Đường tròn.

adnhacly

3 năm trước

Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.

Đường tròn tâm O nửa đường kính R ký hiệu là ( O ; R )Đường tròn là một hình khép kín đơn thuần chia mặt phẳng ra làm 2 phần : phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi ” đường tròn ” ranh giới của hình, ” hình tròn trụ ” gồm có cả ranh giới và phần bên trong .
C), đường kính (D, xanh lam), bán kính (R, đỏ) và tâm (O, xanh lục)

Một đường tròn (đen) với chu vi (), đường kính (, xanh lam), bán kính (, đỏ) và tâm (, xanh lục)

Bạn đang đọc: Đường tròn.

Đường tròn cũng được định nghĩa là một hình elíp đặc biệt quan trọng với hai tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0. Đường tròn cũng là hình bao quanh nhiều diện tích quy hoạnh nhất trên mỗi đơn vị chức năng chu vi bình phương .

Nội dung chính

1 Một số thuật ngữ.
2 Sự xác lập đường tròn.
3 Đường tròn của Apollonius.
- 3.1 Tỉ số kép.
- 3.2 Đường tròn tổng quát.
4 Đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếp.
5 Vị trí tương đối.
- 5.1 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.
- 5.2 Vị trí tương đối giữa 2 đường tròn.
6 Đường tròn dưới dạng đặc biệt quan trọng của những hình khác.
7 Góc với đường tròn.
8 Cầu phương hình tròn trụ.
9 Liên kết ngoài.
- 9.1 Share this:

Một số thuật ngữ.

Dây cung, đường kính, nửa đường kính, cát tuyến và tiếp tuyến của đường tròn

Hình quạt tròn và cung tròn ( cung )

Sự xác lập đường tròn.

Một đường tròn được xác lập khi biết tâm và nửa đường kính của nó, hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của nó .Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta hoàn toàn có thể vẽ được một và chỉ một đường tròn .
Trong hình học phẳng, đường tròn và hình tròn là hai khái niệm khác nhau. Hình tròn là tập hợp toàn bộ những điểm nằm trong và nằm trên đường tròn hay tập hợp những điểm cách tâm một khoảng chừng nhỏ hơn hoặc bằng nửa đường kính. Đường tròn không có diện tích quy hoạnh như hình tròn trụ .
Chiếc com-pa trong bản thảo viết tay từ thế kỉ 13 là hình tượng của Đấng tạo hóa. Đồng thời vòng hào quang cũng có dạng tròn .

Từ circle có nguồn gốc từ tiếng Hy Lap κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), nghĩa là “vòng” hay “nhẫn”.[1]

Một mảnh lụa Mông Cổ hình tròn trụ Đường tròn trong những bản vẽ thiên văn Ả Rập cổ .Đường tròn đã được biết đến từ trước khi lịch sử dân tộc ghi nhận được. Những hình tròn trụ trong tự nhiên hẳn đã được quan sát, ví dụ như Mặt Trăng, Mặt Trời … Đường tròn là nền tảng để tăng trưởng bánh xe, mà cùng với những ý tưởng tựa như như bánh răng, là thành phần quan trọng trong máy móc văn minh. Trong toán học, việc nghiên cứu và điều tra đường tròn đã dẫn đến sự tăng trưởng của hình học, thiên văn học và vi tích phân .Khoa học sơ khai, đặc biệt quan trọng là hình học, thiên văn học và chiêm tinh học, thường được nhiều học giả thời trung cổ liên kết với thánh thần, và nhiều người tin rằng có gì đó ” thiêng liêng ” và ” tuyệt vời và hoàn hảo nhất ” ở hình tròn trụ. [ 2 ] [ 3 ]Một số dấu mốc trong lịch sử vẻ vang đường tròn :

Độ dài đường tròn ( chu vi hình tròn trụ ).

Tỉ số của độ dài đường tròn với đường kính của nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 3.141592654, vậy chu vi của hình tròn (còn được gọi là viên chu), là độ dài của đường tròn, bằng tích của pi với đường kính hoặc 2 lần pi nhân với bán kính. Công thức:

C = 2 π r = π d. { \ displaystyle C = 2 \ pi r = \ pi d. \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle C=2\pi r=\pi d.\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea62e7a5f27be094b0f8d36ac2dff9003585281" width="6496.3" height="936.9">

Diện tích bao kín.

