Bài viết này cung cấp cho các em kiến thức về rút gọc phân thức đại số. Trong phần lý thuyết, các em sẽ được biết làm cách nào để rút gọn một phân thức. Phần bài tập bao gồm các bài toán tư dễ đến khó như rút gọn phân thức, so sánh phân thức, chứng minh hai phân thức bằng nhau…được đính kèm lời giải ngay bên dưới để các em đối chiếu đáp án sau khi làm xong.

Xem thêm : Rút gọn phân thức

LUYỆN TẬP PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. LÝ THUYẾT

1. Qui tắc

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải :– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần ) để tìm nhân tử chung– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau

2. Chú ý

Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để Open nhân tử chung .

II. BÀI TẬP

Bài 1. Rút gọn:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 6 { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } { { 8 x { y ^ 5 } } } \ \ b. \ frac { { 10 x { y ^ 2 } ( x + y ) } } { { 15 xy { { ( x + y ) } ^ 3 } } } \ \ c. \ frac { { 2 { x ^ 2 } + 2 x } } { { x + 1 } } \ \ d. \ frac { { { x ^ 2 } – xy – x + y } } { { { x ^ 2 } + xy – x – y } } \ end { array } \ )

Giải:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 6 { x ^ 2 } { y ^ 2 } } } { { 8 x { y ^ 5 } } } = \ frac { { 3 x. 2 x { y ^ 2 } } } { { 4 { y ^ 3 }. 2 x { y ^ 2 } } } = \ frac { { 3 x } } { { 4 { y ^ 3 } } } \ \ b. \ frac { { 10 x { y ^ 2 } ( x + y ) } } { { 15 xy { { ( x + y ) } ^ 3 } } } = \ frac { { 2 y. 5 xy. ( x + y ) } } { { 3 { { ( x + y ) } ^ 2 }. 5 xy ( x + y ) } } = \ frac { { 2 y } } { { 3 { { ( x + y ) } ^ 2 } } } \ \ c. \ frac { { 2 { x ^ 2 } + 2 x } } { { x + 1 } } = \ frac { { 2 x ( x + 1 ) } } { { x + 1 } } = 2 x \ \ d. \ frac { { { x ^ 2 } – xy – x + y } } { { { x ^ 2 } + xy – x – y } } = \ frac { { x ( x – y ) – ( x – y ) } } { { x ( x + y ) – ( x + y ) } } = \ frac { { ( x – 1 ) ( x – y ) } } { { ( x + y ) ( x – 1 ) } } = \ frac { { x – y } } { { x + y } } \ end { array } \ )

Bài 2. Các nhận định sau đúng hay sai?

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 3 xy } } { { 9 y } } = \ frac { x } { 3 } \ \ b. \ frac { { 3 xy + 3 } } { { 9 y + 3 } } = \ frac { x } { 3 } \ \ c. \ frac { { 3 xy + 3 } } { { 9 y + 3 } } = \ frac { { x + 1 } } { 6 } \ \ d. \ frac { { 3 xy + 3 x } } { { 9 y + 9 } } = \ frac { x } { 3 } \ end { array } \ )

Giải:

a ) Đúng vì đã chia cả tử cả mẫu cuả vế trái cho 3 y .b ) Vế phải chứng tỏ đã chia mẫu của vế trái cho 3 y + 1 vì 9 y + 3 = 3 ( 3 y + 1 )Nhưng tử của vế trái không có nhân tử 3 y + 1. Nên phép rút gọn này sai .c ) Sai, vì y không phải là nhân tử chung của tử thức và mẫu thức của vế tráid ) Đúng, vì đã rút gọn phân thức ở vế trái với nhân tử chung là 3 ( y + 1 )

 Bài 3. Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 36 { { \ left ( { x { \ rm { } } – { \ rm { } } 2 } \ right ) } ^ 3 } } } { { 32 – 16 x } } \ \ b. \ frac { { { x ^ 2 } – { \ rm { } } xy } } { { 5 { y ^ 2 } – { \ rm { } } 5 xy } } \ end { array } \ )

Giải:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 36 { { \ left ( { x { \ rm { } } – { \ rm { } } 2 } \ right ) } ^ 3 } } } { { 32 – 16 x } } = \ frac { { 36 { { \ left ( { x { \ rm { } } – { \ rm { } } 2 } \ right ) } ^ 3 } } } { { 16 ( 2 – x ) } } = \ frac { { – 36 { { \ left ( { 2 { \ rm { } } – { \ rm { } } x } \ right ) } ^ 3 } } } { { 16 ( 2 – x ) } } = \ frac { { – 9 { { ( 2 – x ) } ^ 2 } } } { 4 } \ \ b. \ frac { { { x ^ 2 } – { \ rm { } } xy } } { { 5 { y ^ 2 } – { \ rm { } } 5 xy } } = \ frac { { x ( x – y ) } } { { 5 y ( y – x ) } } = \ frac { { – x ( y – x ) } } { { 5 y ( y – x ) } } = \ frac { { – x } } { { 5 y } } \ end { array } \ )

Bài 4: Đố em rút gọn:

\ ( \ frac { { { x ^ 7 } + { \ rm { } } { x ^ 6 } + { \ rm { } } { x ^ 5 } + { \ rm { } } { x ^ 4 } + { \ rm { } } { x ^ 3 } + { \ rm { } } { x ^ { 2 } } + { \ rm { } } x { \ rm { } } + { \ rm { } } 1 } } { { { x ^ 2 } – { \ rm { } } 1 } } \ )

Giải:

\ ( \ begin { array } { l } \ frac { { { x ^ 7 } + { \ rm { } } { x ^ 6 } + { \ rm { } } { x ^ 5 } + { \ rm { } } { x ^ 4 } + { \ rm { } } { x ^ 3 } + { \ rm { } } { x ^ { 2 } } + { \ rm { } } x { \ rm { } } + { \ rm { } } 1 } } { { { x ^ 2 } – { \ rm { } } 1 } } \ \ = \ frac { { { x ^ 6 } ( x + 1 ) + { x ^ 4 } ( x + 1 ) + { x ^ 2 } ( x + 1 ) + ( x + 1 ) } } { { ( x + 1 ) ( x – 1 ) } } \ \ = \ frac { { ( x + 1 ) ( { x ^ 6 } + { x ^ 4 } + { x ^ 2 } + 1 ) } } { { ( x + 1 ) ( x – 1 ) } } \ \ = \ frac { { { x ^ 6 } + { x ^ 4 } + { x ^ 2 } + 1 } } { { x – 1 } } \ end { array } \ )

Bài 5. Rút gọn các phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{12{x^3}{y^2}}}{{18x{y^5}}}\\b.\frac{{15x{{(x + 5)}^3}}}{{20{x^2}(x + 5)}}\end{array}\)

Giải:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 12 { x ^ 3 } { y ^ 2 } } } { { 18 x { y ^ 5 } } } = \ frac { { 2. ( 6 x { y ^ 2 } ). { x ^ 2 } } } { { 3. ( 6 x { y ^ 2 } ). { y ^ 3 } } } = \ frac { { 2 { x ^ 2 } } } { { 3 { y ^ 3 } } } \ \ b. \ frac { { 15 x { { ( x + 5 ) } ^ 3 } } } { { 20 { x ^ 2 } ( x + 5 ) } } = \ frac { { 3.5 x. ( x + 5 ) { { ( x + 5 ) } ^ 2 } } } { { 4.5 x. x. ( x + 5 ) } } = \ frac { { 3 { { ( x + 5 ) } ^ 2 } } } { { 4 x } } \ end { array } \ )

Bài 6. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 3 { x ^ 2 } – 12 x + 12 } } { { { x ^ 4 } – 8 x } } \ \ b. \ frac { { 7 { x ^ 2 } + 14 x + 7 } } { { 3 { x ^ 2 } + 3 x } } \ end { array } \ )

Giải:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 3 { x ^ 2 } – 12 x + 12 } } { { { x ^ 4 } – 8 x } } = \ frac { { 3. ( { x ^ 2 } – 4 x + 4 ) } } { { x ( { x ^ 3 } – 8 ) } } = \ frac { { 3 { { ( x – 2 ) } ^ 2 } } } { { x ( x – 2 ) ( { x ^ 2 } + 2 x + 4 ) } } = \ frac { { 3 ( x – 2 ) } } { { x ( { x ^ 2 } + 2 x + 4 ) } } \ \ b. \ frac { { 7 { x ^ 2 } + 14 x + 7 } } { { 3 { x ^ 2 } + 3 x } } = \ frac { { 7 ( { x ^ 2 } + 2 x + 1 ) } } { { 3 x ( x + 1 ) } } = \ frac { { 7 ( x + 1 ) } } { { 3 x } } \ end { array } \ )

Bài 7. Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 45 x ( 3 – x ) } } { { 15 x { { ( x – 3 ) } ^ 3 } } } \ \ b. \ frac { { { y ^ 2 } – { x ^ 2 } } } { { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } y + 3 x { y ^ 2 } – { y ^ 3 } } } \ end { array } \ )

Giải:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 45 x ( 3 – x ) } } { { 15 x { { ( x – 3 ) } ^ 3 } } } = \ frac { { – 3.15 x ( x – 3 ) } } { { 15 x { { ( x – 3 ) } ^ 3 } } } = \ frac { { – 3 } } { { { { ( x – 3 ) } ^ 2 } } } \ \ b. \ frac { { { y ^ 2 } – { x ^ 2 } } } { { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } y + 3 x { y ^ 2 } – { y ^ 3 } } } = \ frac { { ( y – x ) ( x + y ) } } { { { { ( x – y ) } ^ 3 } } } = \ frac { { – ( x + y ) } } { { { { ( x – y ) } ^ 2 } } } \ end { array } \ )

Bài 8. Rút gọn các phân thức

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 14 x { y ^ 5 } \ left ( { 2 x – 3 y } \ right ) } } { { 21 { x ^ 2 } y { { \ left ( { 2 x – 3 y } \ right ) } ^ 2 } } } \ \ b. \ frac { { 8 xy { { \ left ( { 3 x – 1 } \ right ) } ^ 3 } } } { { 12 { x ^ 3 } \ left ( { 1 – 3 x } \ right ) } } \ \ c. \ frac { { 20 { x ^ 2 } – 45 } } { { { { \ left ( { 2 x + 3 } \ right ) } ^ 2 } } } \ \ d. \ frac { { 5 { x ^ 2 } – 10 xy } } { { 2 { { \ left ( { 2 y – x } \ right ) } ^ 3 } } } \ \ e. \ frac { { 80 { x ^ 3 } – 125 x } } { { 3 \ left ( { x – 3 } \ right ) – \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { 8 – 4 x } \ right ) } } \ \ f. \ frac { { 9 – { { \ left ( { x + 5 } \ right ) } ^ 2 } } } { { { x ^ 2 } + 4 x + 4 } } \ \ g. \ frac { { 32 x – 8 { x ^ 2 } + 2 { x ^ 3 } } } { { { x ^ 3 } + 64 } } \ \ h. \ frac { { 5 { x ^ 3 } + 5 x } } { { { x ^ 4 } – 1 } } \ \ i. \ frac { { { x ^ 2 } + 5 x + 6 } } { { { x ^ 2 } + 4 x + 4 } } \ end { array } \ )

Giải

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { 14 x { y ^ 5 } \ left ( { 2 x – 3 y } \ right ) } } { { 21 { x ^ 2 } y { { \ left ( { 2 x – 3 y } \ right ) } ^ 2 } } } = \ frac { { 2 { y ^ 4 } } } { { 3 x \ left ( { 2 x – 3 y } \ right ) } } \ \ b. \ frac { { 8 xy { { \ left ( { 3 x – 1 } \ right ) } ^ 3 } } } { { 12 { x ^ 3 } \ left ( { 1 – 3 x } \ right ) } } = \ frac { { – 8 xy { { \ left ( { 3 x – 1 } \ right ) } ^ 3 } } } { { 12 { x ^ 2 } \ left ( { 3 x – 1 } \ right ) } } = \ frac { { – 2 y { { ( 3 x – 1 ) } ^ 2 } } } { { 3 x } } \ \ c. \ begin { array } { * { 20 } { c } } { } và { \ frac { { 20 { x ^ 2 } – 45 } } { { { { \ left ( { 2 x + 3 } \ right ) } ^ 2 } } } = \ frac { { 5 \ left ( { 4 { x ^ 2 } – 9 } \ right ) } } { { { { \ left ( { 2 x + 3 } \ right ) } ^ 2 } } } } \ \ { } và { = \ frac { { 5 \ left ( { 2 x + 3 } \ right ) \ left ( { 2 x – 3 } \ right ) } } { { { { \ left ( { 2 x + 3 } \ right ) } ^ 2 } } } = \ frac { { 5 \ left ( { 2 x – 3 } \ right ) } } { { 2 x + 3 } } } \ end { array } \ \ d. \ frac { { 5 { x ^ 2 } – 10 xy } } { { 2 { { \ left ( { 2 y – x } \ right ) } ^ 3 } } } = \ frac { { – 5 x \ left ( { 2 y – x } \ right ) } } { { 2 { { \ left ( { 2 y – x } \ right ) } ^ 3 } } } = \ frac { { – 5 x } } { { 2 { { ( 2 y – x ) } ^ 2 } } } \ \ \ begin { array } { * { 20 } { c } } { e. } và { \ frac { { 80 { x ^ 3 } – 125 x } } { { 3 \ left ( { x – 3 } \ right ) – \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { 8 – 4 x } \ right ) } } } \ \ { } và { = \ frac { { 5 x \ left ( { 16 { x ^ 2 } – 25 } \ right ) } } { { \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { 3 – 8 + 4 x } \ right ) } } } \ \ { } và { = \ frac { { 5 x \ left ( { 4 x – 5 } \ right ) \ left ( { 4 x + 5 } \ right ) } } { { \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { 4 x – 5 } \ right ) } } } \ \ { } và { = \ frac { { 5 x \ left ( { 4 x + 5 } \ right ) } } { { x – 3 } } } \ end { array } \ end { array } \ ) \ ( \ begin { array } { l } \ begin { array } { * { 20 } { c } } { f. } và { \ frac { { 9 – { { \ left ( { x + 5 } \ right ) } ^ 2 } } } { { { x ^ 2 } + 4 x + 4 } } } \ \ { } và { = \ frac { { \ left ( { 3 + x + 5 } \ right ) \ left ( { 3 – x – 5 } \ right ) } } { { { { \ left ( { x + 2 } \ right ) } ^ 2 } } } } \ \ { } và { = \ frac { { \ left ( { 8 + x } \ right ) \ left ( { – 2 – x } \ right ) } } { { { { \ left ( { x + 2 } \ right ) } ^ 2 } } } } \ \ { } và { = \ frac { { – \ left ( { 8 + x } \ right ) \ left ( { x + 2 } \ right ) } } { { { { \ left ( { x + 2 } \ right ) } ^ 2 } } } = \ frac { { – \ left ( { 8 + x } \ right ) } } { { x + 2 } } } \ end { array } \ \ \ begin { array } { * { 20 } { c } } { g. } và { \ frac { { 32 x – 8 { x ^ 2 } + 2 { x ^ 3 } } } { { { x ^ 3 } + 64 } } } \ \ { } và { = \ frac { { 2 x \ left ( { 16 – 4 x + { x ^ 2 } } \ right ) } } { { \ left ( { x + 4 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – 4 x + 16 } \ right ) } } } \ \ { } và { = \ frac { { 2 x } } { { x + 4 } } } \ end { array } \ \ \ begin { array } { * { 20 } { c } } { h. } và { \ frac { { 5 { x ^ 3 } + 5 x } } { { { x ^ 4 } – 1 } } = \ frac { { 5 x \ left ( { { x ^ 2 } + 1 } \ right ) } } { { \ left ( { { x ^ 2 } – 1 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 1 } \ right ) } } } \ \ { } và { = \ frac { { 5 x } } { { { x ^ 2 } – 1 } } } \ end { array } \ \ \ begin { array } { * { 20 } { c } } { i. } và { \ frac { { { x ^ 2 } + 5 x + 6 } } { { { x ^ 2 } + 4 x + 4 } } } \ \ { } và { = \ frac { { { x ^ 2 } + 2 x + 3 x + 6 } } { { { { \ left ( { x + 2 } \ right ) } ^ 2 } } } } \ \ { } và { = \ frac { { x \ left ( { x + 2 } \ right ) + 3 \ left ( { x + 2 } \ right ) } } { { { { \ left ( { x + 2 } \ right ) } ^ 2 } } } } \ \ { } và { = \ frac { { \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) } } { { { { \ left ( { x + 2 } \ right ) } ^ 2 } } } = \ frac { { x + 3 } } { { x + 2 } } } \ end { array } \ end { array } \ )

Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau:

\ ( \ begin { array } { l } a. \ frac { { { x ^ 2 } y + 2 x { y ^ 2 } + { y ^ 3 } } } { { 2 { x ^ 2 } + xy – { y ^ 2 } } } = \ frac { { xy + { y ^ 2 } } } { { 2 x – y } } \ \ b. \ frac { { { x ^ 2 } + 3 xy + 2 { y ^ 2 } } } { { { x ^ 3 } + 2 { x ^ 2 } y – x { y ^ 2 } – 2 { y ^ 3 } } } = \ frac { 1 } { { x – y } } \ end { array } \ )

Giải:

a. Biến đổi vế trái :\ ( \ begin { array } { l } \ frac { { { x ^ 2 } y + 2 x { y ^ 2 } + { y ^ 3 } } } { { 2 { x ^ 2 } + xy – { y ^ 2 } } } = \ frac { { y \ left ( { { x ^ 2 } + 2 xy + { y ^ 2 } } \ right ) } } { { 2 { x ^ 2 } + 2 xy – xy – { y ^ 2 } } } = \ frac { { y { { \ left ( { x + y } \ right ) } ^ 2 } } } { { 2 x \ left ( { x + y } \ right ) – y \ left ( { x + y } \ right ) } } \ \ = \ frac { { y { { \ left ( { x + y } \ right ) } ^ 2 } } } { { \ left ( { x + y } \ right ) \ left ( { 2 x – y } \ right ) } } = \ frac { { y \ left ( { x + y } \ right ) } } { { 2 x – y } } = \ frac { { xy + { y ^ 2 } } } { { 2 x – y } } \ end { array } \ )Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng tỏ .b. Biến đổi vế trái :\ ( \ begin { array } { l } \ frac { { { x ^ 2 } + 3 xy + 2 { y ^ 2 } } } { { { x ^ 3 } + 2 { x ^ 2 } y – x { y ^ 2 } – 2 { y ^ 3 } } } = \ frac { { { x ^ 2 } + xy + 2 xy + 2 { y ^ 2 } } } { { { x ^ 2 } \ left ( { x + 2 y } \ right ) – { y ^ 2 } \ left ( { x + 2 y } \ right ) } } = \ frac { { x \ left ( { x + y } \ right ) + 2 y \ left ( { x + y } \ right ) } } { { \ left ( { x + 2 y } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – { y ^ 2 } } \ right ) } } \ \ = \ frac { { \ left ( { x + y } \ right ) \ left ( { x + 2 y } \ right ) } } { { \ left ( { x + 2 y } \ right ) \ left ( { x + y } \ right ) \ left ( { x – y } \ right ) } } = \ frac { 1 } { { x – y } } \ end { array } \ )

