Lý thuyết Bội chung và bội chung nhỏ nhất Toán 6 Cánh diều>

I. Bội chung

1. Định nghĩa

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

2. Kí hiệu

+ BC\(\left( {a,b} \right)\) là tập hợp các bội chung của \(a\) và \(b\).

3. Cách tìm bội chung

a) Tìm bội chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các bội B(a) của a và các bội B(b) của b.

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Ví dụ: \(B\left( 3 \right) = \left\{ {0;3;6;9;12;…} \right\}\); \(B\left( 2 \right) = \left\{ {0;2;4;6;8;10;12;…} \right\}\)

Nên \ ( BC \ left ( { 2,3 } \ right ) = \ left \ { { 0 ; 6 ; 12 ; … } \ right \ } \ )

b) Tìm bội chung của ba số a, b và c

Bước 1: Viết tập hợp các bội của a, của b và của c: B(a), B(b), B(c)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a), B(b) và B(c).

Nhận xét:

+ ) \ ( x \ in BC \ left ( { a ; b } \ right ) \ ) nếu \ ( x \ vdots a \ ) và \ ( x \ vdots b \ )+ ) \ ( x \ in BC \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) nếu \ ( x \ vdots a \ ) ; \ ( x \ vdots b \ ) và \ ( x \ vdots c \ )

Chú ý:

+ Ta chỉ xét bội chung của những số khác 0 .+ Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm những thành phần chung của hai tập hợp đó .+ Kí hiệu : Giao của tập hợp A và tập hợp B là \ ( A \ cap B \ )

Ví dụ:\(B\left( 2 \right) \cap B\left( 3 \right) = BC\left( {2;3} \right)\)

II. Bội chung nhỏ nhất

1. Định nghĩa

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó..

2. Kí hiệu

+) \(BCNN\left( {a,b} \right)\) là bội chung nhỏ nhất của \(a\) và \(b\).

+) BC\(\left( {a,b} \right)\) là tập hợp còn BCNN\(\left( {a,b} \right)\) là một số.

3. Cách tìm bội chung lớn nhất bằng định nghĩa

a) Cách tìm bội chung nhỏ nhất trong các trường hợp đặc biệt

Nếu số lớn nhất là bội của những số còn lại thì BCNN của những số đã cho là số lớn nhất đó .

Nếu \(a \vdots b\) thì \(BCNN\left( {a,b} \right) = a\)

Với mọi số tự nhiên a và b ta có :\ ( BCNN \ left ( { a, 1 } \ right ) = a ; \ ) \ ( BCNN \ left ( { a, b, 1 } \ right ) = BCNN \ left ( { a, b } \ right ) \ )

Ví dụ:

Bội chung nhỏ nhất của 12 và 36 là 12 vì \ ( 36 \ vdots 12 \ ) .

b) Cách tìm BCNN của hai số a và b bằng định nghĩa

Bước 1. Tìm tập hợp các bội chung của hai số a và b: BC\(\left( {a,b} \right)\)

Bước 2. Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung vừa tìm được: BCNN\(\left( {a,b} \right)\)

Ví dụ : Tìm BCNN (15 ; 20)

\ ( \ begin { array } { l } B \ left ( { 15 } \ right ) = \ left \ { { 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; 90 ; 105 ; 120 ; .. } \ right \ } \ \ B \ left ( { 20 } \ right ) = \ left \ { { 0 ; 20 ; 40 ; 60 ; 80 ; 100 ; 120 ; … } \ right \ } \ \ BC \ left ( { 15,20 } \ right ) = \ left \ { { 0 ; 60 ; 120 ; … } \ right \ } \ end { array } \ )Số nhỏ nhất khác 0 trong những bội chung trên là 60 nên BCNN ( 15, 20 ) = 60 .

III. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

1. Cách tìm bội chung nhỏ nhất-BCNN

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta triển khai theo ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Ví dụ: Tìm BCNN của \(15\) và \(20.\)

Ta có \ ( 15 = 3.5 ; 20 = { 2 ^ 2 }. 5 \ )Nên \ ( BCNN \ left ( { 15,20 } \ right ) = { 2 ^ 2 }. 3.5 = 60. \ )

2. Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ví dụ: \(BCNN\left( {15,20} \right) = 60\) nên \(BC\left( {15,20} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;…} \right\}\)

IV. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Tìm mẫu chung của hai phân số

Cách 1: Chọn mẫu chung cho hai phân số là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số đó.

Cách 2: Chọn bội chung bất kì khác 0 của 2 mẫu số đó.

Ví dụ:Quy đồng mẫu số hai phân số \(\dfrac{7}{{30}}\) và \(\dfrac{5}{{42}}\)

\ ( \ begin { array } { l } 30 = 2.3.5 \ \ 42 = 2.3.7 \ end { array } \ )\ ( \ begin { array } { l } \ Rightarrow BCNN \ left ( { 30 ; 42 } \ right ) = 2.3.5. 7 = 210 \ \ \ Rightarrow BC \ left ( { 30 ; 42 } \ right ) = \ left \ { { 0 ; 210 ; 420 ; … } \ right \ } \ end { array } \ )

+) Cách 1: Chọn mẫu chung là 210. Ta được:

\ ( \ begin { array } { l } \ dfrac { 7 } { { 30 } } = \ dfrac { { 7.7 } } { { 210 } } = \ dfrac { { 49 } } { { 210 } } \ \ \ dfrac { 5 } { { 42 } } = \ dfrac { { 5.5 } } { { 42.5 } } = \ dfrac { { 25 } } { { 210 } } \ end { array } \ )

+) Cách 2: Chọn mẫu chung là một bội chung bất kì khác 0 của 30 và 42. Chẳng hạn 420, ta được:

\ ( \ begin { array } { l } \ dfrac { 7 } { { 30 } } = \ dfrac { { 7.14 } } { { 30.14 } } = \ dfrac { { 98 } } { { 420 } } \ \ \ dfrac { 5 } { { 42 } } = \ dfrac { { 5.10 } } { { 42.10 } } = \ dfrac { { 50 } } { { 420 } } \ end { array } \ )

CÁC DẠNG TOÁN VỀ BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

I. Nhận biết và viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số

Phương pháp:

+ Để phân biệt 1 số ít là bội chung của hai số, ta kiểm tra xem số này có chia hết cho hai số đó hay không ?+ Để viết tập hợp những bội chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp những bội của mỗi số rồi tìm giao của những tập hợp đó .

II. Bài toán đưa về việc tìm BC, BCNN của hai hay nhiều số

Phương pháp:

Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm BC, BCNN của hai hay nhiều số .

Ví dụ:

Có hai chiếc máy bay A và B. Lịch bảo trì định kì so với máy A là 6 tháng và so với máy B là 9 tháng. Hai máy vừa cùng được bảo trì vào tháng 5. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu tháng nữa thì hai máy lại được bảo trì trong cùng một tháng .GiảiThời gian hai máy bay được bảo trì cùng nhau trong lần tiếp theo là BCNN của 6 và 9 .Ta có : BCNN ( 6, 9 ) = 36Vậy sau tối thiểu 36 tháng thì hai máy bay lại được bảo trì trong cùng một tháng .

III. Tìm các bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

+ Tìm BCNN của hai hay nhiều số cho trước.

+ Tìm những bội của BCNN .+ Chọn trong số đó những ước hoặc những bội thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo đã cho .