Trong bản luận Sự đo đạc của một hình tròn của Archimedes, diện tích hình tròn A bằng diện tích của tam giác có cạnh đáy bằng chu vi đường tròn và đường cao bằng bán kính hình tròn,[6] tức A bằng π nhân cho bình phương bán kính:

A = π r 2. { \ displaystyle \ mathrm { A } = \ pi r ^ { 2 }. \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle \mathrm {A} =\pi r^{2}.\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7b86109a5fef2583205c26532158edf69208ee" width="4008.6" height="1152.1">

Tương tự, ký hiệu đường kính là d,

A = π d 2 4 ≈ 0. 7854 d 2, { \ displaystyle \ mathrm { A } = { \ frac { \ pi d ^ { 2 } } { 4 } } \ approx 0 {. } 7854 d ^ { 2 }, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89c6e0031c855e3419e75c0d673137063090e44" width="9368.3" height="2443.8">

tức khoảng 79% diện tích hình vuông ngoại tiếp đường tròn (với độ dài cạnh là d). Đường tròn cũng là hình phẳng bao kín nhiều diện tích nhất với chu vi cho trước.

Hệ tọa độ Descartes.

r = 1, tâm (a, b) = (1.2, −0.5)Đường tròn có nửa đường kính = 1, tâm ( ) = ( 1.2, − 0.5 )

Trong hệ tọa độ Descartes, vòng tròn có tâm tại (a, b) và bán kính r là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn:

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2. { \ displaystyle \ left ( x-a \ right ) ^ { 2 } + \ left ( y-b \ right ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }. }<img decoding="async" alt="{\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c341634bfb40b717acc1a8f19b30e0d33da7826" width="10681.6" height="1439.2">

Phương trình này, được biết là Phương trình đường tròn, xuất phát từ Định lý Pytago áp dụng cho một điểm trên đường tròn: Như trong hình bên, bán kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |x − a| và |y − b|. Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ (0, 0), thì phương trình được thu gọn thành:

x 2 + y 2 = r 2. { \ displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = r ^ { 2 }. \ ! \ }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ }" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e59059e07ec31fe4be919e8ca9741c2fc6ff511" width="5970.9" height="1295.7">

Phương trình hoàn toàn có thể viết dưới dạng tham số sử dụng những hàm lượng giác sin và cosine như sau

x = a + r cos ⁡ t, { \ displaystyle x = a + r \, \ cos t, \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cbf0bc48b0f290a6bea94a4022314551297448" width="6756.7" height="1008.6">

y = b + r sin ⁡ t { \ displaystyle y = b + r \, \ sin t \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle y=b+r\,\sin t\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07021c2b0c4d0cde4ba513a94b201a991dc1d8d9" width="6193.2" height="1080.4">

với t là tham số trong khoảng từ 0 đến 2π, một cách hình học, t tương đương với góc tạo bởi tia đi qua (a, b), (x, y) và trục x dương.

Một phương trình tham số khác của đường tròn là :

x = a + r 1 − t 2 1 + t 2. { \ displaystyle x = a + r { \ frac { 1 – t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } }. \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7910fe15706d5d620a396c1083efab1487b0e577" width="7454.5" height="2659.1">

y = b + r 2 t 1 + t 2 { \ displaystyle y = b + r { \ frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ceff9ba4ce4b3b92a36cb62072cd1bfeb2c3ee" width="7001" height="2443.8">

Tuy nhiên ở sự tham số hóa này, t không chỉ chạy qua tất cả số thực mà còn chạy tới vô hạn, nếu không thì điểm dưới cùng của đường tròn sẽ không được thể hiện.

Trong hệ tọa độ như nhau, mỗi đường conic với phương trình của đường tròn có dạng :

x 2 + y 2 − 2 a x z − 2 b y z + c z 2 = 0. { \ displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } – 2 axz – 2 byz + cz ^ { 2 } = 0. \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3899c97e0b2f5c49f3e1cd9d000acec006508a" width="14475.3" height="1295.7">

Hệ tọa độ cực.

Trong hệ tọa độ cực phương trình của một đường tròn là :

r 2 − 2 r r 0 cos ⁡ ( θ − ϕ ) + r 0 2 = a 2 { \ displaystyle r ^ { 2 } – 2 rr_ { 0 } \ cos ( \ theta – \ phi ) + r_ { 0 } ^ { 2 } = a ^ { 2 } \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e038ad50627c63a356ce79bebe6f18250df7b9" width="13172.3" height="1439.2">

với a là bán kính của đường tròn,

(
r
,
θ
)

{\displaystyle (r,\theta )}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle (r,\theta )}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8396fdc359fb06c93722137c959e7496e47ed6" width="2145.2" height="1223.9">$ là tọa độ cực của một điểm trên đường tròn, và

(

,
ϕ
)

{\displaystyle (r_{0},\phi )}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle (r_{0},\phi )}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b336f1862eef349e2c5acc16e84b8f7ea2ad848d" width="2726.1" height="1223.9">$ là tọa độ cực của tâm đường tròn (tức r0 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm, và φ góc ngược chiều kim đồng hồ từ trục hoành đường thẳng đi qua tâm và gốc tọa độ). Với đường tròn có tâm ở gốc tọa độ, tức r0 = 0, thì được đơn giản hóa còn r = a. Khi r0 = a, hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành:

r = 2 a cos ⁡ ( θ − ϕ ). { \ displaystyle r = 2 a \ cos ( \ theta – \ phi ). \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca8df315f23d7ca0c7ceb119ee93ee6b75f7be4" width="7834.8" height="1223.9">

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cho r

r = r 0 cos ⁡ ( θ − ϕ ) ± a 2 − r 0 2 sin 2 ⁡ ( θ − ϕ ), { \ displaystyle r = r_ { 0 } \ cos ( \ theta – \ phi ) \ pm { \ sqrt { a ^ { 2 } – r_ { 0 } ^ { 2 } \ sin ^ { 2 } ( \ theta – \ phi ) } }, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}},}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6922c1c6dd0bad4a330e8be24fba92c31cffc2b" width="17796.8" height="2013.3">

Chú ý rằng nếu không có dấu ±, trong một số ít trường hợp phương trình chỉ diễn đạt nửa đường tròn .

Mặt phẳng phức.

Trong mặt phẳng phức, một đường tròn có tâm tại c và bán kính (r) có phương trình

z
−
c

=
r

{\displaystyle |z-c|=r\,}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle |z-c|=r\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c2bfe7632099bb9a80c958fa09671e76ecb7da" width="4634.2" height="1223.9">$ . Ở dạng tham số hóa:

z
=
r

i
t

+
c

{\displaystyle z=re^{it}+c}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle z=re^{it}+c}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c229ab78bf822957dceba80e93a98d71d606c8" width="4976.9" height="1223.9">$ .

Phương trình tổng quát

p
z

z
¯

+
g
z
+

g
z

=
q

{\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028f215ad8f29eeb316058469a7fe70c4482dc4d" width="7720.4" height="1152.1">$ cho các số thực p, q và số phức g đôi khi được gọi là đường tròn tổng quát. Phương trình này trở thành phương trình ở trên với

p
=
1
,

g
=
−

c
¯

,

q
=

−

{\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e322c33ee9ecf2c3df4e4e1d36b846a49e5871aa" width="12210.3" height="1439.2">$ , vì

z
−
c

=
z

z
¯

−

c
¯

z
−
c

z
¯

+
c

c
¯

{\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2994155cf77d92fba4111d6370a8af0a1b4fccb" width="11948.7" height="1439.2">$ . Không phải đường tròn tổng quát nào cũng là đường tròn thực sự: đường tròn tổng quát hoặc là đường tròn thực sự hoặc là một đường thẳng.

Đường tiếp tuyến.

Đường tiếp tuyến qua một điểm P trên đường tròn vuông góc đường kính đi qua P. Nếu P = (x1, y1) và đường tròn có tâm (a, b) và bán kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua (a, b) và (x1, y1), nên nó có dạng (x1 − a)x + (y1 – b)y = c. Tính với (x1, y1) xác định giá trị của c và kết quả phương trình của đường tiếp tuyến là:

( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = ( x 1 − a ) x 1 + ( y 1 − b ) y 1 { \ displaystyle ( x_ { 1 } – a ) x + ( y_ { 1 } – b ) y = ( x_ { 1 } – a ) x_ { 1 } + ( y_ { 1 } – b ) y_ { 1 } \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755827d0622f1c5c27f071186fc77ccad5f74a5" width="20854.8" height="1223.9">

hay

( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2. { \ displaystyle ( x_ { 1 } – a ) ( x-a ) + ( y_ { 1 } – b ) ( y-b ) = r ^ { 2 }. \ ! \ }<img decoding="async" alt="{\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\ }" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5778de41751fe0e311adaf3c7119f0fcd355f4dd" width="16957.5" height="1367.4">

Nếu y1 ≠ b thì độ dốc của đường thẳng là

d y d x = − x 1 − a y 1 − b. { \ displaystyle { \ frac { dy } { dx } } = – { \ frac { x_ { 1 } – a } { y_ { 1 } – b } }. }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ca37a31033bf89ed061c49ec1273f0b7b40183e" width="6985.9" height="2515.6">

Kết quả này cũng hoàn toàn có thể được suy ra sử dụng đạo hàm hàm ẩn .

Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ thì phương trình tiếp tuyến là

x
+

y
=

{\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\!\ }

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\!\ }" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cee9096618c1169db7025fded7500ce12227ece" width="7031.7" height="1295.7">$ và độ dốc của nó là

d
y

d
x

=
−

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3ecb0414f1926d49414ab6333f93282ab346f2" width="5233.5" height="2515.6">$

Tính chất chung.

Dây cung cách đều tâm khi và chỉ khi chúng dài bằng nhau.
Trong cùng một đường tròn, dây càng dài thì càng gần tâm.
Đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm của dây cung đó
Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây.
Đường kính là dây cung dài nhất trong đường tròn
Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chia một dây thành hai đoạn a và b, chia dây cung kia thành c và d, thì ab = cd (gọi là phương tích của điểm đó).
Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chia một dây thành hai đoạn a và b, chia dây cung kia thành m và n, thì a2 + b2 + m2 + n2 = d2 (với d là đường kính).
Tổng bình phương chiều dài 2 dây cung vuông góc tại một điểm cố định không đổi và bằng 8r2 – 4p2 (với r là bán kính đường tròn, p là khoảng cách từ tâm đường tròn đến giao điểm đó).
Khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một dây cung nhân với đường kính bằng tích của khoảng cách điểm đó đến 2 đầu mút của dây cung.
2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau căng 2 dây bằng nhau thì 2 cung đó bằng nhau và ngược lại
Với 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau, cung nào căng dây lớn hơn(hoặc bé hơn) thì cung đó lớn hơn(hoặc bé hơn) và ngược lại.

Đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính nằm trên đường tròn là một đường tiếp tuyến với đường tròn.
Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì đi qua tâm.
Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.
Nếu hai tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì
- $B O A ^ + B P A ^ = 180 ∘ { \ displaystyle { \ widehat { BOA } } + { \ widehat { BPA } } = 180 ^ { \ circ } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\widehat {BOA}}+{\widehat {BPA}}=180^{\circ }}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68eccfd25d17439ebd8eada8f843276741a6c9bf" width="9047.4" height="1439.2">$
- PA=PB
- Tia OP là phân giác của góc $B O A ^ { \ displaystyle { \ widehat { BOA } } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\widehat {BOA}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbc7ecb70f7d859c11f9e63dfc9aca78834a840" width="2273.5" height="1367.4">$ $B P A ^ { \ displaystyle { \ widehat { BPA } } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\widehat {BPA}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedf486063db0f1e441f05bc97beb99e8e6fb755" width="2261.5" height="1367.4">$
Nếu AD tiếp xúc với đường tròn tại A và AQ một dây cung của đường tròn, thì $D A Q ^ = A Q ⌢ 2 { \ displaystyle { \ widehat { DAQ } } = { \ frac { \ overset { \ frown } { AQ } } { 2 } } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\widehat {DAQ}}={\frac {\overset {\frown }{AQ}}{2}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8335bf9497a2ca7542864150b6ad5310bd30b130" width="5606.6" height="2802.6">$