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng tỏ .

Bài 10. Cho hai phân thức \(\frac{{{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^4} – 2{x^2} + 1}};\frac{{5{x^3} + 10{x^2} + 5x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\).

Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.

Giải:

\ ( \ begin { array } { l } \ frac { { { x ^ 3 } – { x ^ 2 } – x + 1 } } { { { x ^ 4 } – 2 { x ^ 2 } + 1 } } = \ frac { { { x ^ 2 } \ left ( { x – 1 } \ right ) – \ left ( { x – 1 } \ right ) } } { { { { \ left ( { { x ^ 2 } – 1 } \ right ) } ^ 2 } } } = \ frac { { \ left ( { { x ^ 2 } – 1 } \ right ) \ left ( { x – 1 } \ right ) } } { { { { \ left ( { x + 1 } \ right ) } ^ 2 } { { \ left ( { x – 1 } \ right ) } ^ 2 } } } \ \ = \ frac { { \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { x + 1 } \ right ) } } { { { { \ left ( { x + 1 } \ right ) } ^ 2 } { { \ left ( { x – 1 } \ right ) } ^ 2 } } } = \ frac { 1 } { { x + 1 } } \ \ \ frac { { 5 { x ^ 3 } + 10 { x ^ 2 } + 5 x } } { { { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 3 x + 1 } } = \ frac { { 5 x \ left ( { { x ^ 2 } + 2 x + 1 } \ right ) } } { { { { \ left ( { x + 1 } \ right ) } ^ 3 } } } = \ frac { { 5 x { { \ left ( { x + 1 } \ right ) } ^ 2 } } } { { { { \ left ( { x + 1 } \ right ) } ^ 3 } } } = \ frac { { 5 x } } { { x + 1 } } \ end { array } \ )

Bài 11. Tìm x, biết:

1. a2x + x = 2a4– 2 với a là hằng số
2. a2x + 3ax + 9 = a2với a là hằng số, a ≠0 và a ≠3

Giải:

\ ( \ begin { array } { l } a ) \ \ { a ^ 2 } x + x = 2 { a ^ 4 } – 2 \ \ x \ left ( { { a ^ 2 } + 1 } \ right ) = 2 \ left ( { { a ^ 4 } – 1 } \ right ) \ \ x = \ frac { { 2 \ left ( { { a ^ 4 } – 1 } \ right ) } } { { { a ^ 2 } + 1 } } = \ frac { { 2 \ left ( { { a ^ 2 } – 1 } \ right ) \ left ( { { a ^ 2 } + 1 } \ right ) } } { { { a ^ 2 } + 1 } } = 2 \ left ( { { a ^ 2 } – 1 } \ right ) \ \ b ) \ \ { a ^ 2 } x + 3 ax + 9 = { a ^ 2 } \ \ \ Rightarrow ax \ left ( { a + 3 } \ right ) = { a ^ 2 } – 9 \ \ x = \ frac { { { a ^ 2 } – 9 } } { { a \ left ( { a + 3 } \ right ) } } = \ frac { { \ left ( { a – 3 } \ right ) \ left ( { a + 3 } \ right ) } } { { a \ left ( { a + 3 } \ right ) } } = \ frac { { a – 3 } } { a } \ \ ( a \ ne 0 ; a \ ne – 3 ) \ end { array } \ )

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn