Định nghĩa, tính chất và một số dạng toán của cấp số cộng

Trong toàn bộ những phép toán mà bạn được học ở trung học phổ thông thì có lẽ rằng cấp số cộng là một trong những phép toán được sử dụng nhiều nhất. Bài viết này tất cả chúng ta sẽ đi sâu để tìm hiểu và khám phá về khái niệm, đặc thù và một số ít bài tập tương quan thường gặp .

Cấp số cộng ( Nguồn : Internet )

Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ 2 thì mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước và một số ít d ( công sai ) không đổi .
Có nghĩa là unlà cấp số cộng
⇔ ∀ n ≥ 2, un-1+d, với n ∈ N *

Tính chất

Nếu unlà cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối so với cấp số cộng hữu hạn ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, tức là :
uk = uk-1+uk+12

Công sai

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Công sai d = un + 1 – un
Ví dụ : Ta có dãy số – 3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng khởi đầu là thành phần a1và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức sau :
an = a1 + n-1d

Tổng n số hạng đầu tiên

Giả sử unlà một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Snlà tổng n số hạng tiên phong của nó Sn = u1 + u2 + … + un khi đó ta có công thức :
Sn = u1 + u2 + … + un = nu1 + un2 = n2u1 + n-1d2
Ví dụ : Công ty ABC đang triển khai việc trả lương cho những nhân viên cấp dưới bán hàng theo phương pháp : Mức lương của quý thao tác tiên phong là 4,5 triệu đồng / quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,3 triệu đồng cho mỗi quý. Yêu cầu hãy tính tổng tiền lương 1 nhân viên cấp dưới nhận được sau 3 năm thao tác tại công ty .
Bài giải :
Với mỗi số nguyên dương n, được kí hiệu un ( triệu đồng ) là mức lương của nhân viên cấp dưới thao tác thứ n cho công ty .
Theo đề bài ta có :
u1 = 4,5 ; un + 1 = un + 0,3 với ∀ n ≥ 1

Từ đó ta có dãy số unlà một cấp số cộng với công sai d = 0,3

Do mỗi năm có 4 quý nên 3 năm sẽ có 12 quý. Như vậy theo nhu yếu của đề bài ta cần phải tính tổng 12 số hạng tiên phong của cấp số cộng un .
Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được : u12 = 4,5 + 12-1. 0,3 = 7,8
Áp dụng công thức tổng n số hạng tiên phong ta được :
S12 = 12.4,5 + 7,82 = 73,8 triệu đồng
Vậy tổng số tiền lương nhân viên cấp dưới nhận được sau 3 năm làm tại công ty là 73,8 triệu đồng .

Một số bài toán thông dụng

Bài tập mẫu ( Nguồn : Internet )

Bài tập 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của dãy số?

1. un= 5-3n
2. un=n2-1
3. un= 3n

Bài giải :

1. Ta có un+1-un= 5-3n+1-5-3n=-3; ∀n∈N*

Vậy unlà cấp số cộng có u1 = 2, công sai d = – 3

2. Ta có un+1-un=n+12-1-n2-1=12; ∀n∈N*

Vậy unlà cấp số cộng có u1 = – 12, công sai d = 12

3. Ta có un+1-un=3n+1-3 = 2.3n⇒un không phải là cấp số cộng

Bài tập 2: Cho 2 cấp số cộng

un = u1 ; u2 ; … ; un có công sai d1vn = v1 ; v2 ; … ; vn có công sai d2
Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là :
Sn = u1 + u2 + … + un = 7 n + 1 và Tn = v1 + v2 + .. + vn = 4 n + 27Y êu cầu : Tìm tỉ số u11v11
Bài giải :
Ta có : Sn = 2 u1 + n-1d1 và Tn = 2 v1 + n-1d2Nên SnTn = 2 u1 + n-1d12v1+n-1d2 1 u11v11 = u1 + 10 d1v1 + 10 d2 = 2 u1 + 20 d12v1 + 20 d2 2

So sánh (1) và (2) => n = 21 nên u11v11=148111=43

Bên trên là những kiến thức thức tổng quát và 1 số ít bài tập thường gặp của cấp số cộng. Hy vọng bài viết hoàn toàn có thể giúp ích cho những bạn trong quy trình học tập .
Con quay hồi chuyển (Gyroscope) và ứng dụng trong đời sống : Con quay hồi chuyển là gì? Đặc điểm, nguyên lý hoạt động và ứng dụng của nó trong các thiết bị di động hiện nay.Con quay hồi chuyển là gì ? Đặc điểm, nguyên tắc hoạt động giải trí và ứng dụng của nó trong những thiết bị di động lúc bấy giờ .Cách tính thể tích hình nón, hình chóp, hình chóp cụt : Dù bạn còn là học sinh hoặc ra trường rồi, thì việc nắm rõ cách tính thể tích hình nón sẽ là lợi thế rất lớn. Cùng tổng hợp lại các công thức quan trọng nhé!Dù bạn còn là học viên hoặc ra trường rồi, thì việc nắm rõ cách tính thể tích hình nón sẽ là lợi thế rất lớn. Cùng tổng hợp lại những công thức quan trọng nhé !