Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ

Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ

Bài giảng: Tất tần tật về Mặt trụ – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó :
+ Diện tích xung quanh của hình trụ : Sxq = 2 πrh
+ Diện tích toàn phần của hình trụ : Stp = Sxq + Sđ = 2 πrh + 2 πr2
+ Thể tích khối trụ : V = πr2 h

Ví dụ minh họa

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7cm. Tính Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.

Hướng dẫn:

Diện tích xung quanh của hình trụ : Sxq = 2 πrh = 2 π. 5.7 = 70 π
Diện tích toàn phần của hình trụ : Stp = 2 πrh + 2 πr2 = 70 π + 2 π. 52 = 120 π
Thể tích khối trụ : V = πr2 h = 2 π. 52.7 = 350 π

Bài 2:

a) Một hình trụ (T) có diện tích toàn phần là 120π (cm2) và có bán kính đáy bằng 6 cm. Tính chiều cao của (T)

b) Một hình trụ (T) có thể tích bằng 81π (cm3) và đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của (T) là:

Hướng dẫn:

a) Ta có:

Stp = 2 πrh + 2 πr2 = 2 π. 6. h + 2 π. 62 = 120 π
⇒ h = 4 ( cm )
Vậy chiều cao của hình trụ là 4 cm .

b) Gọi bán kính đáy của hình trụ là r

Do đường sinh của hình trụ bằng chiều cao nên chiều cao của hình trụ là 3 r
Ta có : V = πr2 h = πr2. 3 r = 81 π ⇒ r = 3
Vậy độ dài đường sinh là 3.3 = 9 cm .

Quảng cáo

Bài 3: Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = a√2 và ∠(ACB)=45^ordm;. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T)

Hướng dẫn:

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có bán kính đáy BC, đường cao AB
∆ ABC vuông cân tại B có AC = a √ 2 ⇒ AB = BC = a .
Stp = 2 πrh + 2 πr2 = 2 π. a. a + 2 πa2 = 4 πa2

Bài 4: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Tính thể tích của hình trụ đó

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm của ∆ ABC đều cạnh a, M là trung điểm của BC

Xét tam giác SAO vuông tại O có :

Khi đó, hình trụ có

Thể tích của hình trụ là :

Bài 5: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB

Hướng dẫn:

Vẽ đường sinh AA ’ và gọi D là điểm đối xứng của A ’ qua O ’
Kẻ BH ⊥ A’D, H ∈ A’D
Do A’D / / AO nên BH ⊥ AO
Lại có : bh ⊥ OO ‘
⇒ BH ⊥ ( O’AO )
Vậy bh là đường cao của khối chóp B.AOO ’ .
Tam giác AA’B vuông ở A ’ nên :

Tam giác A’BD vuông ở B nên :

⇒ BD = O’D = O’B = a
⇒ Tam giác BO’D là tam giác đều cạnh a

Thể tích khối tứ diện OO’AB là :

Quảng cáo

B. Bài tập vận dụng

Bài tập tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Sxq = 2 πrh = 2 π. 5.7 = 70 π ( cm2 )

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = a, độ dài đường sinh l = 2a. Diện tích toàn phần của hình trụ này là:

A.6πa2        B.2πa2        C.4πa2        D.5πa2

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Stp = 2 πrh + 2 πr2 = 2 π. a. 2 a + 2 πa2 = 6 πa2

Bài 3: Quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh một cạnh. Thể tích của khối trụ được tạo thành là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Khi quay hình vuông vắn ABCD cạnh a xung quanh một cạnh được hình trụ có chiều cao BC, bán kính BA
V = πr2 h = πa2. a = πa3

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình vuông ABCD xung quanh MN. Diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

A.64π (cm2 )        B. 32π (cm2 )

C.96π (cm2 )        D. 126π (cm2 )

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Khi quay hình vuông vắn ABCD xung quanh MN ta được hình trụ có chiều cao BC = 8 cm ; bán kính đáy MA = 4 cm
Sxq = 2 πrh = 2 π. 4.8 = 64 π ( cm2 )

Bài 5: Một hình trụ (T) có diện tích toàn phần là 120π (cm2 ) và có bán kính đáy bằng 6 cm. Chiều cao của (T) là:

A. 6 cm        B. 5 cm        C. 4 cm        D. 3 cm

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Stp = 2 πrh + 2 πr2 ⇒ 120 π = 2 π. 6. h + 2 π. 62 ⇒ h = 4 ( cm )

Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và góc ∠(BDC)=30º. Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Xét tam giác BDC vuông tại C có :

Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi (C) và (C’) lần lượt là hai đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và (A’B’C’D’). Hình trụ có hai đáy là (C) và (C’) có thể tích là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Bán kính đáy của hình trụ là :

Đường cao h = OO ^ ‘ = a
Thể tích hình trụ cần tìm :

Bài 8: Một hình trụ có tỉ số giữa diện tích toàn phần và diện tích xung quanh bằng 4. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Đường sinh bằng bán kính đáy

B. Bán kính đáy bằng ba lần đường sinh

C. Đường sinh bằng ba lần bán kính đáy

D. Đường sinh bằng bốn lần bán kính đáy

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có :

Vậy bán kính bằng ba lần đường sinh

Bài 9: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.

A.4π        B.2π        C.6π        D.10π

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN, ta được một hình trụ có chiều cao AB = 1 ; bán kính đáy AM = 1
Stp = 2 πrh + 2 πr2 = 2 π. 1.1 + 2 π. 12 = 4 π

Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và một hình trụ có 2 đáy nội tiếp trong 2 hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Tỉ số giữa diện tích xung quanh hình trụ và diện tích toàn phần của hình lập phương bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông vắn ABCD cạnh a là OM = a / 2
Đường cao của hình trụ h = a
Diện tích xung quanh của hình trụ là :

Diện tích toàn phần của hình lập phương : Slp = 6 a2

Bài tập tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ (phần 2)

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ. Thể tích của khối trụ tròn xoay bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi O là tâm ∆ ABC đều cạnh a
Khi đó, bán kính đáy của hình trụ là r = OA = ( a √ 3 ) / 3
Chiều cao của hình trụ h = BB ‘ = a
Thể tích của khối trụ là :

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chiều cao OO’=a√3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đáy (O); (O’) sao cho góc giữa OO’ và AB bằng 30°. Khoảng cách giữa AB và OO’ bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Trên ( O ) lấy điểm C sao cho BC / / OO ’. Khi đó :
∠ ( ABC ) = 30 º
Xét tam giác BAC vuông tại C có :
AC = BC.tan ⁡ ∠ ( ABC ) = a √ 3.tan ⁡ 30 º = a
Gọi H là hình chiếu của O lên AC. Suy ra d ( OO ’, AB ) = d ( OO ’ ; AC ) = OH

Do đó : OH là đoạn vuông góc chung của AB và OO ’
Vậy khoảng cách giữa OO ’ và AB là độ dài đoạn OH .
Tam giác OAC là tam giác đều cạnh a nên OH = ( a √ 3 ) / 2 .
Kiến thức bổ trợ :
+ Góc giữa hai đường thẳng : Góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 là góc giữa hai đường thẳng ∆ ‘ 1 và ∆ ‘ 2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng ) với ∆ 1 và ∆ 2 .

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90 º
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó .

Bài 3: Hình trụ có bán kính đáy 3cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 10cm thì có diện tích toàn phần là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Stp = 2 πrh + 2 πr2 = 2 π. 3.10 + 2 π. 32 = 78 π ( cm2 )

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Diện tích S là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Chiều cao hình trụ là độ cao ( hay cạnh ) của hình lập phương : h = a
Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông vắn ABCD cạnh a ⇒ r = a / √ 2
Sxq = 2 πrh = √ 2 πa2

Bài 5: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’. Biết rằng góc giữa (A’BC) và (ABC) là 30º, cạnh đáy bằng a. Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là.

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi O là tâm đáy ABC, M là trung điểm của BC ⇒ A ‘ O ⊥ ( ABC )
∆ ABC đều cạnh a nên AM ⊥ BC

Lại có : A ‘ O ⊥ BC ⇒ ( AMA ‘ ) ⊥ BC ⇒ A’M ⊥ BC

⇒ Góc giữa 2 mặt phẳng ( A’BC ) và ( ABC ) là góc ∠ ( A’AM ) = 30 º
Xét ∆ A’OM có :

Khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A ‘ B’C ’ có đường cao A’O và bán kính đáy AO

Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ biết tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB=AC=a và góc ∠(ABA’)=45º. Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

∆ AA’B vuông tại A, ∠ ( ABA ‘ ) = 45 º
⇒ ∆ AA’B vuông cân tại A ⇒ AA ‘ = AB = a
∆ AA’B vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AA’B là trung điểm của BC

Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính đáy là r = ( a √ 2 ) / 2 ; chiều cao AA ‘ = a
Diện tích xung quanh của hình trụ là :

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60º. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Thể tích khối trụ có đáy ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình chóp là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi O là tâm hình vuông vắn ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )
Ta có : OD là hình chiếu vuông góc của SD lên ( ABCD )
⇒ Góc giữa cạnh bên SD và ( ABCD ) là ∠ ( SDO ) = 60 º
ABCD là hình vuông vắn cạnh a, O là tâm hình vuông vắn

Thể tích khối trụ có đáy ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình chóp là :

Bài 8: Cho khối trụ có thể tích bằng 24π. Nếu tăng bán kính đường tròn đáy lên 2 lần thì thể tích khối trụ mới là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có : V = πr2 h = 24 π
Nếu tăng bán kính đường tròn đáy lên 2 lần thì ta có :
V ‘ = π ( 2 r ) 2 h = 4 πr2h = 4.24 π

Bài 9: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45º. Thể tích của khối trụ là?

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi M, N lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
Khi đó : OM ⊥ AB ; O’N ⊥ DC
Giả sử I là giao điểm của MN và OO ’
Ta có :

Khi đó :

⇒ Góc giữa ( ABCD ) và đáy là ∠ ( IMO ) = 45 º
Đặt R = OA, h = OO ’ .
∆ IOM vuông tại O có ∠ ( IMO ) = 45 º nên ∆ IOM vuông cân tại O

Xét ∆ AMO vuông tại M có :

Thể tích của khối trụ là :

Bài 10: Một hình trụ có chu vi của đường tròn đáy là c, chiều cao của hình trụ gấp 4 lần chu vi đáy. Thể tích của khối trụ này là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Chu vi của đường tròn đáy là c :

Chiều cao của hình trụ gấp 4 lần chu vi đáy : h = 4 c

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

hinh-tru.jsp