Định lý hai cát tuyến

Định lý dây cung phát biểu nếu hai dây cung, CD và EB, cắt nhau tại A thì AC.AD = AB.AE.
Nếu hai cát tuyến, AE và AD, cắt đường tròn lần lượt tại B và C thì AC.AD = AB.AE. (Hệ quả của định lý dây cung)
Một tiếp tuyến có thể coi như một giới hạn của cát tuyến với đầu mút trùng nhau. Nếu tiếp tuyến từ điểm A nằm ngoài đường tròn cắt đường tròn tại F và một cát tuyến từ A cắt đường tròn lần lượt tại C và D thì AF2 = AC.AD. (Định lý tiếp tuyến-cát tuyến)
Góc nằm giữa một dây cung và tiếp tuyến tại một đầu dây cung bằng một nửa góc ở tâm bị chắn bởi dây cung đó (Tangent Chord Angle).
Nếu góc ở tâm bị chắn bởi dây cung là góc vuông thì ℓ = r√2, với ℓ là độ dài dây cung và r là bán kính đường tròn.
Nếu hai cát tuyến cắt đường tròn như bên thì góc A bằng nửa hiệu hai cung tạo thành (DE và BC), tức $2 B A C ^ = D O E ^ − B O C ^ {\displaystyle 2{\widehat {BAC}}={\widehat {DOE}}-{\widehat {BOC}}} Xem thêm: NHẠCLÝ #10❤️ NHỊP LẤY ĐÀ LÀ GÌ? ĐẶC ĐIỂM CỦA NHỊP LẤY ĐÀ. CHO VÍ VỤ VỀ NHỊP LẤY ĐÀ <img decoding="async" alt="{\displaystyle 2{\widehat {BAC}}={\widehat {DOE}}-{\widehat {BOC}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10235539ba141b19aaab42e684e39fa0e136bd34" width="9968" height="1439.2">$ O là tâm đường tròn. Đây là định lý 2 cát tuyến với đường tròn.

Sagitta là đoạn thẳng xanh .

Sagitta (còn được biết là versine) là đoạn thẳng vuông góc với dây cung, đi qua trung điểm của dây cung và cung mà dây đó chắn.
Cho độ dài y của dây và độ dài x sagitta, ta có thể dùng định lý Pytago để tính bán kính của đường tròn duy nhất vừa với 2 đoạn thẳng:

r = y 2 8 x + x 2. { \ displaystyle r = { \ frac { y ^ { 2 } } { 8 x } } + { \ frac { x } { 2 } }. }<img decoding="async" alt="{\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd79ddf39cdc709f20f2ce73a0c08747f976af24" width="5652.5" height="2443.8">

Một chứng minh khác của kết quả này sử dụng tính chất hai dây cung như sau: Cho dây cung có độ dài y và sagitta có độ dài x, vì sagitta đi qua trung điểm của dây cung, nó phải là một phần đường kính. Do đường kính dài gấp đôi bán kinh, phần “bị thiếu” của đường kính có độ dài (2r − x). Do một phần của một dây cung này nhân phần kia không đổi khi dây quay quanh giao điểm, ta tìm được

(
2
r
−
x
)
x
=

(

y
2

)

{\displaystyle (2r-x)x=\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle (2r-x)x=\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44db8b4b8905a21e407c6ef3edb6b50250c6314f" width="7942.4" height="2300.3">$ . Giải tìm r, ta nhận được kết quả như trên.

Có nhiều phép dựng hình bằng thước kẻ và compa cho ra đường tròn .Đơn giản và cơ bản nhất là phép dựng hình đã biết tâm đường tròn và một điểm nằm trên đường tròn. Đặt chân trụ của com-pa trên tâm, chân xoay lên điểm trên đường tròn và quay com-pa .

Dựng đường tròn với đường kính cho trước.

Dựng trung điểm $M$
của đường kính.
Dựng đường tròn với tâm $M$
đi qua một đầu mút của đường kính (nó cũng sẽ qua đầu mút còn lại).

Dựng đường tròn qua ba điểm A, B, C bằng cách tìm đường trung trực ( đỏ ) của những cạnh tam giác ( xanh ). Chỉ cần hai trong số ba đường trung trực là đủ để xác lập tâm đường tròn .

Dựng đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Gọi ba điểm đó là $P$
,
$Q$
và
$R$
,
Dựng đường trung trực của đoạn
PQ

.
Dựng đường trung trực của đoạn
PR

.
Gọi giao điểm hai đường trung trực là $M$
. (Chúng cắt nhau vì các điểm không thẳng hàng collinear).
Dựng đường tròn tâm $M$
đi qua một trong các điểm
$P$
,
$Q$
hay
$R$
(nó cũng sẽ qua hai điểm còn lại).

Dựng tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn.

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn O tại 2 điểm, khi đó 2 điểm đó là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đi qua điểm A .

Đường tròn của Apollonius.

d1/d2

constantĐịnh nghĩa đường tròn của Apollonius : constant

Apollonius của Pergaeus chỉ ra rằng đường tròn còn có thể định nghĩa là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có tỉ số không đổi (khác 1) của khoảng cách tới hai tiêu điểm, A và B.[7][8] (Nếu tỉ số là 1 thì tập hợp ấy là đường trung trực của đoạn thẳng AB.)

Chứng minh gồm hai phần. Đầu tiên ta cần chứng minh, cho hai tiêu điểm A và B một tỉ số, bất kì điểm P thỏa mãn tỉ số phải nằm trên một đường tròn nhất định. Gọi C là một điểm thỏa mãn tỉ số và nằm trên đoạn thẳng AB. Từ định lý đường phân giác suy ra PC sẽ chia đôi góc trong APB:

A P B P = A C B C. { \ displaystyle { \ frac { AP } { BP } } = { \ frac { AC } { BC } }. }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4508f34276933287249e21f514504bc4e9429f" width="5363.6" height="2372">

Tương tự, đoạn thẳng PD qua điểm D trên đường thẳng AB chia đôi góc ngoài BPQ với Q nằm trên tia AP kéo dài. Do góc ngoài và góc trong bù nhau, góc CPD phải bằng 90 độ. Tập hợp các điểm P sao cho góc CPD là góc vuông tạo thành một đường tròn với CD là đường kính.

Thứ hai, xem [ 9 ] : tr. 15 để chứng tỏ rằng những điểm trên đường tròn vừa tạo thỏa mãn nhu cầu tỉ số .

Tỉ số kép.

Một tính chất của đường tròn liên quan đến hình học của tỉ số kép của các điểm trên mặt phẳng phức. Nếu A, B, và C cho như trên thì đường tròn của Apollonius của ba điểm là tập hợp các điểm P sao cho giá trị tuyệt đối của tỉ số kép bằng 1:

| ( A, B ; C, P. ) | = 1. { \ displaystyle | ( A, B ; C, P. ) | = 1. \ }<img decoding="async" alt="{\displaystyle |(A,B;C,P)|=1.\ }" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0e301cd85f771643b400dbc8665efd05dd34da" width="8056.6" height="1223.9">

Nói cách khác, P là điểm trên đường tròn của Apollonius khi và chỉ khi tỉ số kép (A,B;C,P) nằm trên đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức.

Đường tròn tổng quát.

Nếu C là trung điểm của đoạn AB thì tập hợp các điểm P thỏa mãn điều kiện Apollonius

| A P | | B P | = | A C | | B C | { \ displaystyle { \ frac { | AP | } { | BP | } } = { \ frac { | AC | } { | BC | } } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e86b9ad901d924803c59778e69fd49c2617bab0" width="6199.1" height="2802.6">

không tạo thành một đường tròn mà thành một đường thẳng .

Vậy nên nếu A, B, C là các điểm phân biệt trên mặt phẳng thì quỹ tích điểm P thỏa mãn phương trình trên gọi là “đường tròn tổng quát”. Nó có thể là một đường tròn hoặc một đường thẳng. Trong trường hợp này, một đường thẳng là một đường tròn tổng quát có bán kính vô hạn.

Đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếp.

Trong mỗi tam giác, một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn nội tiếp nếu nó tiếp xúc với ba cạnh tam giác. [ 10 ]Với mọi tam giác một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn ngoại tiếp, nếu nó đi qua ba đỉnh của tam giác. [ 11 ]Một đa giác ngoại tiếp là một đa giác lồi bất kể mà một đường tròn hoàn toàn có thể nội tiếp được và tiếp xúc với những cạnh của đa giác. [ 12 ] Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác ngoại tiếp .Một đa giác nội tiếp, ví dụ tứ giác nội tiếp, là một đa giác lồi bất kể mà một đường tròn hoàn toàn có thể bao quanh, đi qua tất những những đỉnh. Một trường hợp được nghiên cứu và điều tra kỹ càng là tứ giác nội tiếp. Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác nội tiếp. Một đa giác vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp được gọi là đa giác lưỡng tâm .Bất kỳ đa giác đều nào cũng đều có đúng 1 đường tròn ngoại tiếp và có đúng 1 đường tròn nội tiếpMột đường cong hypocycloid là đường cong nằm trong một đường tròn, vẽ bằng cách theo dấu một điểm cố định và thắt chặt trên một đường tròn nhỏ hơn lăn trong đường tròn đã cho và tiếp xúc với nó ..

Vị trí tương đối.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.

Cho đường tròn tâm O nửa đường kính R và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Ta có bảng sau :

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Vị trí tương đối	Số điểm chung	So sánh OH với R
Đường thẳng cắt đường tròn	2	OH
Đường thẳng tiếp xúc đường tròn	1	OH = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	0	OH > R

Vị trí tương đối giữa 2 đường tròn.

Cho đường tròn tâm O nửa đường kính R và đường tròn tâm I nửa đường kính r. Ta có bảng sau :


Số điểm chung	Vị trí tương đối		So sánh OI với R và r	Số tiếp tuyến chung
2	2 đường tròn cắt nhau		R – r	2
1	2 đường tròn tiếp xúc nhau	Tiếp xúc ngoài	OI=R+r	3
1	2 đường tròn tiếp xúc nhau	Tiếp xúc trong	$O I = \| R − r \| { \ displaystyle OI = \ left \ vert R-r \ right \ vert }<img decoding="async" alt="{\displaystyle OI=\left\vert R-r\right\vert }" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3571dc7aabb8b4d7ee6ef92e987fa249ae768a3c" width="5593" height="1223.9">$	1
0	2 đường tròn không giao nhau	(O) và (I) ở ngoài nhau	OI>R+r	4
0	2 đường tròn không giao nhau	(O) đựng (I)	$O I$	0

Đường tròn dưới dạng đặc biệt quan trọng của những hình khác.

Đường tròn hoàn toàn có thể xem là một trường hợp số lượng giới hạn của một số ít hình khác :

Một đường cong Decartes là tập hợp các điểm sao cho tổng trọng số của khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm cố định (tiêu điểm) là một hằng số. Một elíp là trường hợp các trọng số bằng nhau. Một đường tròn là một elíp có độ lệch tâm bằng 0, nghĩa là hai tiêu điểm trùng nhau tạo thành tâm đường tròn. Một đường tròn cũng là một đường cong Descartes đặc biệt với một trọng số bằng 0.
Một siêu elíp (hay đường cong Lamé) có phương trình dạng $| x a | n + | y b | n = 1 { \ displaystyle \ left | { \ frac { x } { a } } \ right | ^ { n } \ ! + \ left | { \ frac { y } { b } } \ right | ^ { n } \ ! = 1 }<img decoding="async" alt="\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7278d088496cad8d362fa0d40d71076bd39d47" width="6677.4" height="2228.5">$ a, b, n dương. Một siêu đường tròn có
b = a

. Một đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu đường tròn với

n = 2

.
Một đường oval Cassini là tập hợp các điểm sao cho tích khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm cố định là một hằng số. Khi hai tiêu điểm trùng nhau, một đường tròn hình thành.
Một đường cong có chiều rộng không đổi là một hình có chiều rộng, định nghĩa bằng giữa hai đường thẳng song song phân biệt tiếp xúc với hình đó, không thay đổi bất kể hướng của hai đường thẳng đó. Đường tròn là ví dụ đơn giản nhất cho đường cong này.

Góc với đường tròn.

Góc ở tâm và góc nội tiếp

Góc ở tâm – số đo cung.

2 cạnh của góc ở tâm cắt nhau tại 2 điểm, chia đường tròn thành 2 cung :

Phần cung nằm bên trong góc $α { \ displaystyle \ alpha }<img decoding="async" alt="\alpha " src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" width="640.5" height="721.6">$ $0 \circ$ $α { \ displaystyle \ alpha }$
Phần còn lại được gọi là cung lớn. Số đo của cung này bằng $360 ∘ − α { \ displaystyle 360 ^ { \ circ } – \ alpha }<img decoding="async" alt="{\displaystyle 360^{\circ }-\alpha }" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9c4d3cee03c6ac097826a01cc97f743d7da58a" width="3818.9" height="1080.4">$

Góc bẹt là góc ở tâm chắn nửa đường tròn. Số đo của nửa đường tròn là

180

∘

{\displaystyle 180^{\circ }}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle 180^{\circ }}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d0431ce231935522dc0cb52df7f2b406cdadc3" width="1955.4" height="1008.6">$

Khi 2 đầu của cung trùng nhau, ta có cung không có số đo

∘

{\displaystyle 0^{\circ }}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle 0^{\circ }}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd0e1e92cf5770c2bfbb1de8b4b7bf904c9deef" width="954.4" height="1008.6">$ và cả đường tròn có số đo

360

∘

{\displaystyle 360^{\circ }}

$<img decoding="async" alt="{\displaystyle 360^{\circ }}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb451712d2b1f32ec132e9cf56eca04a64cad60e" width="1955.4" height="1008.6">$

Trong cùng một đường tròn hoặc trong những đường tròn bằng nhau, 2 cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau .Cho điểm C nằm trên cung AB và chia cung AB thành 2 cung là cung AC và cung CB. Khi đó số đo của cung AB bằng tổng số đo cung AC và cung CB .

Góc nội tiếp.

Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
Góc nội tiếp là góc nhọn hoặc góc vuông thì bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó.
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và nằm cùng phía với dây căng cung đó thì bằng nhau.
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung nằm khác phía với dây căng cung đó thì bù nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (định lý Thales).

$x A B ^ { \ displaystyle { \ widehat { xAB } } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\widehat {xAB}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620abe1b08155b558412570e017e1e6b99d59fca" width="2082.5" height="1367.4">$ $y A B ^ { \ displaystyle { \ widehat { yAB } } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\widehat {yAB}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26dd44cfdd7d487faaddde881f97abe351d947da" width="2007.5" height="1510.9">$ Đường tròn tâm O trong hình có tiếp tuyến tại A là đường thẳng xy. Ta được 2 gócchắn cung nhỏ AB vàchắn cung lớn AB

Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung là góc có 1 cạnh là dây của đường tròn, cạnh kia tạo bởi tia tiếp tuyến của đường tròn và đỉnh là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn .Số đo của góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng nửa số đo cung bị chắn .Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó

Tính chất của góc có đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn.

Số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn bằng nửa tổng số đo 2 cung bị chắn.

Xem thêm: Despacito là gì? Những thú vị xoay quanh bài hát Despacito

Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và chắn trên đường tròn đó 2 cung thì số đo của góc đó bằng nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn .

Cầu phương hình tròn trụ.

Cầu phương hình tròn trụ là bài toán đưa ra bởi những nhà hình học cổ đại, nhu yếu dựng một hình vuông vắn có diện tích quy hoạnh bằng diện tích quy hoạnh một hình tròn trụ đã cho trong hữu hạn bước bằng thước thẳng và com-pa .Năm 1882, bài toán được chứng tỏ là không hề thực thi được, như một hệ quả của định lý Lindemann – Weierstrass chứng tỏ rằng pi ( π ) là một số siêu việt, chứ không phải là một số đại số vô tỉ ; nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức với thông số hữu tỉ .

Liên kết ngoài.

Source: http://139.180.218.5
Category: Kiến thức âm nhạc

Một số thuật ngữ.

Sự xác lập đường tròn.

Độ dài đường tròn ( chu vi hình tròn trụ ).

Diện tích bao kín.

Hệ tọa độ Descartes.

Hệ tọa độ cực.

Mặt phẳng phức.

Đường tiếp tuyến.

Tính chất chung.

Dựng đường tròn với đường kính cho trước.

Dựng đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Dựng tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn.

Đường tròn của Apollonius.

Tỉ số kép.

Đường tròn tổng quát.

Đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếp.

Vị trí tương đối.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.

Vị trí tương đối giữa 2 đường tròn.

Đường tròn dưới dạng đặc biệt quan trọng của những hình khác.

Góc với đường tròn.

Góc ở tâm – số đo cung.

Góc nội tiếp.

Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Tính chất của góc có đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn.

Cầu phương hình tròn trụ.

Liên kết ngoài.

Share this: