Cho abc là các số không âm thỏa mãn :
căn a + căn b + căn c = căn 3 và căn ( a + 2b )

Câu hỏi

Nhận biết

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số không âm thỏa mãn :

\ ( \ sqrt a + \ sqrt b + \ sqrt c = \ sqrt 3 \ ) và \ ( \ sqrt { \ left ( { a + 2 b } \ right ) \ left ( { a + 2 c } \ right ) } + \ sqrt { \ left ( { b + 2 a } \ right ) \ left ( { b + 2 c } \ right ) } + \ sqrt { \ left ( { c + 2 a } \ right ) \ left ( { c + 2 b } \ right ) } = 3. \ )

Tính giá trị của biểu thức \ ( M = { \ left ( { 2 \ sqrt a + 3 \ sqrt b – 4 \ sqrt c } \ right ) ^ 2 }. \ )

A.
\ ( M = 1 \ )

B.
\ ( M = \ frac { 1 } { 2 } \ )

C.
\ ( M = \ frac { 1 } { 3 } \ )

D.

\ ( M = \ frac { 1 } { 4 } \ )

Đáp án đúng: C

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Cho \ ( a, \, \, b, \, \, c \ ) là những số không âm thỏa mãn nhu cầu :
\ ( \ sqrt a + \ sqrt b + \ sqrt c = \ sqrt 3 \ ) và \ ( \ sqrt { \ left ( { a + 2 b } \ right ) \ left ( { a + 2 c } \ right ) } + \ sqrt { \ left ( { b + 2 a } \ right ) \ left ( { b + 2 c } \ right ) } + \ sqrt { \ left ( { c + 2 a } \ right ) \ left ( { c + 2 b } \ right ) } = 3. \ )
Tính giá trị của biểu thức \ ( M = { \ left ( { 2 \ sqrt a + 3 \ sqrt b – 4 \ sqrt c } \ right ) ^ 2 }. \ )
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có : \ ( b + c \ ge 2 \ sqrt { bc }, \, a + c \ ge 2 \ sqrt { ac }, \, a + b \ ge 2 \ sqrt { ab } \ )
Xét \ ( \ left ( { a + 2 b } \ right ) \ left ( { a + 2 c } \ right ) = { a ^ 2 } + 2 ac + 2 ab + 4 bc \ ) \ ( = { a ^ 2 } + 2 a \ left ( { b + c } \ right ) + 4 bc \ ge { a ^ 2 } + 2 a. 2 \ sqrt { bc } + 4 bc \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left ( { a + 2 b } \ right ) \ left ( { a + 2 c } \ right ) \ ge { a ^ 2 } + 4 a \ sqrt { bc } + 4 bc \ ) hay \ ( \ left ( { a + 2 b } \ right ) \ left ( { a + 2 c } \ right ) \ ge { \ left ( { a + 2 \ sqrt { bc } } \ right ) ^ 2 } \ )
\ ( \ Rightarrow \ sqrt { \ left ( { a + 2 b } \ right ) \ left ( { a + 2 c } \ right ) } \ ge a + 2 \ sqrt { bc } \ )
Tương tự ta có : \ ( \ sqrt { \ left ( { b + 2 a } \ right ) \ left ( { b + 2 c } \ right ) } \ ge b + 2 \ sqrt { ac } \ )
\ ( \ sqrt { \ left ( { c + 2 a } \ right ) \ left ( { c + 2 b } \ right ) } \ ge c + 2 \ sqrt { ab } \ )
Suy ra \ ( \ sqrt { \ left ( { a + 2 b } \ right ) \ left ( { a + 2 c } \ right ) } + \ sqrt { \ left ( { b + 2 a } \ right ) \ left ( { b + 2 c } \ right ) } + \ sqrt { \ left ( { c + 2 a } \ right ) \ left ( { c + 2 b } \ right ) } \ ) \ ( \ ge a + b + c + 2 \ left ( { \ sqrt { ab } + \ sqrt { ac } + \ sqrt { bc } } \ right ) \ )
Hay \ ( 3 \ ge { \ left ( { \ sqrt a + \ sqrt b + \ sqrt c } \ right ) ^ 2 } \ Leftrightarrow 3 \ ge 3 \ )
Dấu “ = ” xảy ra \ ( \ Leftrightarrow a = b = c = \ frac { 1 } { 3 }. \ )

Thay \(a = b = c = \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(M\) ta có:

\ ( M = { \ left ( { 2 \ cdot \ sqrt { \ frac { 1 } { 3 } } + 3 \ cdot \ sqrt { \ frac { 1 } { 3 } } – 4 \ sqrt { \ frac { 1 } { 3 } } } \ right ) ^ 2 } = { \ left ( { \ sqrt { \ frac { 1 } { 3 } } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { 1 } { 3 } \ )

Chọn C.