Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và phương pháp tính

Byadnhacly

Th3 19, 2022

Bài viết khoảng cách giữa 2 đường thẳng bao gồm: công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian…

Nội dung chính

1 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy
- 1.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1
- 1.2 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2
2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz
3 Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
- 3.1 Share this:
- 3.2 Related

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy

Cho 2 đường thẳng chéo nhau:
d1 đi qua A có 1 VTCP $\overrightarrow{u_1}$

d2 đi qua B có 1 VTCP $\overrightarrow{u_2}$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1

đi qua B có 1 VTCP

Bạn đang đọc: Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và phương pháp tính

$d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{d_1}} } \right]} \right|}}\[\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|$

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2

$d({d_1},{d_2}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{d_1}} ,\overrightarrow {{d_2}} } \right]\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{d_1}} ,\overrightarrow {{d_2}} } \right]} \right|}}$

Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{4},\,{d_2}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 18}}{4}$ . Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Ta thuận tiện kiểm tra được d1 và d2 là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kể thuộc d1, và tính khoảng cách từ điểm đó đến d2 .

Gọi $M( - 7;5;9) \in {d_1}$ , $H(0; - 4; - 18) \in {d_2}$ .

Ta có :

$\overrightarrow {MH} = \left( {7; - 9; - 27} \right)$

$VTCP\,{d_2}:\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {3; - 1;4} \right)\,$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MH} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = ( - 63; - 109;20)$

Vậy: $d({d_1};{d_2}) = d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right|}} = 25$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz

Cách 1:
$\Delta _1$ đi qua M1. có 1 VTCP
$\Delta _2$ đi qua M2. có 1 VTCP
$d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Cách 2:
AB là đoạn vuông góc chung ,
$A\in \Delta _1, B\in \Delta _2$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.$
$d(\Delta _1;\Delta _2)=AB$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Ví dụ:

Cho $(d_1)\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-3+3t \end{matrix}\right.(d_2)\left\{\begin{matrix} x=2+u\\ y=-3+2u\\ z=1+3u \end{matrix}\right.$
a) CMR: d1, d2 chéo nhau
b) Tính d(d1;d2)

Lời giải:
a)
d1 đi qua M1(1;2;-3), có 1 VTCP $\overrightarrow{u_1}=(2;1;3)$
d2 đi qua M2(2;-3;1), có 1 VTCP $\overrightarrow{u_2}=(1;2;3)$
$\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 1 \ \ 3\\ 2 \ \ 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 \ \ 2\\ 3 \ \ 1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2 \ \ 1\\ 1 \ \ 2 \end{vmatrix} \right )\\=(-3;-3;3)$
$\overrightarrow{M_1M_2}=(1;-5;4)$
$\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ].\overrightarrow{M_1M_2}= -3.1+(-3)(-5)+3.4\\=24\neq 0$
Vậy d1, d2 chéo nhau
b)
Cách 1:
$d(d_1;d_2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}.\overrightarrow{M_1M_2 }] \right |}{\left | \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right |}\\= \frac{24}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+3^2}}=\frac{24}{3\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
Cách 2:
$A(1+2t;2+t;-3+3t)\in d_1$
$B(2+u;-3+2u;1+3u)\in d_2$
AB là đoạn vuông góc chung
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t\\ u \end{matrix}\right.$
AB = d(d1;d2)

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó $d\left( {a,b} \right) = MN$ . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó $d(\Delta ,\Delta ') = d(\Delta ',(\alpha ))$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Xem thêm: Các dạng hình tam giác trong Toán học – Babelgraph

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I.
Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ $IJ \bot \Delta '$ .

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = IJ$ .

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆.
Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm $M \in \Delta$ dựng đoạn $MN \bot \left( \alpha \right)$ , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆.
Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta '$ , dựng $HK\parallel MN$

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = HK = MN$ .

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Hoặc

Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha ) \bot \Delta$ tại I.
Bước 2: Tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α).
Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng $IJ \bot d$ , từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng $HM\parallel IJ$ .

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = HM = IJ$ .
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right.$
b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ thì $OH = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ .
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!