Tìm tọa độ của vecto, của điểm cực hay

Tìm tọa độ của vecto, của điểm cực hay

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

1. Tọa độ của vecto
a ) Định nghĩa

Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của vecto u→ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước

     u→=(x;y;z)⇔u→=xi→+yj→+zk→

b ) Tính chất

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a→
=(a1;a2;a3 ) và b→
=(b1;b2;b3 ); k∈R

+

+

+

+

+

+

2. Tọa độ của điểm
a ) Định nghĩa

M(x;y;z)⇔OM→= xi→+yj→+zk→(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)

b ) Tính chất
Cho A ( x A ; y A ; z A ) ; B ( x B ; y B ; z B )

+ AB→
=(xA-xB;yA-yB;zA-zB )

+

+ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB :

+

+ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :

+

+ Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

+

Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Bài 1:Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→
=-3i→
+5j→
+2k→
; b→
=(3;2; -1);
c→
=3j→
-2k→
; d→
=(5; -3;2)

a) Tìm tọa độ của các vecto a→
– 2b→
+ c→
; 3b→
-2c→
+d→

b) Tìm tọa độ của vecto 2a→
–b→
+1/3c→

c) Phân tích vecto d→
theo 3 vecto a→
; b→
; c→

Hướng dẫn:

a) a→
=(-3;5;2); 2b→
=(6;4; -2); c→
=(0;3; -2)

⇒
a→– 2
b→+
c→=(-9;4; 2)

3
b→=(9;6; -3); 2
c→=(0;6; -4);
d→=(5; -3;2)

⇒3
b→-2
c→+
d→=(14; -3;7)

b)

c) giả sử d→=ma→+nb→+pc→

Quảng cáo

Bài 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3;1);B(2;5;1) và vecto
OC→=-3
i→+2
j→+5
k→

a ) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành .
b ) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE .

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3
AB→+2
AM→=3
CM→

Hướng dẫn:

a )

⇒BC→; AC→ không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng

Gọi D (x; y; z) ⇒AD→=(x-1;y+3;z-1)

ABCD là hình bình hành ⇔AD→=BC→

b )

Ta có:
Ta có :

⇒OA→; OB→ không cùng phương hay O, A, B không thẳng hàng.

Gọi E (x; y; z) ⇒EB→=(2-x;5-y;1-z)

Theo đề bài, tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE .

⇒OA→=2EB→

c ) Gọi M ( x ; y ; z ). Ta có :

AB→=(1;8;0)⇒3AB→=(3;24;0)

AM→=(x-1;y+3;z-1)⇒2AM→=(2x-2;2y+6;2z-2)

CM→=(x+3;y-2;z-5)⇒3CM→=(3x+9;3y-6;3z-15)

3AB→+2AM→=3CM→

Vậy M ( – 8 ; 36 ; 13 )

Bài 3:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; -1;1);C^’ (4;5; -5). Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Hướng dẫn:

+ Gọi C ( x ; y ; z )

Ta có: AB→
=(1;1;1);DC→
=(x-1;y+1;z-1)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔AB→
=DC→

+ Gọi D ’ ( x ; y ; z )

Ta có: D’C’→
=(4-x;5-y; -5-z); DC→
=(1;1;1)

Tứ giác DCC’D’ là hình bình hành ⇔D’C’→=DC→

+ Gọi A ’ ( x ; y ; z )

Ta có: A’D’→=(3-x;4-y; -6-z); AD→=(0; -1;0)

Tứ giác ADD’A’ là hình bình hành ⇔A’D’→=AD→

+ Gọi B ’ ( x ; y ; z )

Ta có: D’C’→=(1;1;1);A’B’→=(x-3;y-5;z+6)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔A’B’→=D’C’→

Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 3; 2), B(3; -5; 6), C (2; 1; 3).

a ) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB
b ) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và hình chiếu của G lên Ox
c ) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C

d) Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho |FA→+FB→+FC→ | nhỏ nhất

e ) Tìm tọa độ điểm B ’ đối xứng với điểm B qua trục tung .

Hướng dẫn:

a ) M là trung điểm của cạnh AB

hay M(2; -1;4)

b ) G là trọng tâm của tam giác ABC

Hình chiếu của G lên trục Ox là H ( 2 ; 0 ; 0 )
c ) Gọi N ( x ; y ; z )
N đối xứng với A qua C ⇔ C là trung điểm của AN

⇒ N ( 3 ; – 1 ; 4 )

d) Ta có: |FA→
+FB→
+FC→
|=|3FG→
|=3FG

Do đó: |FA→
+FB→
+FC→
| nhỏ nhất ⇔ FG nhỏ nhất ⇔ F là hình chiếu của G lên mặt phẳng (Oxz)

e ) Hình chiếu của B lên trục Oy là H ( 0 ; – 5 ; 0 )
B ’ là điểm đối xứng với điểm B qua trục tung ⇔ H là trung điểm của đoạn BB ’
⇒ B ‘ ( – 3 ; – 5 ; – 6 )

B. Bài tập vận dụng

Bài tập Tìm tọa độ của vecto, của điểm (P1)

