Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

B. Ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng
  d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

  A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

  Lời giải

  + Phương trình đường thẳng BC :

  

  ⇒ Phương trình BC : 3 ( x – 1 ) + 1 ( y + 2 ) = 0 hay 3 x + y – 1 = 0 .

  + ta có; BC =  = √10

  + Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC :

  Ta có:  ⇒ d // BC.

  Mà điểm A thuộc d nên d ( A ; BC ) = d ( d ; BC ). ( 1 )
  + Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC .
  Lấy điểm O ( 0 ; 0 ) thuộc d .

  ⇒ d(d; BC) = d(O;BC) =  =  ( 2)

  Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra d ( A ; BC ) = .

  + Diện tích tam giác ABC là S =  d( A,BC).BC =  . .√10 = 0, 5

  Chọn C.

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y – 3 = 0 và ∆:  .

A.     B. 15    C. 9    D. 

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát :

∆: 

⇒ Phương trình ∆ : 7 ( x + 2 ) + 1 ( y – 2 ) = 0 hay 7 x + y + 12 = 0

Ta có:  nên d // ∆

⇒ d(d;Δ) = d(A;d) = 

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x – 4y + 8 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0.    B. 3x – 4y – 8 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0.

C. 3x – 4y – 8 = 0 hoặc 3x – 4y – 12 = 0.    D. 3x – 4y + 8 = 0 hoặc 3x – 4y – 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔  = 2

|3x – 4y + 2| = 10 ⇒ 

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :
3 x – 4 y + 12 = 0 và 3 x – 4 y – 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y – 3 = 0 và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d1; d2 là:

A. 5x + 3y – 2 = 0    B. 5x + 3y + 4 = 0    C. 5x + 3y + 2 = 0    D. 5x + 3y – 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x ; y ) thuộc đường thẳng d. Suy ra :

d(M(x; y); d1)=d(M(x; y); d2) ⇔ 

⇔ 

Đường thẳng d : 5 x + 3 y + 2 song song với hai đường thẳng d1 và d2 .
Vậy đường thẳng d thỏa mãn nhu cầu là : 5 x + 3 y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d:  và đường thẳng ∆:  . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1    B. 0.    C. 2    D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình d : 3 ( x – 2 ) – 2 ( y + 1 ) = 0 hay 3 x – 2 y – 8 = 0

+ Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆ : 3 ( x – 0 ) – 2 ( y + 4 ) = 0 hay 3 x – 2 y – 8 = 0
⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0 .

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và đường thẳng ∆:  . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y – 1 = 0    B. x + y + 1= 0    C. x + y – 3 = 0    D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d ’ / / d nên đường thẳng d có dạng ( d ’ ) : x + y + c = 0 ( c ≠ – 2 )

+ Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆ : 1 ( x + 2 ) + 1 ( y – 3 ) = 0 hay x + y – 1 = 0 .
+ Lấy điểm M ( 1 ; 0 ) thuộc ∆ .
Để khoảng cách hai đường thẳng d ’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi :
d ( d ’ ; ∆ ) = d ( M ; d ’ ) = 2

⇔  = √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn nhu cầu là : x + y + 1 = 0 và x + y – 3 = 0

Chọn D.