Giới thiệu lí thuyết Galois

ByKim Phượng

Th8 2, 2021

Galois là nhà toán học người Pháp sống ở thế kỉ 19, ông mất vì lí do đấu súng và chỉ thọ 21 tuổi. Tuy vậy, góp sức của ông phải khẳng định chắc chắn là rất quan trọng so với nền toán học quốc tế. Nói một cách dể hiểu, môn học lí thuyết Galois điều tra và nghiên cứu việc giải các phương trình đa thức ( vì sao con người chăm sóc giải các phương trình loại này ? ).

Các nhà toán học đã hoàn thành xong việc giải phương trình đa thức bậc nhỏ hơn 5 bằng căn thức, họ mang mong ước sẽ giải được phương trình bậc 5 tổng quát bằng căn thức nhưng có vẻ như mọi hướng tiếp cận trước đó đều không có tính năng. Năm 1810, bên lề một cuốn sách của mình Ruffini đã ghi chú rằng : ” Có lẽ phương trình bậc 5 tổng quát không hề giải được bằng căn thức ”, nhận xét này được xem là một bước nâng tầm trong tâm lý.

Ba năm sau, Ruffini đăng chứng tỏ của mình trên một tạp chí toán nhưng chứng tỏ này có rất nhiều lỗ hổng. Đến năm 1824, Niels Henrick Abel đưa ra một chứng tỏ và đặc biệt quan trọng đã vá đầy các lỗ hổng trong chứng tỏ của Ruffini. Tuy nhiên, chứng tỏ của Abel dài dòng và có 1 số ít sai xót nhỏ. Đến năm 1879, Leopold Kronecker đưa ra một chứng tỏ đơn thuần và hoàn hảo dựa trên sáng tạo độc đáo của Abel .
Phương trình bậc 5 tổng quát không hề giải được bằng căn thức, tuy nhiên một lớp các phương trình bậc 5 đặc biệt quan trọng vẫn hoàn toàn có thể giải được bằng công cụ này. Câu hỏi được đặt ra, vậy khi nào thì hoàn toàn có thể giải được bằng căn thức. Abel đã theo đuổi câu hỏi này đến tận lúc ông qua đời năm 1829 .
Sau đó 3 năm, chàng trai trẻ người Pháp, Galois đã xử lý được câu hỏi đó.

Có đến 3 lần Galois gửi chứng tỏ của mình đến Viện Hàn lâm khoa học Pháp nhưng đều bị làm mất hoặc thất lạc. Mãi đến tháng 4 năm 1843, Liouville mới tìm thấy bản thảo chứng tỏ của Galois. Đó là lịch sử vẻ vang, để hiểu hết những gì đã xảy ra trong lịch sử vẻ vang mà tôi tóm lược ở trên cần đi hết những phần cơ bản nhất của lí thuyết Galois .Đa thức $f\in \mathbb{F}[x]$ , ta nói $f(x)=0$ giải được bằng căn thức nếu các nghiệm của nó có thể biểu diễn được bởi các phép toán $+, -, \times, \div$ và phép lấy căn bậc $m$ . Theo lí thuyết trường, $f$ giải được nếu tồn tại một chuỗi các trường $\mathbb{F}=\mathbb{F}_0\subset \mathbb{F}_1\subset \cdots \subset \mathbb{F}_m$ sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn:

Bạn đang đọc: Giới thiệu lí thuyết Galois

$\mathbb{F}_i=\mathbb{F}_{i-1}(\alpha_i), \alpha_i^m=\beta_i\in \mathbb{F}_{i-1}$
$\mathbb{F}_m$ chứa một trường phân rã của .

Việc giải bằng căn thức so với các phương trình đa thực bậc nhỏ hơn 5 được các nhà toán học lần lượt đưa ra giải thuật .

Phương trình bậc nhất tổng quát $ax+b=0, a\neq 0$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{-b}{a}$ .

Phương trình bậc hai được đã được người Babylon giải số từ 1600 BC thông qua một bảng giải thực chất là hình thành một quá trình lặp để xấp xỉ nghiệm. Phương trình bậc hai tổng quát có dạng $x^2+bx+c=0$ (hệ số $a\neq 0$ nên có thể chia cả hai vế của phương trình để thu được hệ số cả bằng 1) viết lại dưới dạng:

$(x+\frac{b}{2})^2=\frac{b^2}{4}-c,$

lấy căn bậc hai (có thể là căn bậc hai phức) ta có $x=\frac{-b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$ .

Phương trình bậc ba tổng quát có dạng: $x^3+ax^2+bx+c=0$ , đầu tiên đổi biến để hệ số $a=0$ . Đổi $y=x+\frac{a}{3}$ đây được gọi là phép biến đổi Tschirnhaus theo tên người đầu tiên sử dụng kĩ thuật này. Phương trình trở thành:

$y^3+py+q=0,$

trong đó

$p=\dfrac{-a^3+3b}{3}$

$q=\dfrac{2a^3-9ab=27c}{27}$

Tìm nghiệm $\alpha, \beta, \gamma$ của phương trình trên nhờ bước trung gian:

$\alpha=y+z$

$\beta=wy+w^2x$

$\gamma=w^2y+wz$

Xem thêm: Tam giác.

khi đó theo định lí Vieta ta biết được mối liên hệ giữa các tham số $y, z$ như sau: $y^3+z^3=-q$ và $yz=\frac{-p}{3}$ , giải phương trình $x^2+qx-\frac{p^3}{27}=0$ ta thu được các nghiệm chú ý điều kiện chọn nghiệm cho phương trình ban đầu .

Phương trình bậc bốn tổng quát có dạng: $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ có các nghiệm $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ (có đủ 4 nghiệm theo định lí cơ bản của đại số). Đổi biến $y=x+\frac{a}{4}$ đưa về dạng $y^4+ry^2+sy+t=0$ . Tiến hành đổi biến:

$2\alpha_1=u+v+w$

$2\alpha_2=u-v-w$

$2\alpha_3=-u+v-w$

$2\alpha_4=-u-v+w,$

sử dụng định lí Vieta ta tìm được mối liên hệ giữa $u, v, w$ như sau: $u^2+v^2+w^2=-2r, uvw=-s, u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2=r^2-4t$ . Khi đó $u^2, v^2, w^2$ là các nghiệm của phương trình bậc ba: $x^3+2rx^2+(r^2-4t)x-s=0$ , phương trình bậc ba ta đã biết cách giải.