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ: a→=(2; -5;3),
b→=(0;2;-1),c→=(1;7;2). Tọa độ vectơ d→=a→-4b→-2c→ là:

   A. (0; – 27;3)    B. (1;2; – 7)

   C. (0;27;3)    D. (0;27; – 3)

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

a→=(2; -5;3), 4b→=(0;8; -4);2c→=(2;14;4)

d→=a→-4b→-2c→=(0; -27;3)

Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(3;-2;5), B(-2;1;-3) và C(5;1;1). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

   A. G(2;0;1)    B. G(2;1;-1)

   C. G(-2;0;1)    D. G(2;0;-1)

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

A ( 3 ; – 2 ; 5 ), B ( – 2 ; 1 ; – 3 ), C ( 5 ; 1 ; 1 )
G là trọng tâm tam giác ABC

hay G ( 2 ; 0 ; 1 )

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành:

   A. (4;-2;4)    B. (2;-2;4)

   C. (-4;2;4)    D. (4;2;2)

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

D (x; y; z) ⇒DC→=(-x; -y;4-z)

AB→=(-4;2;0)

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB→=DC→

⇒ D ( 4 ; – 2 ; 4 )

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm khoảng cách giữa hai điểm M(2;1;-3) và N(4;-5;0) ?

   A. 5    B. 6

   C. 7    D. 8

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1). Khi đó trung điểm G của MN có tọa độ là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

A ( 1 ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; 1 ; 0 ), C ( 0 ; 0 ; 1 ), D ( 1 ; 1 ; 1 )
M là trung điểm của AB ⇒ M ( 50% ; 50% ; 0 )
N là trung điểm của CD ⇒ N ( 50% ; 50% ; 1 )
G là trung điểm của MN ⇒ G ( 50% ; 50% ; 50% )

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC A(2;0;0), B(0;3;1), C(-3;6;4). Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC=2MB. Độ dài đoạn AM bằng:

   A. 3√3    B. 2√7

   C. √29    D. √30

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi M ( x ; y ; z )

CM→=(-3-x;6-y;4-z); MB→=(x;y-3;z-1)

Theo bài ra, CM→=2MB→

⇒ M ( – 1 ; 4 ; 2 )
A ( 2 ; 0 ; 0 )
⇒ AM = √ 29

Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho OM→=i→-2j→+3k→, khi đó tọa độ của điểm M với hệ Oxyz là:

   A. (-1;2;-3)    B. (1;-2;3)

   C. (1;-2;1)    D. (-2;1;3)

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Bài 8:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình bình hành OABD có OA→=a→(-1;1;0), OB→=b→(1;1;0) (O là gốc toạ độ). Toạ độ tâm hình bình hành OABD là:

   A. (1/2;1/2;0)   B. (1;0;0)

   C. (1;0;1)    D. (1;1;0)

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Tâm hình bình hành OABD là trung điểm của đường chéo OB
⇒ Tọa độ tâm là ( 50% ; 50% ; 0 )

Bài 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-2;3;3). Điểm M(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM, khi đó P=a2+b2-c2 có giá trị bằng:

   A. 44    B. 43

   C. 42    D. 45

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

M(a; b; c) ⇒MC→=(-2-a;3-b;3-c)

AB→=(1; -3;4)

ABCM là hình bình hành ⇔AB→=MC→

⇒ P = a2 + b2-c2 = 44

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có hai điểm trên trục hoành mà khoảng cách từ đó đến điểm M(-3; 4; 8) bằng 12. Tổng hai hoành độ của chúng là:

   A. -6    B. 5

   C. 6    D. 11

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Điểm cần tìm N ( x ; 0 ; 0 )
MN2 = ( x + 3 ) 2 + 42 + 82 = ( x + 3 ) 2 + 80
Theo bài ra : MN = 12
⇒ ( x + 3 ) 2 + 80 = 122 ⇔ ( x + 3 ) 2 = 64

⇒ Có 2 điểm N thỏa mãn nhu cầu có tọa độ là ( 5 ; 0 ; 0 ) và ( – 11 ; 0 ; 0 )
⇒ Tổng hoành độ của chúng bằng – 6

Bài 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-2;3;3). Tìm tọa độ điểm D và chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC:

   A. D(0;1;3)    B. D(0;3;1)

   C. D(0;-3;1)   D. D(0;3;-1)

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

AB=|AB→ |=√26; AC=|AC→ |=26

AB = AC nên tam giác ABC cân tại A
Do đó điểm D chân đường phân giác trong của góc A là trung điểm của BC
⇒ D ( 0 ; 1 ; 3 )

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho vecto u→=mi→+j→+2k→. Biết |u→|=√5. Khi đó giá trị m bằng:

   A. m=0    B. m=1

   C. m=2    D. m=-1

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

u→=(m;1;2)⇒|u→ |=√(m2+1+22 )=√(m2+5)

Theo bài ra: |u→ |=√5⇒√(m2+5)=√5⇒m=0

Bài 13: Trong không gian Oxyz cho các vectơ a→=(2;1;1), c→=(3;-1;2). Tìm tọa độ của vectơ b→ thỏa mãn biểu thức 2b→–a→+3c→=0→ là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

2b→–a→+3c→=0→⇒2b→=a→-3c→=(-7;4; -5)

⇒b→=((-7)/2;2; (-5)/2)

Bài 14: Cho hai điểm A(3;4;2) và B(-1;-2;2). Xét điểm C sao cho điểm G(1;1;2) là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn câu đúng:

   A. C(1;1;2)    B. C(0;1;2)

   C. C(1;1;0)    D. Không có điểm C như thế.

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

C ( x ; y ; z )
G ( 1 ; 1 ; 2 ) là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ C ( 1 ; 1 ; 2 )

Bài 15: Chọn hệ tọa độ sao cho các đỉnh A, B, A’, C’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là A(-2; 0; 0), B(1; 0; 0), A’ (0; 0; 1), C’ (1; 1; 1). Tìm tọa độ của tâm hình vuông BCC’B’.

   A. (1/2;1;1)    B.(1;1/2;1)

   C. (1;1/2;1/2)    D. (1;1;1/2)

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Tâm của hình vuông vắn BCC’B ’ là trung điểm của đường chéo BC ’
⇒ Tọa độ tâm là ( 1 ; 50% ; 50% )

Bài tập Tìm tọa độ của vecto, của điểm (P2)

Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A(-1;2;3), B(0;1;1), độ dài đoạn bằng:

   A. √6    B. √8

   C. √10    D. √12

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 17: Trong không gian Oxyz, gọi i→, j→, k→là các vectơ đơn vị, khi đó với M(x;y;z) thì OM→bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trong mặt phẳng Oxz, tính bán kính:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi I ( a ; 0 ; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có : IA2 = ( a-2 ) 2 + 12 + ( c-6 ) 2
IB2 = ( a + 3 ) 2 + 12 + ( c + 4 ) 2
IC2 = ( a-5 ) 2 + 12 + c2
Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC hay
IA2 = IB2 = IC2

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm K(2;4;6), gọi K’ là hình chiếu vuông góc của K trên trục Oz, khi đó trung điểm OK’ có toạ độ là:

   A. (1;0;0)    B. (0;0;3)

   C. (0;2;0)    D. (1;2;3)

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

K ’ là hình chiếu vuông góc của K trên trục Oz ⇒ K ‘ ( 0 ; 0 ; 6 )
⇒ Trung điểm OK ’ có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 3 )

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy, khi đó tọa độ điểm M là (a, b, c ≠ 0 ):

   A. (0;b;a)    B. (a;b;0)

   C. (0;0;c)    D. (a;1;1)

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho a→(0;3;4) và |b→|=2|a→|, khi đó tọa độ vectơ b→ có thể là:

   A. (-8;0;-6)    B. (4;0;3)

   C.(2;0;1)    D. (0;3;4)

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

|a→ |=5⇒ |b→ |=2|a→ |=10

⇒ b→(-8;0; -6)

Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a→(1;-1;2), b→(3;0;-1), c→(-2;5;1), vectơ m→=a→+ b→– c→có tọa độ là:

   A. (6;0;-6)    B. (-6;6;0)

   C. (6;-6;0)    D. (0;6;-6)

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Bài 23: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;-3), B(2;4;-1), C(2;-2;0). Độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC lần lượt là:

Hiển thị đáp án

Đáp án :A

Bài 24: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;-3), B(2;4;-1), C(2;-2;0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Bài 25: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a→=(1;2;3), b→=(-2;0;1), c→=(-1;0;1). Tìm tọa độ của vectơ n→=a→+b→+2c→-3i→

   A. n→=(-6;2;-6)    B. n→=(6;2;-6)

    C.n→=(-6;-2;-6)     D.n→=(-6;2;6)

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Bài 26: Cho điểm M(1;2;-3), hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng(Oxy) là điểm:

   A. M'(1;2;0)    B. M'(1;0;-3)

   C. M'(0;2;-3)    D. M'(1;2;3)

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Bài 27: Cho điểm M(-2;5;0), hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

   A. M'(0;-5;0)    B. M'(0;5;0)

   C. M'(2;5;0)    D. M'(-2;0;0)

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Bài 28: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(2;-1;2). Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Theo bài ra, M cách đều 2 điểm A, B

⇔ | x-1 | = | x-2 | ⇔ x = 3/2
⇒ M ( 3/2 ; 0 ; 0 )

Bài 29: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;2), B(-2;1;3), C(3;2;4), D(6;9;-5). Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

   A. G(3;3;14/4)    B. G(8;12;4)

   C. G(2;3;1)    D. G(-9;18/4;-30)

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Bài 30: Cho điểm M(3;2;-1), điểm M'(a;b;c) đối xứng của M qua trục Oy, khi đó a+b+c bằng:

   A. 4    B. 6

   C. 0   D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

H ( 0 ; 2 ; 0 ) là hình chiếu vuông góc của M trên Oy
M ’ đối xứng với M qua Oy nên H là trung điểm của MM ’
⇒ M ‘ ( – 3 ; 2 ; 1 )

Khi đó a + b + c = 0

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp