σ 2
chưa biết. Để xác định khối lượng trung bình của một viên gạch ta lấy mẫu cỡ n = 50 và

thu được kết quả dạng khoảng [a, b) cho bởi bảng dưới đây:
Khối lượng (kg) 2,25-2,30 2,30-2,35 2,35-2,40 2,40-2,45
số viên gạch (ni )
7
20
18
5
Hãy ước lượng không chệch của E(X) và D(X).
Giải: Gọi W = (X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên nhận mẫu dữ liệu đã cho. Khi đó
n = 50. Ta có
x=

1
n

k

n i xi =
i=1

7.2, 275 + 20.2, 325 + 18.2, 375 + 5.2, 425
= 2, 346 kg
50

là ước lượng không chệch của E(X) = a.
Tính
k
1
2
s =

ni (xi − x)2 = 0, 001809 (kg 2 );
n i=1
(s )2 =

n 2
s ≈ 0, 001845(kg 2 )
n−1

là ước lượng không chệch của D(X) = σ 2 .
s = (s )2 ≈ 0, 0429kg là ước lượng của σ.
Ví dụ 3.6. Để xác định tỷ lệ gạch phế phẩm trong tổng số gạch của một nhà máy người
ta kiểm tra chất lượng 250 viên gạch có 6 viên không đạt chất lượng. Hãy ước lượng không
chệch cho tỷ lệ gạch phế phẩm của nhà mày này.
Giải: Gọi W = (X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên nhận các giá trị quan sát như đã
cho. Khi đó n = 250 và tỉ lệ gạch phế phẩm trong mẫu
f=

6
m
=
= 0, 024,
n
250

là ước lượng không chệch cho tỉ lệ gạch phế phẩm p do nhà máy sản xuất hay 2, 4%.

23

3.1.3

Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng

Phương pháp:
a) Xác định bài toán ước lượng tin cậy đối xứng của kỳ vọng hay trung bình EX thuộc
trường hợp nào trong ba trường hợp.
b) Áp dụng công thức khoảng tin cậy đối xứng cho EX tùy theo trường hợp đã xác định
ở trên.
Ví dụ 3.7. Người ta đo ngẫu nhiên chiều cao của 100 sinh viên thu được trung bình chiều
cao là 1, 69 m và độ lệch hiệu chỉnh là 0, 4. Biết rằng chiều cao của một sinh viên có phân
phối chuẩn, hãy xác định:
a) Ước lượng không chệch cho trung bình chiều cao của sinh viên.
b) Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho trung bình chiều cao của
sinh viên biết rằng độ lệch chuẩn của chiều cao là 0, 2.
c)Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho trung bình chiều cao của
sinh viên.
Giải: Gọi X là chiều cao của sinh viên, khi đó X ∼ N (µ, σ 2 ) với µ = EX, σ 2 = DX.
Gọi W = (X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên cảm sinh từ X. Ta có n = 100 và x = 1, 69,
độ lệch hiệu chỉnh là s = 0, 4. Ta ước lượng cho chiều cao trung bình µ.
a) µ = EX = 1, 69 m.
b) Độ tin cậy 1 − α = 0, 95 suy ra α = 0, 05. Đây là bài toán ước lượng khoảng đối xứng
cho µ biết σ = 0, 2.
Khoảng tin cậy đối xứng của µ là
σ
σ
x − u(1− α2 ). √ ; x + u(1− α2 ). √
n
n

.

Ta tính u(1− α2 ) = u0,975. Ta có Φ0 (u0,975 ) = 0, 975 − 0, 5 = 0, 475, suy ra u0,975 = 1, 96.
Thay u0,975 = 1, 96, σ = 0, 2 và x = 1, 69 vào khoảng tin cậy, ta thu được (1, 6508; 1, 7292).
c) Độ tin cậy 1 − α = 0, 95 suy ra α = 0, 05. Đây là bài toán ước lượng khoảng đối xứng
cho µ chưa biết σ và cỡ mẫu n > 30.
Khoảng tin cậy đối xứng của µ là
s
s
x − u(1− α2 ). √ ; x + u(1− α2 ). √
n
n

.

Ta tính u(1− α2 ) = u0,975. Ta có Φ0 (u0,975 ) = 0, 975 − 0, 5 = 0, 475, suy ra u0,975 = 1, 96.
Thay u0,975 = 1, 96, s = 0, 4 và x = 1, 69 vào khoảng tin cậy, ta thu được (1, 6116; 1, 7684).
Ví dụ 3.8. Người ta tiến hành cân trọng lượng (đơn vị kg) ngẫu nhiên của 25 gà trưởng
thành và thu được kết quả dạng khoảng [a, b) cho bởi bảng dưới đây:
Trọng lượng 1,1-1,3 1,3-1,5 1,5-1,7 1,7-1,9 1,9-2,1 2,1-2,3 2,3-2,5
Số lượng
2
4
5
7
3
2
2
Biết rằng trọng lượng của gà có phân phối chuẩn, hãy xác định:
24

a) Ước lượng không chệch trọng lượng trung bình của gà.
b) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng trọng lượng trung bình của gà với độ tin cậy 99%
và độ lệch chuẩn trọng lượng gà là 0, 3.
c) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng trọng lượng trung bình của gà với độ tin cậy 99%.
Giải: Gọi X là trọng lượng của gà, khi đó X ∼ N (µ, σ 2 ) với µ = EX, σ 2 = DX.
Gọi W = (X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên cảm sinh từ X. Ta có n = 25, x = 1, 752
và độ lêch hiệu chỉnh s
0, 3331. Ta ước lượng cho trọng lượng trung bình µ.
a) µ = 1, 752.
b) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho µ với độ tin cậy 99% và biết độ lệch chuẩn
σ = 0, 3.
Độ tin cậy 1 − α = 0, 99 suy ra α = 0, 01.
Khoảng tin cậy đối xứng của µ là
σ
σ
x − u(1− α2 ). √ ; x + u(1− α2 ). √
n
n

.

Ta tính u(1− α2 ) = u0,995. Ta có Φ0 (u0,995 ) = 0, 995 − 0, 5 = 0, 495, suy ra u0,995 = 2, 58.
Thay u0,995 = 2, 58, σ = 0, 3 và x = 1, 752 vào khoảng tin cậy, ta thu được (1, 5972; 1, 9068).
c) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho µ với độ tin cậy 99% và chưa biết độ lệch
chuẩn σ và cỡ mẫu n = 25 Độ tin cậy 1 − α = 0, 99 suy ra α = 0, 01.
Khoảng tin cậy đối xứng của µ là
(n−1) s
(n−1) s

x − T(1− α ). √ ; x + T(1− α ). √
2
2
n
n

.

(n−1)

24
= 3, 091.
Ta tính T(1− α ) = T0,995
2

24
Thay T0,995
= 3, 091, s
(1, 546078; 1, 957922).

3.1.4

0, 3331 và x = 1, 752 vào khoảng tin cậy, ta thu được

Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho phương sai

Phương pháp: Áp dụng công thức khoảng tin cậy đối xứng cho DX.
Ví dụ 3.9. Cho khối lượng một loại sản phẩm tuân theo luật phân phối chuẩn. Cân thử
từng sản phẩm của một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 đơn vị, ta có kết quả
Khối lượng (Kg) 29, 3 29, 7 30 30, 5 30, 7

Số sản phẩm
4
5
8
5
3
Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho phương sai của khối lượng sản
phẩm.
Giải: Gọi X là khối lượng của một sản phẩm. Khi đó X ∼ N (EX, DX). Gọi W =
(X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên nhận mẫu dữ liệu đã cho. Khi đó, ta có n = 25 ,
x = 30, 012 và (s )2 = 0, 2136. Đội tin cậy 1 − α = 0, 95, suy ra α = 0, 05.
25

2.2 Bài tập. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 12123 Mẫu thống kê và ước đạt tham số3. 1 Một số dạng bài tập cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3.1.1 Tính giá trị của những đặc trưng của mẫu. .. .. .. .. .. .. .. .. 3.1.2 Ước lượng điểm cho 1 số ít tham số đặc biệt quan trọng. .. .. .. .. .. .. . 3.1.3 Ước lượng khoảng chừng an toàn và đáng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng. .. .. .. .. .. . 3.1.4 Ước lượng khoảng chừng an toàn và đáng tin cậy đối xứng cho phương sai. .. .. .. .. . 3.1.5 Ước lượng khoảng chừng an toàn và đáng tin cậy đối xứng cho xác suất. .. .. .. .. .. . 3.1.6 Ước lượng cỡ mẫu tối thiểu khi biết độ đúng chuẩn hoặc độ dài khoảngước lượng đáng tin cậy đối xứng. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3.2 Bài tập. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2020202223242512141527304 Kiểm định giả thuyết4. 1 Tóm tắt kim chỉ nan. .. .. .. .. .. .. .. .. . 4.2 Một số dạng bài tập cơ bản. .. .. .. .. .. . 4.2.1 Kiểm định giả thiết cho kỳ vọng hay trung4. 2.2 Kiểm định giả thiết cho phương sai. .. . 4.2.3 Kiểm định giả thiết cho tỷ suất hay xác suất4. 3 Bài tập. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. … … . bình. . … … . 37373737394043H ướng dẫn giải bài tập chương 147H ướng dẫn giải bài tập chương 250H ướng dẫn giải bài tập chương 352H ướng dẫn giải bài tập chương 454C hương 1B iến cố ngẫu nhiên và phép tính xácsuất1. 1M ột số dạng bài tập cơ bản1. 1.1 Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diểnVí dụ 1.1. Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Rút ngẫu nhiênhai thẻ rồi đặt theo thứ tự từ trái qua phải. Tính xác suất để : a ) Rút được hai thẻ tạo thành 1 số ít có hai chữ số. b ) Rút được hai thẻ tạo thành 1 số ít chia hết cho 5. Giải. a ) Gọi A : ” Hai thẻ rút được tạo thành một số ít có hai chữ số “. Khi đóP ( A ) = 9.8 A29 ≈ 0, 0073. A100100. 99 b ) Gọi B : ” Hai thẻ rút được tạo thành một số ít chia hết cho 5 “. Khi đó thẻ thứ hai là phải là một trong 20 số 5, 10 ,. .., 100, còn thẻ thứ nhất là mộttrong 99 thẻ còn lại. Vậy số trường hợp thuận tiện cho B là 99.20, P ( B ) = 99.20 = 0, 2. A2100Ví dụ 1.2. Một hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng size. Rút ngẫunhiên cùng lúc 4 quả cầu. Tính xác suất để trong đó có : a ) Hai quả cầu đen. b ) Ít nhất 2 quả cầu đen. c ) Tất cả là cầu trắng. Giải. Số thành phần của khoảng trống mẫu là C10a ) Gọi A : ” Trong 4 quả cầu rút ra có 2 quả đen “. Số trường hợp hoàn toàn có thể xảy ra A là C32. C72. Do đó P ( A ) = C32. C72 = 0, 3. C10b ) Gọi B : ” Trong 4 quả cầu rút ra có tối thiểu hai quả đen “. Số trường hợp hoàn toàn có thể xảy ra B là C32. C72 + C33. C71. C 2. C 2 + C 3. C 1D o đó P ( B ) = 3 7 4 3 7 =. C10c ) Gọi C : ” Tất cả 4 quả cầu rút ra là cầu trắng “. Khi đó P ( C ) = 1.1.2 C74 7 =. C10Tính xác suất bằng cách dùng những công thức cộng, nhân vàxác suất có điều kiệnVí dụ 1.3. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên cấp dưới. Có 5 nam và 3 nữ dự tuyển, mỗi người đềucó thời cơ ứng tuyển ngang nhau. Tính xác suất để trong 4 người đó : a ) Có không quá 2 nam. b ) Có tối thiểu 1 nữ. c ) Có 3 nữ, biết rằng có tối thiểu 1 nữ đã được tuyển. Giải. Đặt Ak : ” Có k nam được tuyển trong 4 nhân viên cấp dưới “. a ) Gọi A : ” Có không quá 2 nam “. P ( A ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) = C51. C33 + C52. C32 =. C8b ) Gọi B : ” Có tối thiểu một nữ “. Xác suất để không có người nữ nào được tuyển là P ( A4 ). Khi đóP ( B ) = 1 − P ( A4 ) = 1 − C5413C814c ) Gọi C : ” Có 3 nữ, biết tối thiểu một nữ đã được tuyển “. VậyP ( C ) = P ( A1 / B ) = P ( A1 ) C 1 13 = 54. = P ( B ) C8 1413V í dụ 1.4. Một cuộc tìm hiểu trong thành phố X so với những hộ mái ấm gia đình sử dụng dịch vụtruyền hình cáp và internet, có 30 % hộ sử dụng truyền hình cáp, 20 % hộ sử dụng internetvà 15 % hộ sử dụng cả hai dịch vụ trên. Điều tra ngẫu nhiên một hộ mái ấm gia đình, tính xác suấtđể hộ này : a ) Không sử dụng dịch vụ nào. b ) Không dùng internet, biết người này đã dùng truyền hình cáp. Giải. Đặt A : ” Hộ mái ấm gia đình sử dụng truyền hình cáp ” ; B : ” Hộ mái ấm gia đình sử dụng internet “. Ta có : P ( A ) = 0, 3 ; P ( B ) = 0, 2 ; P ( AB ) = 0, 15. ¯ B ) ¯ = P ( A ) ¯ + P ( B ) ¯ − P ( AB ) ¯ = a ) Xác suất để hộ mái ấm gia đình không dùng dịch vụ nào là P ( A. 1513 + 1 − − ( 1 − ) =. 1 − 101010020P ( AB ) P ( A ) − P ( AB ) 0, 3 − 0, 15 b ) Xác suất cần tính là P ( B / A ) =. P ( A ) P ( A ) 0, 3V í dụ 1.5. Để xây dựng đội tuyển vương quốc về một môn thể thao, người ta tổ chức triển khai mộtcuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80 % thí sinh, vòng thứ hai lấy 70 % thí sinhđã qua vòng thứ nhất, vòng thứ ba lấy 45 % thí sinh đã qua vòng thứ hai. a ) Tính xác suất để một thí sinh bất kể được vào đội tuyển. b ) Biết thí sinh này bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại ở vòng thứ hai. Giải. Đặt Ai : ” Thí sinh được chọn ở vòng thứ i “, i ∈ { 1, 2, 3 }. Ta có : P ( A1 ) = 0, 8 ; P ( A2 / A1 ) = 0, 7 ; P ( A3 / A1 A2 ) = 0, 45. a ) Xác suất để thí sinh được vào đội tuyển là P ( A1 A2 A3 ). Theo công thức nhân xác suấtta có : P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ). P ( A2 / A1 ). P ( A3 / A1 A2 ) = 0, 8.0, 7.0, 45 = 0, 252. b ) Đặt K : ” Thí sinh đó bị loại “. Khi đó P ( K ) = P ( A ¯ 1 ) + P ( A1 A ¯ 2 ) + P ( A1 A2 A ¯ 3 ). P ( A ¯ 1 ) = 1 − P ( A1 ) = 0, 2 ; P ( A1 A ¯ 2 ) = P ( A1 ). P ( A ¯ 2 / A1 ) = P ( A1 ) ( 1 − P ( A2 / A1 ) ) = 0, 8.0, 3 = 0, 24 ; P ( A1 A2 A ¯ 3 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A ¯ 3 / A1 A2 ) = 0, 8.0, 7.0, 55 = 0, 308. → P ( A1 A2 A ¯ 3 ) = 0, 2. + 0, 24 + 0, 308 = 0, 748. Vậy xác suất để thí sinh đó bị loại ở vòng hai, biết rằng thí sinh đã bị loại là : P ( A ¯ 2 / K ) = P ( A ¯ 2. K ) P ( A1 A ¯ 2 ) 0, 24 = 0, 3209. P ( K ) P ( K ) 0, 7481.1.3 Tính xác suất bằng cách dùng công thức xác suất toàn phầnvà công thức BayesVí dụ 1.6. Có hai lô loại sản phẩm : lô 1 gồm toàn chính phẩm, lô 2 có tỷ suất phế phẩm và chínhphầm là. Chọn ngẫu nhiên một lô rồi trong lô này lây ngẫu nhiên một loại sản phẩm, thấy nólà chính phẩm, sau đó hoàn trả sản phảm này vào lô. Hỏi rằng nếu lấy ngẫu nhiên cũng từlô đã chọn một mẫu sản phẩm thì xác suất để được phế phẩm là bao nhiêu ? Giải. Gọi Hi : ” Chọn được lô i, i ∈ { 1, 2 }, ta có ; P ( H1 ) = P ( H2 ) =. Gọi A : ” Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất ” thìP ( A / H1 ) = 1, P ( A / H2 ) =. Theo công thức xác suất toàn phần : P ( A ) = P ( H1 ) P ( A / H1 ) + P ( H2 ) P ( A / H2 ) = 10T heo công thức Bayes : P ( H1 / A ) =, P ( H2 / A ) =. Gọi B : ” Lấy được phế phẩm ở lần thứ hai “, theo công thức xác suất toàn phần, ta có : 4 1P ( B ) = P ( H1 / A ) P ( B / ( H1 / A ) ) + P ( H2 / A ) P ( B / ( H2 / A ) ) =. 0 +. =. 9 5451.1.4 Tính xác suất bằng cách dùng công thức BernoulliVí dụ 1.7. Một nhân viên cấp dưới bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi vói xác suất bán đượchàng ở mỗi nơi là 0,2. a ) Tính xác suất để người đó bán được hàng ở 2 nơi. b ) Tính xác suất để người đó bán được hàng ở tối thiểu 1 nơi. Giải. Coi việc bán hàng ở mỗi nơi là một phép thử thì ta có 10 phép thử độc lập. Gọi A là biếncố : ” người đó bán được hàng ” thì P ( A ) = 0, 2. a ) Người đó bán được hàng ở 2 nơi nghĩa là biến cố A Open 2 lần, xác suất cần tính là : P10 ( 2 ) = C10 ( 0, 2 ) 2 ( 1 − 0, 2 ) 8 = 0, 302. b ) Xác suất để người đó bán được hàng ở tối thiểu 1 nơi là : 1 − P10 ( 0 ) = 1 − C10 ( 0, 2 ) 0 ( 1 − 0, 2 ) 10 = 0, 8296.1.1.5 Dạng bài tập tổng hợpVí dụ 1.8. Có ba hộp A, B, C đựng những lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp Bcó 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng ; hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng. a ) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất để được 3 lọ cùng loại. b ) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra 3 lọ thuốc thì được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng. Tínhxác suất để hộp được chọn là hộp A.Giải.a ) Gọi Ai : ” Lọ lấy ra từ hộp thứ i là tốt “, i ∈ { 1, 2, 3 }. Xác suất để được 3 lọ cùng loại làP ( A1 A2 A3 + A ¯ 1 A ¯ 2 A ¯ 3 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A ¯ 1 ) P ( A ¯ 2 ) P ( A ¯ 3 ) 10 6 5 =. 4 515 10 101515 · 10 10 b ) Gọi Hi : ” Lấy được hộp thứ i “, i ∈ { A, B, C } ; X : ” Lấy được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng “. Khi đó P ( HA ) = P ( HB ) = P ( HC ) =. Xác suất để hộp A được chọn là P ( HA / X ). Theo công thức Bayes : P ( HA ) P ( X / HA ) P ( XHA ) P ( HA / X ) = P ( X ) P ( X ) Theo công thức xác suất toàn phần, ta có : P ( X ) = P ( HA ) P ( X / HA ) + P ( HB ) P ( X / HB ) + P ( HC ) P ( X / HC ). C 2C 1C 1C 2C 1C 2L ần lượt có P ( X / HA ) = 5 3 10 ; P ( X / HB ) = 6 3 4 ; P ( X / HC ) = 5 3 5. C15C10C105113 ≈ 0, 312. Do đó P ( HA / X ) = 0, 2347. Thay vào công thức ta có : P ( X ) = 16380V í dụ 1.9. Thống kê năm học trước của một trường ĐH, tỉ lệ sinh viên thi trượt mônToán là 34 %, thi trượt môn Ngoại ngữ là 20.5 %, và trong số những sinh viên thi trượt Toán có50 % sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ. a ) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường, nhiều năng lực nhất là có bao nhiêu sinh viênthi trượt cả hai môn Toán và Ngoại ngữ ? Tính xác suất tương ứng. b ) Phải chọn bao nhiêu sinh viên sao cho trong số đó, với xác suất không bé hơn 99 %, có ítnhất một sinh viên đỗ cả hai môn ? Giải. Gọi T : ” viên thi trượt môn Toán ” ; N : ” Sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ “. Ta có : P ( T ) = 0, 34 ; P ( N ) = 0, 205 ; P ( N / T ) = 0, 5. a ) Xác suất sinh viên trượt cả hai môn là P ( T.N ) = P ( T ). P ( N / T ) = 0, 34.0, 5 = 0, 17. Chọn 12 sinh viên nghĩa là triển khai phép thử Bernoulli với xác suất trượt cả hai môn làp = 0, 17. Số sinh viên nhiều năng lực trượt cả hai môn nhất là [ ( n + 1 ) p ] = [ 13.0, 17 ] = 2. Xác suất tương ứng là P12 ( 2 ) = C12 ( 0, 17 ) 2 ( 1 − 0, 17 ) 1 0 = 0, 296. ¯ ) = 1 − P ( T ∩ N ) = 1 − P ( T ) − P ( N ) + P ( T.N ) = b ) Xác suất sinh viên đỗ cả hai môn là P ( T ¯. N0, 625. Gọi n là số sinh viên cần chọn, I : ” Ít nhất một sinh viên đỗ cả hai môn “. Theo đề bài tacó : P ( I ) = 1 − Pn ( 0 ) = 1 − ( 1 − 0, 625 ) n ≥ 0, 99 ⇔ 0, 375 n ≤ 0, 01 ⇔ n ≥ 4, 69. Vậy cần chọn tối thiểu 5 sinh viên. 1.2 Bài tậpBài 1.1. Trong hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn trả lầnlượt 2 mẫu sản phẩm. Tính xác suất để 2 mẫu sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm. Bài 1.2. Một lô hàng có 9 loại sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫunhiên 3 mẫu sản phẩm, kiểm tra xong lại trả vào lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra, 9 loại sản phẩm đều được kiểm tra. Bài 1.3. Hai máy bay cùng ném bom một tiềm năng, mỗi máy bay ném một quả với xác suấttrúng tiềm năng tương ứng là 0,6 và 0,7. Tính xác suất để tiềm năng bị trúng bom. Bài 1.4. Trong mội đội tuyển có 3 vận động viên A, B, C tranh tài với xác suất thắng lầnlượt là 0, 6 ; 0, 7 và 0, 8. Giả sử mỗi người tranh tài một trận độc lập nhau. Tính xác suất để : a ) Đội tuyển thắng tối thiểu một trậnb ) Đội tuyển thắng hai trậnc ) Vận động viên A thua trong trường hợp đội tuyển thắng hai trận. Bài 1.5. Hộp I có 6 bi xanh, 4 bi đỏ ; hộp II có 5 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từmỗi hộp 2 viên bi. Tính xác suất để : a ) Lấy được 4 viên bi cùng màub ) Lấy được 3 bi xanh và 1 bi đỏc ) Lấy được 2 bi xanh và 2 bi đỏ. Bài 1.6. Một lô hàng gồm 100 mẫu sản phẩm, trong đó 6 sản phẩm loại II và 4 loại sản phẩm loạiIII, số còn lại là sản phẩm loại I. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 loại sản phẩm. Tính xác suất đểđược : a ) 3 loại sản phẩm khác loạib ) 3 mẫu sản phẩm cùng loạic ) Được đúng 1 sản phẩm loại Id ) Được tối thiểu 1 sản phẩm loại I.Bài 1.7. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc ( cân đối, đồng chất ). Tính xác suất : a ) Được tối thiểu một mặt 6 b ) Được tổng số chấm lớn hơn 9 c ) Được hiệu số chấm là 2 d ) Xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt 4 e ) Xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt chẵn. Bài 1.8. Trong hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 loại sản phẩm ( không hoàn trả ). Tính xác suất đểa ) 2 loại sản phẩm lấy ra đều là chính phẩmb ) Lần thứ hai lấy được phế phẩm, biết rằng lần đầu được chính phẩm. Bài 1.9. Một cuộc tìm hiểu cho thấy, xác suất để một hộ mái ấm gia đình có máy vi tính nếu thunhập hàng năm trên 50 triệu là 0, 75. Trong số những hộ được tìm hiểu thì 60 % có thu nhập trên50 triệu và 52 % có máy vi tính. Tính xác suất để một hộ mái ấm gia đình được chọn ngẫu nhiên : a ) Có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 50 triệub ) Có máy vi tính, nhưng không có thu nhập hàng năm trên 50 triệuc ) Có thu nhập hàng năm trên 50 triệu, biết rằng hộ đó không có máy vi tính. Bài 1.10. Một lô hàng do 3 nhà máy sản xuất A, B, C sản xuất, tỉ lệ mẫu sản phẩm của 3 nhà máy sản xuất lầnlượt là 30 %, 20 %, 50 % và tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1 %, 2 %, 3 %. Chọn ngẫu nhiên 1 sảnphẩm từ lô hàng. Tính xác suất để loại sản phẩm này là phế phẩm. Bài 1.11. Có 3 hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và 1 ốngxấu, hộp III có 3 ống tốt và 2 ống xấu. Lấy ngẫu nhiên một hộp và rút ra từ hộp đó mộtống thuốc thì được ống tốt. Tính xác suất để ống này thuộc hộp II.Bài 1.12. Một nhân viên cấp dưới truy thuế kiểm toán nhận thấy 15 % những bảng thu chi chứa những sai lầm đáng tiếc. Trong những bảng chứa sai lầm đáng tiếc, 60 % được xem là những giá trị không bình thường so với những số xuấtphát từ gốc. Trong toàn bộ những bảng thu chi thì 20 % là những giá trị không bình thường. Nếu mộtcon số ở một bảng thu chi là không bình thường thì xác suất để số đó là một sai lầm đáng tiếc là bao nhiêu ? 10B ài 1.13. Một hãng sản xuất tủ lạnh ước tính khoảng chừng 80 % số người dùng tủ lạnh có đọcquảng cáo do hãng sản xuất. Trong số đó có 30 % mua tủ lạnh của hãng. 10 % không đọcquảng cáo cũng mua tủ lạnh của hãng. Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua tủlạnh của hãng mà có đọc quảng cáo. Bài 1.14. Trong hộp có 10 mẫu sản phẩm, trong đó có đúng 6 loại sản phẩm tốt. Một người lấy lầnlượt từng mẫu sản phẩm ( không hoàn trả ) đến khi được 3 loại sản phẩm tốt thì dừng lại. Tính xácsuất để : a ) người đó dừng lại sau lần lấy thứ ba. b ) người đó dừng lại sau lần lấy thứ tư. c ) lần thứ ba lấy được mẫu sản phẩm xấu, biết rằng người đó dừng lại sau lần thứ tư. Bài 1.15. Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B ; hộp thứ hai có 5 sảnphẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 loại sản phẩm. a ) Tính xác suất để được 3 sản phẩm loại Ab ) Giả sử lấy được 1 sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A. Nhiều năng lực là sản phầmloại B thuộc hộp nào, tại sao ? Bài 1.16. Có 2 máy cùng sản suất một loại mẫu sản phẩm. Máy thứ nhất cung ứng được 70 % sản lượng, máy thứ hai cung ứng được 30 % sản lượng. Khoảng 80 % loại sản phẩm sản suất bởimáy 1 và 90 % mẫu sản phẩm sản suất bởi máy 2 là đạt nhu yếu. a ) Hỏi trung bình cả hai máy sản suất được bao nhiêu Xác Suất mẫu sản phẩm đạt nhu yếu ? b ) Lấy ngẫu nhiên ra một mẫu sản phẩm thấy nó đạt nhu yếu. Tính xác suất để loại sản phẩm đó làdo máy 1 sản suất. c ) Giả sử lấy được 1 loại sản phẩm không đạt nhu yếu. Theo anh / chị thì nhiều năng lực sảnphẩm này do máy nào sản suất ra ? Bài 1.17. Có 3 người muốn đi xem bóng đá nhưng chỉ có 2 vé. Họ tổ chức triển khai bốc thăm lầnlượt với hai thăm ” có ” và một thăm ” không “. Hỏi cách làm vậy có công minh hay không ? Hãy lý giải ? Bài 1.18. Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65 %. Chọn ngẫu nhiên12 người. Tính xác suất để trong đó có đúng 5 người thích xem bóng đá. Bài 1.19. Một game show có xác suất thắng mỗi ván là 1/50. Nếu một người chơi 50 ván thìxác suất để người đó thắng tối thiểu một ván là bao nhiêu ? Bài 1.20. Một lô hàng có 6 % là phế phẩm. Người ta dùng giải pháp chọn mẫu để kiểmtra lô hàng và quy ước rằng : kiểm tra lần lượt không hoàn trả 6 mẫu sản phẩm, nếu có tối thiểu 1 mẫu sản phẩm là phế phẩm thì loại lô hàng. Tính xác suất để đồng ý lô hàng. 11B ài 1.21. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một nhà máy sản xuất là 8 %. Khảo sát một lô hàng gồm75 loại sản phẩm do nhà máy sản xuất đó sản xuất. a ) Tính xác suất để trong lô hàng, có 10 phế phẩmb ) Trong lô hàng, nhiều năng lực là có bao nhiêu phế phẩm ? Tính xác suất tương ứng. Bài 1.22. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số ít hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạtlép là 3 % để nghiên cứu và điều tra. Hỏi phải lấy tối thiểu bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhấtmột hạt lép không bé hơn 95 % ? 12C hương 2 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phânphối xác suất2. 12.1.1 Một số dạng bài tập cơ bảnTìm phân phối xác suất và những đặc trưng của đại lượng ngẫunhiên rời rạcVí dụ 2.1. Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối đồng chất, quan sát số nút xuất hiệnở mặt trên của hai con xúc xắc, gọi X là ĐLNN chỉ số lớn nhất trong hai số Open. a ) Lập bảng phân phối xác suất của X ; b ) Tìm P ( X ≤ 3 ) ; P ( 2 ≤ X 1×30, x ≤ 1T ìm a, F ( x ) và P ( 0 0 ]. b ) Tính P [ | X − 1 | ≤ 2 ]. c ) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = 3 − X.d ) Tính kỳ vọng và phương sai của X.e ) Lập hàm phân phối xác suất của X.Bài 2.2. Cho đại lượng ngẫu nhiên X với bảng phân phối xác suất : P [ X = x ] 0, 20,60,2 a ) Tìm kỳ vọng và phương sai của X.b ) Đặt Y = 3X + 4. Tìm kỳ vọng và phương sai của Y. c ) Đặt Z = | X − 4 |. Tìm kỳ vọng và phương sai của Z.Bài 2.3. Một lớp học 40 học viên có tỉ lệ học viên cần mẫn là 0,4. Chọn ngẫu nhiên 3 họcsinh, gọi X là số học viên chịu khó. Lập bảng phân phối của X. Trung bình chọn được baonhiêu học viên chịu khó ? Bài 2.4. Một thùng chứa 10 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 2 loại sản phẩm. Gọi X là số chính phẩm lấy được. a ) Lập bảng phân phối xác suất của X.b ) Lập hàm phân phối xác suất của X.c ) Tính P [ X 2 1 a ) Tìm a. b ) Lập hàm tỷ lệ f ( x ). c ) Tìm xác suất để X nhận giá trị trong khoảng chừng ( 0,25 ; 0,75 ). Bài 2.9. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn và X ∼ N ( 300, 502 ). a ) Tính P [ X > 362 ]. b ) Tính P [ X ≤ 250. c ) Tính P [ 275 30. Khoảng đáng tin cậy đối xứng của µ làx − u ( 1 − α2 ). √ ; x + u ( 1 − α2 ). √ Ta tính u ( 1 − α2 ) = u0, 975. Ta có Φ0 ( u0, 975 ) = 0, 975 − 0, 5 = 0, 475, suy ra u0, 975 = 1, 96. Thay u0, 975 = 1, 96, s = 0, 4 và x = 1, 69 vào khoảng chừng đáng tin cậy, ta thu được ( 1, 6116 ; 1, 7684 ). Ví dụ 3.8. Người ta triển khai cân khối lượng ( đơn vị chức năng kg ) ngẫu nhiên của 25 gà trưởngthành và thu được hiệu quả dạng khoảng chừng [ a, b ) cho bởi bảng dưới đây : Trọng lượng 1,1 – 1,3 1,3 – 1,5 1,5 – 1,7 1,7 – 1,9 1,9 – 2,1 2,1 – 2,3 2,3 – 2,5 Số lượngBiết rằng khối lượng của gà có phân phối chuẩn, hãy xác lập : 24 a ) Ước lượng không chệch khối lượng trung bình của gà. b ) Ước lượng khoảng chừng đáng tin cậy đối xứng khối lượng trung bình của gà với độ đáng tin cậy 99 % và độ lệch chuẩn khối lượng gà là 0, 3. c ) Ước lượng khoảng chừng đáng tin cậy đối xứng khối lượng trung bình của gà với độ an toàn và đáng tin cậy 99 %. Giải : Gọi X là khối lượng của gà, khi đó X ∼ N ( µ, σ 2 ) với µ = EX, σ 2 = DX.Gọi W = ( X1, X2, · · ·, Xn ) là mẫu ngẫu nhiên cảm sinh từ X. Ta có n = 25, x = 1, 752 và độ lêch hiệu chỉnh s0, 3331. Ta ước đạt cho khối lượng trung bình µ. a ) µ = 1, 752. b ) Ước lượng khoảng chừng đáng tin cậy đối xứng cho µ với độ đáng tin cậy 99 % và biết độ lệch chuẩnσ = 0, 3. Độ an toàn và đáng tin cậy 1 − α = 0, 99 suy ra α = 0, 01. Khoảng đáng tin cậy đối xứng của µ làx − u ( 1 − α2 ). √ ; x + u ( 1 − α2 ). √ Ta tính u ( 1 − α2 ) = u0, 995. Ta có Φ0 ( u0, 995 ) = 0, 995 − 0, 5 = 0, 495, suy ra u0, 995 = 2, 58. Thay u0, 995 = 2, 58, σ = 0, 3 và x = 1, 752 vào khoảng chừng đáng tin cậy, ta thu được ( 1, 5972 ; 1, 9068 ). c ) Ước lượng khoảng chừng an toàn và đáng tin cậy đối xứng cho µ với độ đáng tin cậy 99 % và chưa biết độ lệchchuẩn σ và cỡ mẫu n = 25

Exit mobile version