Công thức phương trình đường tròn và bài tập có lời giải chi tiết

Trong chương trình học cấp bậc đại trà phổ thông lớp 10 thì đường tròn là kiến thức và kỹ năng khá quan trọng, đặc biệt quan trọng rất nhiều em gặp khó khăn vất vả khi giải phương trình đường tròn. Do đó, Góc niềm hạnh phúc sẽ giúp những em hiểu rõ hơn về triết lý, công thức phương trình đường tròn và đưa ra 1 số ít bài tập có giải thuật chi tiết cụ thể để những em hiểu rõ hơn, và hoàn toàn có thể xử lý mọi bài toán khác nhau .

>>Xem thêm

Khái niệm đường tròn

Đường tròn hay được gọi là vòng tròn là tập hợp những điểm cùng nằm trên một mặt phẳng, và cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Trong đó điểm cho trước chính là tâm đường tròn, còn khoảng chừng cho trước chính là nửa đường kính đường tròn

Công thức phương trình đường tròn

Công thức phương trình đường tròn tổng quát

Cho đường tròn tâm I ( a ; b ) và nửa đường kính R
Công thức phương trình đường tròn là bình phương nửa đường kính bằng tổng bình phương của hiệu ( x – a ) và ( y – b )

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

Trong đó tâm I toàn độ a và b và nửa đường kính R là :
Phương trình đường tròn hoàn toàn có thể viết dưới dạng là :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

Trong đó : c = a2 + b2 – R2
Hoặc phương trình x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0

=> Khi đó phương trình đường tròn trên có tâm I(a; b), và bán kính

Công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho một đường tròn có điểm I0 ( x0 ; y0 ) cùng nằm trên đường tròn tâm O ( a ; b )
Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn tại I0
Từ đó ta có I0 thuộc ∆ và vecto OI0 = ( x0 – a ; y0 – b ) là vecto pháp tuyến của ∆
=> Công thức phương trình tiếp tuyến đường tròn là :

(x0 – a) (x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = 0

Bài tập có giải thuật về phương trình đường tròn

Bài tập 1: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 – 4mx – 8(m – 4)y + 18 – m = 0. Hãy tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn

Lời giải

Để ( Cm ) là phương trình đường tròn ta có : mét vuông + [ 4 ( m – 4 ) ] 2 – ( 18 – m ) > 0

m2 + 16m2 – 256m + 256 – 18 + m > 0

17m2 – 255m + 238 > 0

m2 – 15m + 14 > 0

m 2

Bài tập 2: Cho (Cα) là x2 + y2 – 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kᴨ). Chứng minh rằng (Cα) là đường tròn

Lời giải

Để ( Cα ) là đường tròn ta có : cos2α + sin2α – cos2α > 0
VT = cos2α + sin2α – cos2α
= 1 – cos2α
= 2 sin2α > 0 ( với α ≠ kᴨ )

Chú ý: nếu α = kᴨ thì đường tròn là 1 điểm

Bài tập 3: lập phương trình đường tròn (C) biết tâm O(2; 4) và đi qua điểm I(0; 0)

Lời giải

Ta có R = IO, mà vecto IO = √ 22 + √ 42 = √ 20
=> Đường tròn © có tâm O ( 2 ; 4 ) và nửa đường kính R = √ 20 có phương trình đường tròn là : ( x – 2 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 20
Như vậy, trên đây là hàng loạt kiến thức và kỹ năng về phương trình đường tròn. Hy vọng sau khi đọc bài viết này những em sẽ nắm vững kim chỉ nan, công thức phương trình đường tròn và hoàn toàn có thể giải mọi bài toán nâng cao .