Định nghĩa các loại hình học – Giáo Án Điện Tử

Bạn đang xem nội dung tài liệu Định nghĩa các loại hình học, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

giác có cả ba cạnh có độ dài bằng nhau, nói cách khác: ba góc trong bằng nhau và 
có giá trị bằng π / 3 rad.
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh có độ dài bằng nhau, các cạnh này được gọi là cạnh bên, nói cách khác: tam giác cân là tam giác có hai góc trong bằng nhau (chúng được gọi là các góc ở đáy). 
Tam giác thường
Tam giác đều
Tam giác cân
Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng π / 2 rad, góc vuông. Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền, là cạnh lớn nhất. Hai cạnh kia là cạnh góc vuông của tam giác vuông. Định lý Pytago là định lí nổi tiếng đối với hình tam giác vuông, mang tên nhà toán học, triết gia Pytago. 
Tam giác tù là tam giác có một góc trong lớn hơn π / 2 rad (một góc tù). 
Tam giác nhọn là tam giác có ba góc trong đều nhỏ hơn π / 2 rad (ba góc nhọn). 
Tam giác vuông
Tam giác tù
Tam giác nhọn
Một số tam giác khác là trường hợp đặc biệt trong các phân lớp kể trên. Thí dụ: Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông vừa là tam giác cân. 
	Một số tính chất của tam giác (trong hình học Euclide)
Tổng các góc trong của một tam giác bằng hai góc vuông (π rad hay 180o). 
Độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và nhỏ hơn tổng độ dài của chúng. 
Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trực tâm của tam giác. 
Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trọng tâm của tam giác. Mọi đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác đều chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. 
Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. 
Trong hai cạnh của cùng một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn có chiều dài lớn hơn. Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. 
Định lý hàm số cosin: Trong một tam giác, bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai canh còn lại trừ đi hai lần tích của độ dài hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó. 
Định lý hàm số sin: Trong một tam giác tỷ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh với sin của góc đối diện là như nhau cho cả ba cạnh. 
Trong hình học phi Euclide thì một tam giác có thể có tổng ba góc phụ thuộc vào kích thước của tam giác, khi kích thước tam giác gia tăng thì tổng đó tiến tới giá trị là 0 và có diện tích là vô hạn. 
Trong hình học Hyperbolic, tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn 180°
Trên hình học mặt cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu lớn hơn 180°
Các công thức tính diện tích tam giác
Tính diện tích tam giác là một bài toán sơ cấp thường gặp trong hình học sơ cấp
Sử dụng hình học
Diện tích S bằng S = ½bh, trong đó b là độ dài của một cạnh bất kỳ của tam giác (thường gọi là đáy) và h là độ dài đường cao hạn từ đỉnh đối diện xuống cạnh ấy. 
Có thể giải thích công thức này bằng cách dùng diện tích hình chữ nhật như sau:
Diện tích tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành, diện tích hình bình hành bằng diện tích một hình chữ nhât.
Từ một tam giác (màu xanh lá cây), ta sao một tam giác bằng nó,(màu xanh lam), quay góc 180°, và ghép chúng thành hình bình hành. Cắt một phần của hình bình hành, ghép lại thành hình chữ nhật. Vì diện tích hình chữ nhật là bh, nên diện tích tam giác là ½bh.
Dùng vectơ
Diện tích hình bình hành là tích có hướng của hai vectơ.
Nếu tứ giác ABDC là hình bình hành thì diện tích của nó được tính bởi công thức:
trong đó là tích có hướng của hai vectơ và .
Diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích của hình bình hành ABDC nên:
Dùng lượng giác
Sử dụng lượng giác để tính diện tích tam giác.
Vì và nên ta có: 
Dùng tọa độ
Nếu đỉnh A đặt ở gốc tọa độ (0, 0) của hệ tọa độ Descartes và tọa độ của hai đỉnh kia là B = (xB, yB) và C = (xC, yC), thì diện tích S của tam giác ABC bằng một nửa của giá trị tuyệt đối của định thức
Trong trường hợp tổng quát, ta có:
Trong không gian ba chiều, diện tích của tam giác cho bởi {A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB) và C = (xC, yC, zC)} là tổng 'Pythagor' của các diện tích các hình chiếu của chúng trên các mặt phẳng tọa độ (nghĩa là x=0, y=0 and z=0):
Dùng công thức Heron
Cũng có thể tính diện tích tam giác S theo Công thức Heron:
trong đó là nửa chu vi của tam giác.
Những nguyên tắc cơ bản
Euclid (phát âm là Ơ-clit) đã trình bày các nguyên tắc cơ bản về tam giác trong tập 1-4 tác phẩm Cơ sở (Elements) của ông, viết khoảng năm 300 TCN.
Tam giác là đa giác và đơn hình bậc 2 (xem đa diện).
Hai tam giác là đồng dạng nếu có thể khai triển (co hay giãn) tam giác này theo cùng một tỷ lệ để có tam giác kia. Trường hợp này, độ dài của những bên đồng vị có tỷ lệ bằng nhau. Tức là nếu cạnh dài nhất trong một tam giác gấp đôi cạnh dài nhất của tam giác đồng dạng, thì cạnh ngắn nhất của nó cũng gấp đôi cạnh ngắn nhất của tam giác kia, và đường trung tuyến của tam giác đó cũng sẽ phải gấp đôi đường tương ứng của tam giác kia. Hơn nữa, tỷ lệ cạnh dài trên cạnh ngắn của một tam giác sẽ phải bằng tỷ lệ cạnh dài trên cạnh ngắn của tam giác kia. Điều quan trọng là những góc đồng vị phải bằng nhau để hai tam giác được đồng dạng nhau. Việc này cũng xảy ra nếu một tam giác có một cạnh chung với tam giác kia, và những cạnh đối với nó thì bằng nhau.
Hàm lượng giác sin và cosin có thể hiểu được khi dùng tam giác vuông và khái niệm đồng dạng. Đó là hai hàm của góc được nghiên cứu bởi lượng giác học.
Một số định lý
Một số định lý cổ điển liên quan đến tam giác là: Định lý Pythagore, Định lý Apollonius, Định lý Stewart, ...
Tứ giác
Trong hình học, tứ giác là đa giác có 4 cạnh và 4 đỉnh.
Phân loại
Tứ giác đơn và tứ giác kép
Tứ giác có thể là tứ giác đơn (không có cạnh nào cắt nhau), hoặc tứ giác kép (có 2 cạnh cắt nhau). Tứ giác đơn có thể lồi hay lõm.
Tứ giác lồi và tứ giác lõm
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm gọn trong một nửa mặt phẳng có bờ chứa bất kì cạnh nào nó. Ngược lại, trong tứ giác lõm luôn tồn tại ít nhất một cạnh mà đường thẳng chứa cạnh đó chia cắt tứ giác thành hai phần.
Riêng tứ giác lồi được phân loại như sau:
Về đặc điểm giữa các cạnh, các góc 
Hình thang là hình có 2 cạnh đối song song, 2 cạnh còn lại không song song. 
Hình thang cân: có 2 cạnh đối song song, 2 cạnh còn lại thì có độ dài bằng nhau và 2 góc cuối cạnh của đường song song thì bằng nhau, Điều này có nghĩa là đường chéo bằng nhau. 
Hình diều: có hai cạnh kề bằng nhau và 2 cạnh còn lại bằng nhau; đồng nghĩa với 1 cặp góc đối bằng nhau và các đường chéo vuông góc, đối xứng qua một đường chéo. 
Hình bình hành: 2 cặp cạnh đối song song; đồng nghĩa với các cạnh đối bằng nhau, góc đối thì bằng nhau, đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 
Hình thoi: 4 cạnh có cùng chiều dài; đồng nghĩa các cạnh đối song song, góc đối thì bằng nhau và đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường. Hình thoi là một trường hợp đặc biệt của cả hình diều và hình bình hành. 
Hình chữ nhật: Các góc bằng 90⁰; đồng nghĩa các cạnh đối song song và bằng nhau, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm và bằng nhau. 
Hình vuông: có bốn cạnh bằng nhau, mỗi góc bằng 90⁰; điều đó đồng nghĩa với các cạnh đối song song, đường chéo thì vuông góc tại trung điểm và có cùng chiều dài. Hình vuông là trường hợp đặc biệt của cả hình chữ nhật và hình thoi. 
Về đặc điểm nội, ngoại tiếp 
Tứ giác nội tiếp: có 4 đỉnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp 
Tứ giác ngoại tiếp: tứ giác có các cạnh tiếp xúc với đường tròn nội tiếp. 
Tứ giác có 2 tâm: tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp. 
Hình vuông có là hình chữ nhật?
Một số người định nghĩa các thể loại một cách độc nhất, vì thế hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc bằng nhau mà nó không là hình vuông. Điều này là thích hợp cho việc sử dụng thông thường của từ này, do người ta thông thường chỉ sử dụng từ ít chính xác hơn khi không có từ chính xác hơn để thể hiện ý nghĩa đó.
Nhưng trong toán học, điều quan trọng là phải định nghĩa các thể loại một cách bao gồm, vì thế hình vuông là một hình chữ nhật đặc biệt. Các thể loại bao gồm sẽ làm cho các phát biểu của các định lý ngắn gọn hơn, do có thể loại bỏ nhu cầu phải liệt kê dài dòng các trường hợp. Ví dụ, sự chứng minh rằng phép cộng vectơ là giao hoán được biết như là "biểu đồ hình bình hành". Nếu các thể loại là duy nhất thì người ta có lẽ phải nói là "biểu đồ hình bình hành (hoặc hình chữ nhật hoặc hình thoi hoặc hình vuông)"!
Hãy so sánh câu hỏi này với câu hỏi số thực có phải là số phức hay không?
[Phân loại
Sự phân loại các tứ giác được minh họa trong biểu đồ dưới đây. Các dạng ở mức thấp hơn là trường hợp đặc biệt của các dạng nằm ở mức trên.
Xem thêm
Ốp lát - nói về việc ốp lát các mặt phẳng bằng các bản sao của các tứ giác ngẫu hứng 
Hình vuông
Hình vuông ABCD
Trong hình học Euclid, hình vuông là một hình đa giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau. Suy ra, bốn góc phải là góc vuông. Hình vuông là một loại tứ giác đều. Nó là tập con của tập hợp các hình chữ nhật, hình thoi, hình con diều, hình bình hành, và hình thang cân.
Hai đường chéo của một hình vuông bằng nhau. Do đó, nếu hai đường chéo của một hình thoi bằng nhau, thì hình thoi đó phải là một hình vuông.
Tương tự, hai dường chéo của hình vuông là vuông góc với nhau, do đó, nếu hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc nhau thì hình chữ nhật đó là hình vuông.
Tọa độ đề các của các đỉnh của một hình vuông có tâm ở gốc hệ tọa độ và mỗi cạnh dài 2 đơn vị, song song với các trục tọa độ là (±1, ±1). Phần trong của hình vuông đó bao gồm tất cả các điểm (x0, x1) với -1  0 và tâm là điểm p trong M được định nghĩa là
với d là khoảng cách hay còn gọi là metric. Nếu ký hiệu nhỏ hơn (0. Một quả cầu đơn vị (đóng hay mở) là quả cầu có bán kính r bằng 1 trong hai định nghĩa nói trên.
Một tập con của một không gian metric được gọi là bị chặn nếu nó được chứa trong một quả cầu nào đó. Một tập hợp được gọi là bị chặn toàn phần nếu cho trước một bán kính r bất kỳ, có thể tìm được một số hữu hạn quả cầu có bán kính r mà phủ được tập hợp đó.
Các quả cầu mở với metric d tạo ra một cơ sở của topo cảm ứng bởi d (theo định nghĩa). Điều này có nghĩa là, tất cả các tập mở trong một không gian metric đều có thể biểu diễn bằng hợp của một số quả cầu mở nào đó.
Quả cầu Euclide
Trong không gian Euclide n chiều, với metric thông thường;