1. Căn bậc hai
a ) Căn bậc hai của số phức
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn nhu cầu $ { z ^ 2 } = w USD được gọi là một căn bậc hai của w .
Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình ${z^2} – w = 0$ (với ẩn z).
Bạn đang đọc: Củng cố kiến thức
Cách tìm căn bậc hai của số phức w như sau :
Trường hợp w là số thực
– Căn bậc hai của 0 là 0 .- Xét số thực USD w = a \ ne 0 USD :* Khi a > 0 thì $ { z ^ 2 } – a = \ left ( { z – \ sqrt a } \ right ) \ left ( { z + \ sqrt a } \ right ) USD. Do đó, $ { z ^ 2 } – a = 0 $ khi và chỉ khi $ \ sqrt a $ hoặc USD – \ sqrt a USD. Vậy a có hai căn bậc hai là $ \ pm \ sqrt a USD .* Khi a < 0 thì $ { z ^ 2 } – a = \ left ( { z – \ sqrt { – ai } } \ right ) \ left ( { z + \ sqrt { – ai } } \ right ) USD. Do đó, $ { z ^ 2 } – a = 0 $ khi và chỉ khi $ \ sqrt { – ai } $ hoặc USD – \ sqrt { – ai } USD. Vậy a có hai căn bậc hai là $ \ pm \ sqrt { – ai } $ .
Trường hợp w= a + bi $\left( {a,b \in R} \right)$, $b \ne 0$.
USD z = x + yi \ left ( { x, y \ in R } \ right ) USD là căn bậc hai của w khi và chỉ khi $ { z ^ 2 } = w USD, tức là $ { \ left ( { x + yi } \ right ) ^ 2 } = a + bi USD .Do $ { \ left ( { x + yi } \ right ) ^ 2 } = { x ^ 2 } – { y ^ 2 } + 2 xyi USD nên $ { z ^ 2 } = w USD khi và chỉ khi USD \ left \ { \ begin { array } { l } { x ^ 2 } – { y ^ 2 } = a \ \ 2 xy = b \ end { array } \ right. $Vậy để tìm những căn bậc hai của w = a + bi ta cần giải hệ phương trình này .
Mỗi cặp số thực (x ; y) nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ta một căn bậc hai x + yi của số phức a + bi.
b ) Căn bậc hai của của số thực âm
Căn bậc hai của số thực a là $ \ pm i \ sqrt { \ left | a \ right | } $ .
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai USD a { x ^ 2 } + bx + c ; a, b, c \ in R, a \ ne 0 USD. Xét biệt số $ \ Delta = { b ^ 2 } – 4 ac USD của phương trình. Ta thấy :- Khi USD \ Delta = 0 USD, phương trình có một nghiệm thực .- Khi USD \ Delta > 0 USD, có hai căn bậc hai ( thực ) của $ \ Delta $ là $ \ pm \ sqrt \ Delta $ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác lập bởi công thức :USD { x_ { 1,2 } } = \ frac { { – b \ pm \ sqrt \ Delta } } { { 2 a } } $- Khi USD \ Delta < 0 $ phương trình không có nghiệm thực vì không sống sót căn bậc hai thực của USD \ Delta $ .- Tuy nhiên, USD \ Delta < 0 USD, có hai căn bậc hai thuần ảo của $ \ Delta $ là $ { \ pm i \ sqrt \ Delta } USD. Khi đó, phương trình hai nghiệm phức được xác lập bởi công thức :USD { x_ { 1,2 } } = \ frac { { – b \ pm i \ sqrt { \ left | \ Delta \ right | } } } { { 2 a } } $ .
Như vậy, trong tập hợp các số phức, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm.
Tổng quát, người ta đã chứng tỏ được rằng mọi phương trình bậc USD n \ left ( { n \ ge 1 } \ right ) USD có :USD { a_0 } { x ^ n } + { a_1 } { x ^ { n – 1 } } + … + { a_ { n – 1 } } { x ^ n } + { a_n } = 0 USDtrong đó $ { a_0 }, { a_1 }, …, { a_n } \ in C, { a_0 } \ ne 0 $ đều có n nghiệm phức ( những nghiệm không nhất thiết phân biệt ) ( Định lí cơ bản của Đại số học ) .
Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn