Cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông

Định nghĩa đường trung tuyến là gì? Tính chất của đường trung tuyến? Công thức tính độ dài đường trung tuyến? Đặc điểm của đường trung tuyến? Lý thuyết và các dạng bài tập về định nghĩa đường trung tuyến? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu chi tiết về chủ đề đường trung tuyến cũng như những nội dung liên quan qua bài viết cụ thể dưới đây nhé!.

Nội dung chính

• Định nghĩa đường trung tuyến là gì?
• Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác
• Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
• Một số định lý đường trung tuyến trong tam giác
• Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt
• Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác vuông
• Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều
• Công thức liên quan tới độ dài của trung tuyến
• Một số bài tập đường trung tuyến lớp 7
• Trắc nghiệm tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
• Bài tập thực hành đường trung tuyến trong tam giác
• Các dạng toán thường gặp về đường trung tuyến
• Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài của đoạn thẳng
• Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt
• Video liên quan

Định nghĩa đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

Trong hình học thì đường trung tuyến của một tam giác được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.

Ví dụ :
Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác
Theo như hình vẽ trên thì những đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC .

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

• Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng chừng bằng \ ( \ frac { 2 } { 3 } \ ) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy .
• Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm .
• Vị trí của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ :
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có những trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức :
\ ( \ frac { AG } { AI } \ ) = \ ( \ frac { BG } { BM } \ ) = \ ( \ frac { CG } { CN } \ ) = \ ( \ frac { 2 } { 3 } \ )

Một số định lý đường trung tuyến trong tam giác

Thực hành : Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác lập trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối lập. Bằng cách tương tự như, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại .
Quan sát tam giác vừa cắt ( trên đó đã vẽ ba đường trung tuyến ). Cho biết : Ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm hay không ?

Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. điểm gặp nhau của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm (centroid) của tam giác đó.

Định lý 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Ví dụ minh họa :

Tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) có D, E, F là BC, CA, AB. Khi đó AD, BE, CF lần lượt là những đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy ở G .
Ta có G là trọng tâm của tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) .
Theo định nghĩa, AE = EC, CD = DB, BF = FA, do đó :
\ ( S \ Delta AGE = S \ Delta CGE ; S \ Delta BGD = S \ Delta CGD ; S \ Delta AGF = S \ Delta BGF \ ) trong đó kí hiệu \ ( S \ Delta ABC \ ) là diện tích quy hoạnh của tam giác ABC .
Điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy, mà diện tích quy hoạnh của một tam giác thì bằng 50% chiều dài đáy nhân với đường cao, khi ấy hai tam giác ấy có diện tích quy hoạnh bằng nhau .
Chúng ta có :
\ ( S \ Delta ACG = S \ Delta ACD-S \ Delta CGD ; S \ Delta ABG = S \ Delta ABD-S \ Delta BGD \ )
Do đó ta có : \ ( S \ Delta ABG = S \ Delta ACG \ ) và \ ( S \ Delta DBG = S \ Delta DCG \ ) ; \ ( S \ Delta CDG = \ frac { 1 } { 2 } S \ Delta ACG \ )
Do \ ( S \ Delta BGF = S \ Delta AGF \ ), \ ( S \ Delta AGF = \ frac { 1 } { 2 } S \ Delta ACG = S \ Delta BGF = \ frac { 1 } { 2 } S \ Delta BCG \ )
Do vậy, \ ( S \ Delta AFG = S \ Delta BFG = S \ Delta BGD = S \ Delta CGD \ )
Sử dụng cùng giải pháp này. ta hoàn toàn có thể chứng minh điều sau :
\ ( S \ Delta AFG = S \ Delta BFG = S \ Delta BGD = S \ Delta CGD = S \ Delta CGE = S \ Delta AGE \ )

Định lý 3 : Về vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.

Ví dụ như sau :

Tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) có AD, BE, CF lần lượt là những đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C. Theo định lý 1 thì ba đường này đồng quy tại một điểm gọi là điểm G .
Theo định lý 2 thì :
\ ( AG = \ frac { 2 } { 3 } AD ; BG = \ frac { 2 } { 3 } BE ; CG = \ frac { 2 } { 3 } CF \ )

Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt

Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác vuông

Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt quan trọng của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau .
Chính vì thế mà đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có không thiếu những đặc thù của một đường trung tuyến tam giác .
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền .
Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông .

Ví dụ 1:

Đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tam giác ABC vuông ở B, độ dài đường trung tuyến BM sẽ bằng MA, MC và bằng \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) AC
trái lại nếu BM = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) AC thì tam giác ABC sẽ vuông ở B .

Ví dụ 2:

Tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) BC .
trái lại nếu AM = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) BC thì tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) sẽ vuông ở A .

Chứng minh:

Cho tam giác \ ( \ Delta ABC \ ). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :

1. Nếu = 900thì MA = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) BC
2. Nếu MA = \(\frac{1}{2}\) BC thì góc \(\widehat{A}\) = 900.

Xét tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) có M là trung điểm của BC .
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA .
Ta có :
\ ( \ widehat { AMB } \ ) = \ ( \ widehat { NMC } \ ) ( đối đỉnh )
BM = CM ( giả thiết )
MA = MN ( dựng hình )
Suy ra : tam giác tam giác \ ( \ Delta MAB \ ) = tam giác tam giác \ ( \ Delta MNC \ ) ( c. g. c )
Suy ra : NC = AB và \ ( \ widehat { MBA } \ ) = \ ( \ widehat { MCN } \ )

1800. a ) Do \ ( \ widehat { MBA } \ ) = \ ( \ widehat { MCN } \ ) nên AB / / NC suy ra \ ( \ widehat { BAC } \ ) + \ ( \ widehat { ACN } \ ) = 1800.

Nếu góc \ ( \ widehat { BAC } \ ) = 900 thì góc \ ( \ widehat { ACN } \ ) = 900 .
Khi đó ta có : tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) = tam giác \ ( \ Delta CNA \ ) ( c. g. c ) vì có AC chung ; AB = NC ( cmt ) và \ ( \ widehat { BAC } \ ) = \ ( \ widehat { ACN } \ ) = 900 .
Ta có : AN = BC => AM = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) BC

1. b ) Ta có : MA = \ ( \ widehat { A } \ ) AN. Nếu MA = \ ( \ widehat { A } \ ) BC thì AN = BC .

Lại có AB = CN ( cmt )
Suy ra tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) = tam giác \ ( \ Delta CNA \ ) ( c. c. c ), suy ra : góc \ ( \ widehat { BAC } \ ) = góc \ ( \ widehat { ACN } \ )
Mà \ ( \ widehat { BAC } \ ) + \ ( \ widehat { ACN } \ ) = 1800 ( vì AB / / CA ) nên \ ( \ widehat { BAC } \ ) = 900 ( dpcm )

Bài tập ví dụ: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Gợi ý giải: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông: đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì có độ dài bằng một nửa cạnh huyền và định lý Pitago.

Tìm hiểu đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều

Tính chất: Đường trung tuyến trong tam giác cân (và tam giác đều) ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cái đấy và chia tam giác các thành hai tam giác bằng nhau.

Tam giác đều \ ( \ Delta ABC \ ) có AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung tuyến của tam giác. Theo đặc thù của đường trung tuyến trong tam giác đều ta có :
\ ( AM \ bot BC ; BN \ bot AC ; CP \ bot AB \ )
và \ ( \ Delta ABM = \ Delta ACM ; \ Delta ABN = \ Delta CBN ; \ Delta ACP = \ Delta BCP \ ) .
Bài tập ví dụ :

Chứng minh trong một tam giác cân thì hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau

Chứng minh định lý hòn đảo của định lý trên : Nếu tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân .

Công thức liên quan tới độ dài của trung tuyến

Ta hoàn toàn có thể tính được độ dài đường trung tuyến của một tam giác trải qua độ dài những cạnh của tam giác ấy. Độ dài của trung tuyến được tính bằng định lý Apollonius như sau :

Trong đó a, b và c là những cạnh của tam giác với những trung tuyến tương ứng \ ( m_ { a }, m_ { b }, m_ { c } \ ) từ trung điểm .
Vậy là ta đã tìm hiểu và khám phá khá vừa đủ về định nghĩa và đặc thù của đường trung tuyến, cũng như vận dụng nó trong một số ít trường hợp đặc biệt quan trọng. Sau đây tất cả chúng ta hãy rèn luyện trải qua một số ít bài tập đơn thuần nhé .

Một số bài tập đường trung tuyến lớp 7

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng xx và yy gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên yy lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.

Cách giải:

Ta có O là trung điểm của đoạn LM ( gt )
Suy ra BO là đường trung tuyến của \ ( \ Delta BLM \ ) ( 1 )
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO = 3AO vì AB = 2AO ( gt )
Suy ra \ ( AO = \ frac { 1 } { 3 } BO \ ) hay \ ( BA = \ frac { 2 } { 3 } BO \ ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra A là trọng tâm của \ ( \ Delta BLM \ ) ( đặc thù của trọng tâm )
mà LP và MQ là những đường trung tuyến của \ ( \ Delta BLM \ ) vì P. là trung điểm của đoạn thẳng MB ( gt )
suy ra những đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A ( đặc thù của ba đường trung tuyến )

Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:

1. EF = BC
2. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC .

Cách giải:

a. ) Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác \ ( \ Delta ABC \ ) .
\ ( \ Rightarrow GC = 2GN \ )
mà \ ( FG = 2GN \ Rightarrow GC = GF \ )
Tương tự BG, GE và \ ( \ widehat { G_ { 1 } } = \ widehat { G_ { 2 } } \ ) ( đd ). Do đó \ ( \ Delta BGC = \ Delta EGF ( c. g. c ) ) \ )
Suy ra BC = EF
b. ) G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong tam giác ABC
nên AG đi qua trung điểm của BC .

Trắc nghiệm tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Câu 1: Chọn câu sai:

1. Trong một tam giác có 3 đường trung tuyến
2. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm
3. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó
4. Một tam giác có hai trọng tâm

Câu 2: Điền số thích hợp vào chỗ chấm:Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

1. \ ( \ frac { 2 } { 3 } \ )
2. \ ( \ frac { 3 } { 2 } \ )
3. 2
4. 3

Câu 3: Cho tam giác \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là:

1. 4.5 cm
2. 3 cm
3. 6 cm
4. 4 cm

Bài tập thực hành đường trung tuyến trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác \(\Delta ABC\), với AM là đường trung tuyến, biết đường trung tuyến \(AM=\frac{1}{2}BC\), hãy chứng minh rằng tam giác \(\Delta ABC\)vuông ở góc A:

Bài 2: Cho tam giác vuông \(\Delta ABC\) với góc A là góc vuông, có cạnh AB = 18cm, cạnh AC = 24cm, hãy tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác \(\Delta ABC\).

Bài 3: Cho tam giác \(\Delta ABC\), đường trung tuyến của tam giác là đoạn BM, trên đoạn thẳng BM lấy hai điểm G và K sao cho đoạn thẳng BG = BM và G là trung điểm của BK, gọi điểm N là trung điểm của KC, GN cắt CM ở điểm O, hãy chứng minh :

• \ ( GO = \ frac { 1 } { 3 } BC \ )
• O là trọng tâm của tam giác GKC

Bài 4: Cho tam giác \(\Delta ABC\), trên cạnh đối của cạnh AB, hãy lấy điểm D sao cho đoạn thẳng AD = AB, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho đoạn thẳng AE = 1/3 AC, đoạn thẳng BE cắt CD ở điểm M, các bạn hãy chứng minh \(AM=\frac{1}{2}BC\) và M là trung điểm của CD.

Bài 5: Cho điểm G là trọng tâm của tam giác đều \(\Delta ABC\), các bạn hãy chứng minh rằng các cạnh GA, GB, GC bằng nhau.

Bài 6: Cho 1 tam giác \(\Delta ABC\) cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm, hãy kẻ đường trung tuyến AM. Tính độ dài AM và chứng minh: AM vuông góc với BC.

Bài 7:Gọi G là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC\). Trên tia AG lấy điểm G sao cho G là trung điểm của AG. So sánh các cạnh của tam giác BGG với các đường trung tuyến của tam giác \(\Delta ABC\). So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG với các cạnh của tam giác \(\Delta ABC\).

Bài 8: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE=DA. Chứng minh tam giác ABD = tam giác ECD. Tính AD biết AB=6cm, AC= 8cm.

Các dạng toán thường gặp về đường trung tuyến

Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài của đoạn thẳng

Phương pháp giải :
Với dạng toán này, ta cần quan tâm đến vị trị trọng tâm của tam giác .
Với G là trọng tâm của tam giác ABC với AD, BE và CF là ba đường trung tuyến, lúc này ta có :

Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt

Đây là dạng toán đường trung tuyến ở những tam giác đặc biệt quan trọng như tam giác cân, tam giác đều hay tam giác vuông .
Phương pháp giải :
Ta cần quan tâm trong tam giác cân hay tam giác đều thì đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau .

Như vậy, thông qua bài viết trên hi vọng Dinhnghia.vn đã giúp các bạn, đặc biệt các em học sinh lớp 7 có một cái nhìn ở tổng quan nhất về định nghĩa, các tính chất của đường trung tuyến trong tam giác. Các bạn hãy đọc thật kỹ và luyện tập chúng thông qua những bài tập ở cuối bài viết để nắm chắc hơn kiến thức về định nghĩa đường trung tuyến nhé. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm: Phân tích đa thức thành nhân tử: Lý thuyết, Bài tập nâng cao và Ứng dụng

Tham khảo đường trung tuyến trong tam giác qua bài giảng của cô Quỳnh Dư :

1.8
/
5

(

5
bầu chọn
)

Video liên quan