Chuyên đề Toán:Đa thức bậc hai 2 biến… – Tài liệu text

Byadnhacly

Th3 21, 2022

Chuyên đề Toán:Đa thức bậc hai 2 biến…

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (159.73 KB, 9 trang )

Bạn đang đọc: Chuyên đề Toán:Đa thức bậc hai 2 biến… – Tài liệu text

Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh
Chuyên đề:
Một số dạng toán về đa thức bậc hai hai biến
Và các bài toán liên quan .
A- Đặt vấn đề:
– Trong các kỳ thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào các trờng chuyên, lớp chọn
chúng ta thờng gặp các dạng toán về đa thức bậc hai hai biến .
Qua tìm hiểu tôi thấy số lợng HS làm đợc các dạng bài tập này không nhiều, một số làm
đợc nhng lập luận không chặt chẻ và thờng gặp phải một số sai sót đáng tiếc.
Vì lẻ đó, là một GV dạy toán đợc giao nhiệm vụ bồi dỡng đội tuyển HSG lớp 8- Lớp cận
kề để chuẩn bị cho các em bớc vào nhiều kỳ thi quan trọng- tôi đã học hỏi, tích lũy nhiều
điều và trong đó phân dạng các bài tập để từ đó xây dựng phơng pháp giải cho từng dạng.
Trong bài viết này tôi muốn chia sẻ cùng đồng nghiệp: Một số dạng toán về đa thức
bậc hai hai biến và các bài toán liên quan mà ta thờng gặp trong các kỳ thi tuyển sinh
vào lớp 10, vào trờng chuyên lớp chọn.
B- Nội dung:
Xét đa thức bậc hai hai biến dạng tổng quát: f(x;y) = ax
2
+ by
2
+ cxy + dx + ey + h ta
thờng gặp một số dạng sau đây.
– Dạng 1: Tìm GTLN, tìm GTNN của f(x;y) hoặc tìm cực trị của một biểu thức
nàođó có giá trị liên quan đến đa thức f(x;y).
– Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên của đa thức f(x;y).
– Dạng 3: Giải hệ phơng trình trong đó một hoặc 2 phơng trình của hệ là đa thức
f(x;y).
– Dạng 4: Biến đổi đồng nhất biểu thức.
Để giải quyết đợc các dạng trên ta cần cho HS nắm vững các hằng đẳng thức:
( a + b + c)
2

= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2( ab + bc + ac); ( a + b – c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2( ab + bc – ac)
– Sau đây xin đi vào từng ví dụ cụ thể và phơng pháp giải một số dạng đã nêu:
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN:
Phơng pháp giải:
Cách1:
Đối với dạng này ta thờng biến đổi đa thức f(x;y) thành tổng các số không âm hoặc tổng
các số không dơng và một hằng số, tức là:
f(x;y) = [g(x;y)]
2
+ k hoặc f(x;y) = – [g(x;y)]
2
+ m.
Cách2:
Sử dụng tính chất có nghiệm của tam thức bậc 2 để đánh giá ẩn
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x
2

+ y
2
+xy – 6x – 6y + 2011
Giải
Biến đổi A = x
2
+ 2x
2
y
+
2
4
y
– 2x
2
3 3 9 3 3 3
2 2008
2 2 2 4 4 2 4
y y y
+ + + +
= (
3
2 2
y
x +
)
2
+
3
4

( y- 1)
2
+ 2008

2008
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh
Vì (
3
2 2
y
x +
)
2

0 ;
3
4
( y- 1)
2

0. Dấu = xảy ra

3
0
2 2
1 0
y
x

+ =

1
1
x
y
=

Vậy minA = 2008

x= y= 1
Lu ý: Trong bài toán trên, HS có thể găp sai sót nh sau:
Biến đổi 2A = 2x
2
+2y
2
+2xy 6x 6y +4022
= ( x
2

+ 2xy +y
2
) + ( x
2
– 6x + 9) + ( y
2
-6x + 9) + 4004
= ( x + y)
2
+ ( x – 3)
2
+ ( y – 3)
2
+ 4004

4004 (1)
Tuy nhiên dấu = ở (1) không xảy ra vì ( x + y)
2
+ ( x – 3)
2
+ ( y – 3)
2

0
Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = – x
2
+ 2xy – 4y
2

+ 2x + 10y – 3
Giải
B = – ( x
2
– 2xy + y
2
– 2x + 2y +1) -3(y
2
– 4y +4) +10
= – (x y- 1)
2
– 3(y- 2)
2
+ 10

10
Vì – (x y- 1)
2

0 ; – 3(y- 2)
2

0, nên dấu = xảy ra

1 0
2 0
x y
y

3
2
x
y
=

Vậy MaxB = 10

3
2
x
y
=

Chú ý: Ta củng có thể xét biểu thức: – B = x
2
– 2xy + 4y
2

– 2x – 10y + 3
= (x – y- 1)
2
+3(y- 2)
2
– 10

– 10
10B

Trên cơ sở đó bằng cách vụ tỷ hóa ta củng có thể làm đợc bài tập sau :
BT:Tìm Min A = x +5y – 4
2 3 5xy x y +
B = x +2y –
4 2 10xy x y+
Ví dụ 3: (Đề thi TS vào lớp 10 năm học 2008 – 2009. Tỉnh Hà Tĩnh)
Cho các số thực x, y thõa mãn x
2
+ 2y
2
+ 2xy + 8( x + y) +7 =0 (2)
Tìm min, Max của S = x + y
Giải
Cách 1: Ta tìm cách biến đổi giả thiết (2) làm xuất hiện tổng x+ y.
Từ (2)

(x +y)
2
+ 2(x+y).4 +16 +y
2

(x +y + 4)
2
+y
2
= 9 (*)
Vì y
2

0 nên dấu = ở (*) xảy ra

(x +y + 4)
2

-3

x+ y+ 4

-7

x+ y

-1
Vậy Max S = -1

4 3
0
x y
y
+ + =

1
0
x
y
=

min S = -7
4 3 7
0 0
x y x
y y
+ + = =

= =

Cách 2: Ta có thể giải theo điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2:
Từ S= x+y=> y=S-x thay vào biểu thức ta có: (2) <=> x
2
-2Sx +2S
2
+8S +7 =0
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh
Phơng trình bậc hai đối với ẩn x có nghiệm

0 <=> -S
2
-8S -7

0 <=> (S+7)(S+1)

0 <=> -7

-1. Vậy Max S = -1 <=>
1 1

0
x y x
x S y
+ = =

<=>

= =

Min S= -7 <=>
7 7
0
x y x
x S y
+ = =

<=>

= =

Ví dụ 4 ( Đề thi TS lớp 10- Tỉnh Hà tĩnh- năm học 2010 -2011)
Tìm x để y lớn nhất thõa mãn: x
2
+ 2y
2
+ 2xy – 8x – 6y +13 = 0 (3)
Giải
Từ (3)

x
2
+ 2xy + y
2
– 2.x.4 -2y.4 +16 + y
2
+ 2y + 1 = 4

( x +y – 4)
2
+( y +1)
2
= 4
Vì ( x +y – 4)
2

0 nên dấu = ở (3) xảy ra

( y + 1)
2

– 2

y+ 1

-3

1
1y
, dấu = xảy ra

4 0
1
x y
y
+ =

3
1
x
y
=

Vậy Max(y) = 1

x =3
Ví dụ 5 🙁 Đề thi TS lớp 10- ĐHQG Hà nội – năm học 04-05)
Tìm căp số ( x; y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x
2
+ 5y
2
+2y – 4xy -3 = 0
Cách1:
x
2
+ 5y
2
+2y – 4xy – 3 = 0

( x
2
– 4xy + 4y
2
) +

(y
2
+ 2y +1) = 4

( x 2y)
2
+ ( y +1)
2

= 4 (*)
Vì ( x -2y)
2

0 nên dấu = ở (*) xảy ra

( y + 1)
2

– 2

y+ 1

-3

1
3 y
, dấu = xảy ra

2 0 6
3 3
x y x

y y
= =

= =

Cách2:
x
2
+ 5y
2
+2y – 4xy – 3 = 0

x
2
– 4xy + (5y
2
+2y – 3) = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
Phơng trình có nghiệm

4y
2
– ( 5y
2

+ 2y 3)

( 1-y)(y+3)

0 <=>
-3

1
Lập luận nh trên ta có ( x;y) = ( 6; -3)
Bài tập tự luyện:
1) Tìm Max P = -x
2
-y
2
+ xy + 2x + 2y + 5
2) Tìm min P = 2x
2
+ 4y
2
+ 4xy + 2x + 4y + 9
3) Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: x
2
+ 5y
2
– 4xy + 2y – 3 = 0
4) Cho các số thực (x;y) thỏa mãn: x

2
+ 2y
2
+ 2xy + 6x + 8y + 4 = 0
Tìm min, Max của S = x + y +2010
5) Cho x + y + z =3. Tìm Max D = xy + 2yz + 3xz
6) Cho các số thực (x;y; z) thỏa mãn: x + y +2z = 3.
Tìm min P = 2x
2
+ 2y
2
– z
2
7) Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: x+y+z = 1.
Tìm Max P = ( x+2y+3z)(6x+3y+2z)
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh
Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên của đa thức f(x;y)
Tìm nghiệm nguyên của đa thức f(x;y)= ax
2
+ by
2
+ cxy + dx + ey + h
ĐK: a
2
+ b
2

Phơng pháp giải:
+) C
1
: Có thể biến đổi đa thức f(x;y) thành tổng bình phơng của các biểu thức.
+) C
2
: Đa về phơng trình ớc số.
+) C
3
: Tách f(x;y) thành phần nguyên.
+) C
4
: Giải điều kiện

của phơng trình bậc2 đối với ẩn x hoặc y
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của đa thức: 5x
2
+ 5y
2
+ 8xy – 2x + 2y + 2 = 0 (1)
Giải
Cách 1: Từ (1)

25x
2
+ 25y
2
+ 40xy – 10x + 10y + 10 = 0

(5x)
2
+2.5x.4y +(4y)
2
– 2.4y.1 + 1 +9y
2
+18y + 9 = 0

( 5x + 4y 1)
2
+ 9( y + 1)
2
= 0

5 4 1 0 1
1 0 1
x y x
y y
+ = =

+ = =

thử lại ta có x = 1; y = 1
Cách 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2
Từ (1)

2
+ 2( 4y – 1)x + 5y
2
+ 2y + 2 = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
,

= 16y
2
8y +1- 25y
2
-10y -10
= – 9y
2
-18y – 9 = – 9( y -1)
2

0
(1) có nghiệm

= 0

y = 1 từ đó suy ra x = 1. Thử lại ta có (x;y) = ( 1;1).
Ví dụ 2: Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mãn: 3x
2
+ 4y
2
+ 6x +4 y – 5 = 0 (2)
Giải

Cách1: (2)

3( x + 1)
2
+( 2y +1)
2
= 9 (*)
Do 3(x + 1)
2

0 nên dấu = ở (*) xảy ra

(2y + 1)
2

– 3

2y+ 1

-2

1
Vì y

Z nên y ={-2; -1; 0; 1}suy ra (x;y) =(-1; -2); (-1; 1)
Cách2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2 ( Đối với HS lớp 9)
3x
2
+ 4y
2
+ 6x +4 y – 5 = 0

3x
2
+ 6x + (4y
2
+4 y -5) = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)

= 9 – 12y
2
– 12y + 15
= – 12( y
2
+ y -2)
= -12(y-1)( y +2)
Để pt trên có nghiệm thì
,

-2

1
Vì y

Z nên y ={-2; -1; 0; 1}
Thay y vào để tính x và thử lại ta có (x;y) =(-1; -2); (-1; 1)
Theo cách đó ta có thể giải bài toán sau đây
Ví dụ3 ( Đề TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07-08)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
– xy +y
2
= 2x – 3y -2 (3)
Giải
(3)

x
2
– ( y +2)x + y
2
+ 3y +2 = 0 ( pt bậc 2 ẩn x)
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh

= ( y +2)
2
– 4y
2
– 12y -8
= y
2
+4y +4 -4y
2
-12y -8 = – ( 3y
2
+ 8y + 4) = – ( y +2)( 2y + 2)
Để pt trên có nghiệm thì

– ( y +2)( 3y + 2)

– 2

2
3

Vì y

Z nên y ={-2; -1} từ đó ta tính đợc cặp (x;y) = (0;-1); ( 1; -1) ; ( 0; -2)
Ví dụ 4: ( Đề thi TS lớp 10-Chuyên Toán ĐH Vinh)
Tìm các số x, y thỏa mãn : xy + 2x + y +1

4x
2
+ y
2
(4)
Từ (4)

4x
2
+ y
2
– 2xy – 2x – y

(2x)
2
– 2.2x.
2
y
+
2
4
y

– 2.2x.
1
2
+ 2.
2
y
.
1
2
+
1
4
+
2
3 3
2
4 2 4
3
y
y
+

( 2x –
1
2 2
y

)
2
+

Xem thêm: #99 STT Anh Em, Cap về tình anh em trong xã hội chất nhất – Babelgraph

3
4
(y -1)
2

2 do ( 2x –
1
2 2
y

)
2

0 nên
3
4
(y -1)
2

(y -1)
2

8
3

8 8 8 8
1 1 1
3 3 3 3
y y +
do y

Z nên y ={ -1; 0; 1; 2}.
TH
1
: y =-1 ta có: (2x)
2
+ 3

2 ( không xảy ra)
TH2: y = 0 ta có ( 2x –
1
2
)
2
+
3
4

( 2x –
1

2
)
2

5
4

1
2
–
5
4

1
2
+
5
4
Do x

Z nên ( x; y) = ( 0 ; 0)
TH3: y = 1. Ta có: ( 2x -1)
2

–
2

2x – 1

1 2 1 2
2 2
x
+

Do x

Z nên cặp số ( x; y) = ( 0; 1) ; ( 1; 1).
TH4: y = 2 ( ta giải tơng tự)
Ví dụ 5: Tìm x, y

Z thỏa mãn: 4x
2
+ 2xy + 4x + y + 3 = 0 (5)
Từ (3)

y( 2x +1) + 4x
2

+4x +3 = 0 (*). Nhận thấy x = – 0,5 không phải là nghiệm
của (*) nên ta có: y =
( )
2
2
2
4 3
2
2 1
2 1 2 1 2 1
2 1
4
x
x
x x x
x
x

= =
+ + +
+

Do y

Z nên 2x +1

Ư(2). Vậy ta có:
2x + 1 =
1

2x + 1 =
2
. Từ đây suy ra ( x; y) = ( 0; -3) ; ( -1;3)
Ví dụ 6: Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mãn:
2y
2
x +x +y +1 = x
2
+ 2y
2
+ xy
Giải
2y
2
x +x +y +1 = x
2
+ 2y
2
+ xy

2y
2
( x-1) – y( x-1) – x( x- 1) +1 = 0 (6)
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh
Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của (6). Chia cả 2 vế của (6) cho (x-1) ta đợc:
2y
2
– y -x +
1

0
1x
=

(6.1) Do y

Z nên x – 1

{ -1; 1} suy ra x = 0 hoặc x = 2. Thay x
vào (6.1) và thử lại ta đợc (x;y) = ( 2 ;1) ; (0;1)
Từ các bài toán trên, nâng lên ta củng có thể giảI bài toán sau:
Ví dụ 7: Tìm x, y, z nguyên dơng thỏa mãn:
2 3x y z+ = +

x +
2 3
= y + z +
2 yz

[ x -( y +z)]
2
+
4 3
[ x -( y +z)] + 12 = 4yz (1)
Nếu x

y + z (2) thì ta có:
Từ (1)

=
( )
( )
2
12 4
4
yz
x y z
x y z
+
+

nên
3
là số hữu tỷ ( vô lý)
Nếu x = y + z. Từ (1)

yz = 3

y =1; z = 3 hoặc y =3; z = 1
Vì vậy từ (2) ta suy ra x = 4
Thử lại ta thấy ( x; y; z ) = (4; 3; 1) ; ( 4; 1; 3)
*) Bài tập tự luyện:
Tìm cặp số (x, y ) nguyên thỏa mãn:
1) x
2
+ y
2

+ xy – 2x – y = 0
2) x
2
+ 2y
2
– 2xy + 3x – 3y + 2 = 0
3) x
2
+ 2y
2
+ 2xy – 3y – 4 = 0
4) 2x
2
+ y
2
– 2xy + y = 0
5) 10x
2
+ 20y
2
+ 24xy + 8x – 24y + 51

0
Dạng 3: Giải hệ ph ơng trình:
Phơng pháp giải: Biến đổi biểu thức ax
2
+ by
2
+ cxy + dx + ey + h thành tổng hoặc tích
các đa thức. Kết hợp với phơng trình thứ 2 của hệ để giải.

Ví dụ1: Giải hệ phơng trình:
( I)
( )
2
2
2
2
2 11 3 0 1
5(2)
6
xy x y
y
x
y
x

+ =

Giải.
Nhân 2 vế của (1) với 4, biến đổi ta đợc:
4x
2
– 4xy + y
2
– 2.2x.2 + 2y.2 + 4- 25y
2

+ 40y – 16 = 0

( 2x y 2)
2
(5y 4)
2
= 0

( 2x -6y +2) ( 2x + 4y -6) = 0

2 6 2 0
2 4 6 0
x y
x y
+ =

+ =

Khi đó (I)

2
2
2
2
3 1 0
0
2 3 0
5
x y

x y
y
x
y
x

+ =

Từ đây thế x vào y, ta giải đợc
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh

Ví dụ2: Giải hệ phơng trình:km

+=+
=+
y
x
y
x
yx
2
2
3
3
1

( )

++
=+
y
x
y
x
xyyx
yx
2
2
2
2
1

1 0
0 1
x y x
xy y
+ = =

= =

hoặc

1
0
x
y
=

Ví dụ3: Giải hệ phơng trình:
2
2
2
3 1
1
6
xy x y
x
y
x

+ =

)

(
)
(
2
2
3 1 2 1 0
1
x x y
y
x

+ =

2
2
2
2
3 1
( )
1
2 1
( )
1
x
I

y x
II
y
x
y
x
=

+ =

= +

+ =

Giải hệ (I) và (II) ta đợc nghiệm ( x;y) :
( )
1 2 2 4 3 1 2 2
;, 0;1, ;, ;
3 3 5 5 3 3

ữ ữ
ữ
ữ ữ

Ví dụ4: Giải phơng trình
xxx
xxx
222
2291046
53
+=+++
(4)
(4)

( ) ( ) ( )
111
222
34513

=+++
xxx
Nhận xét: ( x- 1)
2

0 với mọi x nên VT

3; VP

3. Dấu = xảy ra

x-1 = 0

x = 1
Ví dụ5: Giải phơng trình:
01044122 =+++ xxx
(5) ĐK:
1x
(5)

( ) ( )
( ) ( )
0044441121
2411
22
=+=+++++++
++
xx
xxxx
Ta thấy x = 0 là nghiệm của pt (5)
Bài tập tự luyện:
Giảiphơng trình và hệ phơng trình:
1)

=
=++
5463
1242
2
2
2
2
2
yx
yx
y
x
y
x
2)
2
2
2
2
2 3xy x y
y
x
x

+ =

+ + = +

3)
( ) ( )
2
2
1 1 2
4
x x y y y
y x y
x

+ +

+ + + + =

+ =
4)
2
2
(1)
2 1 2 2 (2)
2
xy x y
x y y x x y
y
x

+ + =

( x,y

R)
5)
86930269
945
222
+=+++
xxx
xxx

6)
11236
2
+=+ xx
x
Dạng 4: Biến đổi đồng nhất biểu thức
Ví dụ1:
Cho x+y+z =xyz ;
1 1 1
2
x y z
+ + =
Tính P =
2 2 2

1 1 1
x y z
+ +
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh
Giải
Từ x+y+z =xyz

1 1 1
xy xz yz

+ +
ữ

= 1
Từ
1 1 1
2
x y z
+ + =

2
1 1 1
x y z

+ +
ữ

= 4

2 2 2
1 1 1
x y z
+ +
+ 2
1 1 1
xy xz yz

+ +
ữ

= 4

2 2 2
1 1 1
x y z
+ +
+2 =4
Vậy P = 4 -2 = 2
Ví dụ2
Cho
1 1 1 1
x y z xyz
+ + =
Chứng minh
2011 2011 2011

1 1 1
x y z
+ +
=
2011
2011 2011
1
y
x z
+ +
=
( )
2011
1
x y z+ +
Từ giả thiết

(
1 1
x y
+
) + (
1 1
z x y z

+ +
) = 0

( )

x y x y
xy z x y z
+ +
+
+ +
= 0

( x +y )[z(x +y + z) + xy] = 0

( x +y )
( )
2
xz yz xy
z
+ + +
= 0

( x+y) (y+z) ( x+z) = 0

0
0
0
x y
y z
x z
+ =

+ =

x y
y z
z x
=

Từ đây ta có điều phải chứng minh
Ví dụ3:
Cho
x y z x y z+ = +
(với x; y; z không âm)
Chứng minh:
2010 2010
2010 2010
x y z x y z+ = +
Từ GT

x y x y z z+ = + +
Bình phơng 2 vế ta đợc:
x+y +2

xy
= x + y z +z +2
( )
z x y z+

xy
=
( )
z x y z+

xy = xz +yz –
2
z

( x z)(y z) =0

x =z hoặc y = z. Từ đây ta có điều cần phải chứng minh
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn:
2
2
2
2
2
x y z
y
x
z

+ + =

Tính S = z
)
1
11
2
2
2
+

++
z
y
x
+y
( )

( )
1
11
2
2
2
+
++
y
z
x
+x
( )
1
11
2
2
2
+
+

+
x
z
y

Xem thêm: 75+ STT Bầu Trời, Cap hay về bầu trời xanh mây trắng – Babelgraph

Giải
Từ giả thiết x+y+z = 2

x
2
+y
2
+z
2
+2( xy+xz+yz) = 4

xy +xz + yz = 1

x
2
+1 = x
2
+xy+xz +yz = (x +y)( x+z)
y
2
+ 1 = y
2
+ xy+xz +yz = (x +y)( y+z)
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
Trng THCS Huy Nam Yờn- Cm Xuyờn H Tnh
z
2
+ 1= y
2
+ xy+xz +yz = (x +z)( y+z)

S = z
( )
yx+
2
+ y
( )
zx+
2
+ x
( )
zy+
2
= z (x+y) + y(x+z) + x (y+z)
= 2(xy +xz + yz ) = 2
Bài 1 Cho các số dơng thỏa mãn
2=++ zyx
và x+y+z = 2.
Tính P =
( )( )( )

+
+
+++
z
z
y
y
x
x
zyx
111
111
C-Kết luận:
Dạy học toán trong trờng phổ thông là hoạt động toán học mà đối tợng nghiên cứu là các
bài toán trên cơ sở những khái niệm, định nghĩa, địnhlý,của toán học. Chính vì vậy ngoài
việc giúp HS lỉnh hội tri thức toán học để phục vụ cho việc học toán trớc ắt cũng nhứau
này, thì việc rèn luyện các kỷ năng, các phơng pháp giải toán, phơng pháp t duy sáng tạo
là vô cùng quan trọng và cần thiết.
Ngời báo cáo : Hoàng Bá Thông
= a + b + c + 2 ( ab + bc + ac ) ; ( a + b – c ) = a + b + c + 2 ( ab + bc – ac ) – Sau đây xin đi vào từng ví dụ đơn cử và phơng pháp giải 1 số ít dạng đã nêu : Dạng 1 : Tìm GTLN, GTNN : Phơng pháp giải : Cách1 : Đối với dạng này ta thờng đổi khác đa thức f ( x ; y ) thành tổng những số không âm hoặc tổngcác số không dơng và một hằng số, tức là : f ( x ; y ) = [ g ( x ; y ) ] + k hoặc f ( x ; y ) = – [ g ( x ; y ) ] + m. Cách2 : Sử dụng đặc thù có nghiệm của tam thức bậc 2 để nhìn nhận ẩnVí dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức A = x + y + xy – 6 x – 6 y + 2011G iảiBiến đổi A = x + 2 x – 2×3 3 9 3 3 32 20082 2 2 4 4 2 4 y y y + + + + = ( 2 2 x + ( y – 1 ) + 20082008N gời báo cáo giải trình : Hoàng Bá ThôngTrng THCS Huy Nam Yờn – Cm Xuyờn H TnhVì ( 2 2 x + 0 ; ( y – 1 ) 0. Dấu = xảy ra2 21 0 + = Vậy minA = 2008 x = y = 1L u ý : Trong bài toán trên, HS hoàn toàn có thể găp sai sót nh sau : Biến đổi 2A = 2 x + 2 y + 2 xy 6 x 6 y + 4022 = ( x + 2 xy + y ) + ( x – 6 x + 9 ) + ( y-6x + 9 ) + 4004 = ( x + y ) + ( x – 3 ) + ( y – 3 ) + 40044004 ( 1 ) Tuy nhiên dấu = ở ( 1 ) không xảy ra vì ( x + y ) + ( x – 3 ) + ( y – 3 ) Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = – x + 2 xy – 4 y + 2 x + 10 y – 3G iảiB = – ( x – 2 xy + y – 2 x + 2 y + 1 ) – 3 ( y – 4 y + 4 ) + 10 = – ( x y – 1 ) – 3 ( y – 2 ) + 1010V ì – ( x y – 1 ) 0 ; – 3 ( y – 2 ) 0, nên dấu = xảy ra1 02 0 x yVậy MaxB = 10C hú ý : Ta củng hoàn toàn có thể xét biểu thức : – B = x – 2 xy + 4 y – 2 x – 10 y + 3 = ( x – y – 1 ) + 3 ( y – 2 ) – 10 – 1010BT rên cơ sở đó bằng cách vụ tỷ hóa ta củng hoàn toàn có thể làm đợc bài tập sau : BT : Tìm Min A = x + 5 y – 42 3 5 xy x y + B = x + 2 y – 4 2 10 xy x y + Ví dụ 3 : ( Đề thi tiến sỹ vào lớp 10 năm học 2008 – 2009. Tỉnh thành phố Hà Tĩnh ) Cho những số thực x, y thõa mãn x + 2 y + 2 xy + 8 ( x + y ) + 7 = 0 ( 2 ) Tìm min, Max của S = x + yGiảiCách 1 : Ta tìm cách biến hóa giả thiết ( 2 ) làm Open tổng x + y. Từ ( 2 ) ( x + y ) + 2 ( x + y ). 4 + 16 + y = 9 ( x + y + 4 ) + y = 9 ( * ) Vì y0 nên dấu = ở ( * ) xảy ra ( x + y + 4 ) – 3 x + y + 4-7 x + y-1Vậy Max S = – 14 3 x y + + = min S = – 74 3 70 0 x y xy y + + = = = = Cách 2 : Ta hoàn toàn có thể giải theo điều kiện kèm theo có nghiệm của phơng trình bậc 2 : Từ S = x + y => y = S-x thay vào biểu thức ta có : ( 2 ) < => x-2Sx + 2S + 8S + 7 = 0N gời báo cáo giải trình : Hoàng Bá ThôngTrng THCS Huy Nam Yờn – Cm Xuyờn H TnhPhơng trình bậc hai so với ẩn x có nghiệm0 < => – S-8S – 70 < => ( S + 7 ) ( S + 1 ) 0 < => – 7-1. Vậy Max S = – 1 < => 1 1 x y xx S y + = = < => = = Min S = – 7 < => 7 7 x y xx S y + = = < => = = Ví dụ 4 ( Đề thi tiến sỹ lớp 10 – Tỉnh Hà tĩnh – năm học 2010 – 2011 ) Tìm x để y lớn nhất thõa mãn : x + 2 y + 2 xy – 8 x – 6 y + 13 = 0 ( 3 ) GiảiTừ ( 3 ) + 2 xy + y – 2. x. 4 – 2 y. 4 + 16 + y + 2 y + 1 = 4 ( x + y – 4 ) + ( y + 1 ) = 4V ì ( x + y – 4 ) 0 nên dấu = ở ( 3 ) xảy ra ( y + 1 ) – 2 y + 1-31 y, dấu = xảy ra4 0 x y + = Vậy Max ( y ) = 1 x = 3V í dụ 5 : ( Đề thi tiến sỹ lớp 10 – ĐHQG Hà nội – năm học 04-05 ) Tìm căp số ( x ; y ) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn nhu cầu : x + 5 y + 2 y – 4 xy – 3 = 0C ách1 : + 5 y + 2 y – 4 xy – 3 = 0 ( x – 4 xy + 4 y ) + ( y + 2 y + 1 ) = 4 ( x 2 y ) + ( y + 1 ) = 4 ( * ) Vì ( x – 2 y ) 0 nên dấu = ở ( * ) xảy ra ( y + 1 ) – 2 y + 1-33 y, dấu = xảy ra2 0 63 3 x y xy y = = = = Cách2 : + 5 y + 2 y – 4 xy – 3 = 0 – 4 xy + ( 5 y + 2 y – 3 ) = 0 ( pt bậc 2 ẩn x ) Phơng trình có nghiệm4y – ( 5 y + 2 y 3 ) ( 1 – y ) ( y + 3 ) 0 < => – 3L ập luận nh trên ta có ( x ; y ) = ( 6 ; – 3 ) Bài tập tự luyện : 1 ) Tìm Max P = – x-y + xy + 2 x + 2 y + 52 ) Tìm min P = 2 x + 4 y + 4 xy + 2 x + 4 y + 93 ) Tìm cặp số ( x ; y ) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn nhu cầu : x + 5 y – 4 xy + 2 y – 3 = 04 ) Cho những số thực ( x ; y ) thỏa mãn nhu cầu : x + 2 y + 2 xy + 6 x + 8 y + 4 = 0T ìm min, Max của S = x + y + 20105 ) Cho x + y + z = 3. Tìm Max D = xy + 2 yz + 3 xz6 ) Cho những số thực ( x ; y ; z ) thỏa mãn nhu cầu : x + y + 2 z = 3. Tìm min P = 2 x + 2 y – z7 ) Cho x, y, z là những số không âm thỏa mãn nhu cầu : x + y + z = 1. Tìm Max P = ( x + 2 y + 3 z ) ( 6 x + 3 y + 2 z ) Ngời báo cáo giải trình : Hoàng Bá ThôngTrng THCS Huy Nam Yờn – Cm Xuyờn H TnhDạng 2 : Tìm nghiệm nguyên của đa thức f ( x ; y ) Tìm nghiệm nguyên của đa thức f ( x ; y ) = ax + by + cxy + dx + ey + hĐK : a + bPhơng pháp giải : + ) C : Có thể đổi khác đa thức f ( x ; y ) thành tổng bình phơng của những biểu thức. + ) C : Đa về phơng trình ớc số. + ) C : Tách f ( x ; y ) thành phần nguyên. + ) C : Giải điều kiệncủa phơng trình bậc2 so với ẩn x hoặc yVí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của đa thức : 5 x + 5 y + 8 xy – 2 x + 2 y + 2 = 0 ( 1 ) GiảiCách 1 : Từ ( 1 ) 25 x + 25 y + 40 xy – 10 x + 10 y + 10 = 0 ( 5 x ) + 2.5 x. 4 y + ( 4 y ) – 2.4 y. 1 + 1 + 9 y + 18 y + 9 = 0 ( 5 x + 4 y 1 ) + 9 ( y + 1 ) = 05 4 1 0 11 0 1 x y xy y + = = + = = thử lại ta có x = 1 ; y = 1C ách 2 : Sử dụng điều kiện kèm theo có nghiệm của tam thức bậc 2T ừ ( 1 ) 5 x + 2 ( 4 y – 1 ) x + 5 y + 2 y + 2 = 0 ( pt bậc 2 ẩn x ) = 16 y8y + 1 – 25 y – 10 y – 10 = – 9 y – 18 y – 9 = – 9 ( y – 1 ) ( 1 ) có nghiệm = 0 y = 1 từ đó suy ra x = 1. Thử lại ta có ( x ; y ) = ( 1 ; 1 ). Ví dụ 2 : Tìm cặp số ( x, y ) nguyên thỏa mãn nhu cầu : 3 x + 4 y + 6 x + 4 y – 5 = 0 ( 2 ) GiảiCách1 : ( 2 ) 3 ( x + 1 ) + ( 2 y + 1 ) = 9 ( * ) Do 3 ( x + 1 ) 0 nên dấu = ở ( * ) xảy ra ( 2 y + 1 ) – 32 y + 1-2 Vì yZ nên y = { – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 } suy ra ( x ; y ) = ( – 1 ; – 2 ) ; ( – 1 ; 1 ) Cách2 : Sử dụng điều kiện kèm theo có nghiệm của tam thức bậc 2 ( Đối với HS lớp 9 ) 3 x + 4 y + 6 x + 4 y – 5 = 03 x + 6 x + ( 4 y + 4 y – 5 ) = 0 ( pt bậc 2 ẩn x ) = 9 – 12 y – 12 y + 15 = – 12 ( y + y – 2 ) = – 12 ( y-1 ) ( y + 2 ) Để pt trên có nghiệm thì-2Vì yZ nên y = { – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 } Thay y vào để tính x và thử lại ta có ( x ; y ) = ( – 1 ; – 2 ) ; ( – 1 ; 1 ) Theo cách đó ta hoàn toàn có thể giải bài toán sau đâyVí dụ3 ( Đề TS 10 Chuyên tỉnh Hà tĩnh 07-08 ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x – xy + y = 2 x – 3 y – 2 ( 3 ) Giải ( 3 ) – ( y + 2 ) x + y + 3 y + 2 = 0 ( pt bậc 2 ẩn x ) Ngời báo cáo giải trình : Hoàng Bá ThôngTrng THCS Huy Nam Yờn – Cm Xuyờn H Tnh = ( y + 2 ) – 4 y – 12 y – 8 = y + 4 y + 4 – 4 y – 12 y – 8 = – ( 3 y + 8 y + 4 ) = – ( y + 2 ) ( 2 y + 2 ) Để pt trên có nghiệm thì – ( y + 2 ) ( 3 y + 2 ) – 2V ì yZ nên y = { – 2 ; – 1 } từ đó ta tính đợc cặp ( x ; y ) = ( 0 ; – 1 ) ; ( 1 ; – 1 ) ; ( 0 ; – 2 ) Ví dụ 4 : ( Đề thi tiến sỹ lớp 10 – Chuyên Toán ĐH Vinh ) Tìm những số x, y thỏa mãn nhu cầu : xy + 2 x + y + 14 x + y ( 4 ) Từ ( 4 ) 4 x + y – 2 xy – 2 x – y ( 2 x ) – 2.2 x. – 2.2 x. + 2.3 34 2 4 ( 2 x – 2 2 ( y – 1 ) 2 do ( 2 x – 2 20 nên ( y – 1 ) ( y – 1 ) 8 8 8 81 1 13 3 3 3 y y + do yZ nên y = { – 1 ; 0 ; 1 ; 2 }. TH : y = – 1 ta có : ( 2 x ) + 32 ( không xảy ra ) TH2 : y = 0 ta có ( 2 x – ( 2 x – 2 xDo xZ nên ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) TH3 : y = 1. Ta có : ( 2 x – 1 ) 2 x – 11 2 1 22 2D o xZ nên cặp số ( x ; y ) = ( 0 ; 1 ) ; ( 1 ; 1 ). TH4 : y = 2 ( ta giải tơng tự ) Ví dụ 5 : Tìm x, yZ thỏa mãn nhu cầu : 4 x + 2 xy + 4 x + y + 3 = 0 ( 5 ) Từ ( 3 ) y ( 2 x + 1 ) + 4 x + 4 x + 3 = 0 ( * ). Nhận thấy x = – 0,5 không phải là nghiệmcủa ( * ) nên ta có : y = ( ) 4 32 12 1 2 1 2 12 1 x x x = = + + + Do yZ nên 2 x + 1 Ư ( 2 ). Vậy ta có : 2 x + 1 = 2 x + 1 =. Từ đây suy ra ( x ; y ) = ( 0 ; – 3 ) ; ( – 1 ; 3 ) Ví dụ 6 : Tìm cặp số ( x, y ) nguyên thỏa mãn nhu cầu : 2 yx + x + y + 1 = x + 2 y + xyGiải2yx + x + y + 1 = x + 2 y + xy2y ( x-1 ) – y ( x-1 ) – x ( x – 1 ) + 1 = 0 ( 6 ) Ngời báo cáo giải trình : Hoàng Bá ThôngTrng THCS Huy Nam Yờn – Cm Xuyờn H TnhNhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của ( 6 ). Chia cả 2 vế của ( 6 ) cho ( x-1 ) ta đợc : 2 y – y – x + 1 x ( 6.1 ) Do yZ nên x – 1 { – 1 ; 1 } suy ra x = 0 hoặc x = 2. Thay xvào ( 6.1 ) và thử lại ta đợc ( x ; y ) = ( 2 ; 1 ) ; ( 0 ; 1 ) Từ những bài toán trên, nâng lên ta củng hoàn toàn có thể giảI bài toán sau : Ví dụ 7 : Tìm x, y, z nguyên dơng thỏa mãn nhu cầu : 2 3 x y z + = + x + 2 3 = y + z + 2 yz [ x – ( y + z ) ] 4 3 [ x – ( y + z ) ] + 12 = 4 yz ( 1 ) Nếu xy + z ( 2 ) thì ta có : Từ ( 1 ) ( ) ( ) 12 4 yzx y zx y znênlà số hữu tỷ ( vô lý ) Nếu x = y + z. Từ ( 1 ) yz = 3 y = 1 ; z = 3 hoặc y = 3 ; z = 1V ì vậy từ ( 2 ) ta suy ra x = 4T hử lại ta thấy ( x ; y ; z ) = ( 4 ; 3 ; 1 ) ; ( 4 ; 1 ; 3 ) * ) Bài tập tự luyện : Tìm cặp số ( x, y ) nguyên thỏa mãn nhu cầu : 1 ) x + y + xy – 2 x – y = 02 ) x + 2 y – 2 xy + 3 x – 3 y + 2 = 03 ) x + 2 y + 2 xy – 3 y – 4 = 04 ) 2 x + y – 2 xy + y = 05 ) 10 x + 20 y + 24 xy + 8 x – 24 y + 51D ạng 3 : Giải hệ ph ơng trình : Phơng pháp giải : Biến đổi biểu thức ax + by + cxy + dx + ey + h thành tổng hoặc tíchcác đa thức. Kết hợp với phơng trình thứ 2 của hệ để giải. Ví dụ1 : Giải hệ phơng trình : ( I ) ( ) 2 11 3 0 15 ( 2 ) xy x y + = + = Giải. Nhân 2 vế của ( 1 ) với 4, đổi khác ta đợc : 4 x – 4 xy + y – 2.2 x. 2 + 2 y. 2 + 4 – 25 y + 40 y – 16 = 0 ( 2 x y 2 ) ( 5 y 4 ) = 0 ( 2 x – 6 y + 2 ) ( 2 x + 4 y – 6 ) = 02 6 2 02 4 6 0 x yx y + = + = Khi đó ( I ) 3 1 02 3 0 x yx y + = + = + = + = Từ đây thế x vào y, ta giải đợcNgời báo cáo giải trình : Hoàng Bá ThôngTrng THCS Huy Nam Yờn – Cm Xuyờn H TnhVí dụ2 : Giải hệ phơng trình : km + = + = + yx ( ) + = + + = + xyyxyx1 00 1 x y xxy y + = = = = hoặcVí dụ3 : Giải hệ phơng trình : 3 1 xy x y + = + = 3 1 2 1 0 x x y + = + = 3 1 ( ) 2 1 ( ) y xII + = = + + = Giải hệ ( I ) và ( II ) ta đợc nghiệm ( x ; y ) : ( ) 1 2 2 4 3 1 2 2 ;, 0 ; 1, ;, ; 3 3 5 5 3 3 ữ ữữ ữVí dụ4 : Giải phơng trìnhxxxxxx222229104653 + = + + + ( 4 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) 11122234513 = + + + xxxNhận xét : ( x – 1 ) 0 với mọi x nên VT3 ; VP3. Dấu = xảy rax-1 = 0 x = 1V í dụ5 : Giải phơng trình : 01044122 = + + + xxx ( 5 ) ĐK : 1 x ( 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0044441121241122 = + = + + + + + + + + + xxxxxxTa thấy x = 0 là nghiệm của pt ( 5 ) Bài tập tự luyện : Giảiphơng trình và hệ phơng trình : 1 ) = + + 54631242 yxyx2 ) 2 3 xy x y + = + + = + 3 ) ( ) ( ) 1 1 2 x x y y yy x y + + + + + + = + = 4 ) ( 1 ) 2 1 2 2 ( 2 ) xy x yx y y x x y + + = ( x, yR ) 5 ) 86930269945222 + = + + + xxxxxx6 ) 11236 + = + xxDạng 4 : Biến đổi giống hệt biểu thứcVí dụ1 : Cho x + y + z = xyz ; 1 1 1 x y z + + = Tính P = 2 2 21 1 1 x y z + + Ngời báo cáo giải trình : Hoàng Bá ThôngTrng THCS Huy Nam Yờn – Cm Xuyờn H TnhGiảiTừ x + y + z = xyz1 1 1 xy xz yz + + = 1T ừ1 1 1 x y z + + = 1 1 1 x y z + + = 42 2 21 1 1 x y z + + + 21 1 1 xy xz yz + + = 42 2 21 1 1 x y z + + + 2 = 4V ậy P = 4 – 2 = 2V í dụ2Cho1 1 1 1 x y z xyz + + = Chứng minh2011 2011 20111 1 1 x y z + + 20112011 2011 x z + + ( ) 2011 x y z + + Từ giả thiết1 1 x y ) + ( 1 1 z x y z + + ) = 0 ( ) x y x yxy z x y z + + + + = 0 ( x + y ) [ z ( x + y + z ) + xy ] = 0 ( x + y ) ( ) xz yz xy + + + = 0 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) = 0 x yy zx z + = + = + = x yy zz xTừ đây ta có điều phải chứng minhVí dụ3 : Chox y z x y z + = + ( với x ; y ; z không âm ) Chứng minh : 2010 20102010 2010 x y z x y z + = + Từ GTx y x y z z + = + + Bình phơng 2 vế ta đợc : x + y + 2 xy = x + y z + z + 2 ( ) z x y z + xy ( ) z x y z + xy = xz + yz – ( x z ) ( y z ) = 0 x = z hoặc y = z. Từ đây ta có điều cần phải chứng minhBài tập tự luyện : Bài 1 : Cho x, y, z là những số dơng thỏa mãn nhu cầu : x y z + + = + + = Tính S = z11 + + + y ( ) ( ) 11 + + + x ( ) 11G iảiTừ giả thiết x + y + z = 2 + y + z + 2 ( xy + xz + yz ) = 4 xy + xz + yz = 1 + 1 = x + xy + xz + yz = ( x + y ) ( x + z ) + 1 = y + xy + xz + yz = ( x + y ) ( y + z ) Ngời báo cáo giải trình : Hoàng Bá ThôngTrng THCS Huy Nam Yờn – Cm Xuyờn H Tnh + 1 = y + xy + xz + yz = ( x + z ) ( y + z ) S = z ( ) yx + + y ( ) zx + + x ( ) zy + = z ( x + y ) + y ( x + z ) + x ( y + z ) = 2 ( xy + xz + yz ) = 2B ài 1 Cho những số dơng thỏa mãn2 = + + zyxvà x + y + z = 2. Tính P = ( ) ( ) ( ) + + + + + zyx111111C-Kết luận : Dạy học toán trong trờng đại trà phổ thông là hoạt động giải trí toán học mà đối tợng nghiên cứu và điều tra là cácbài toán trên cơ sở những khái niệm, định nghĩa, địnhlý, của toán học. Chính thế cho nên ngoàiviệc giúp HS lỉnh hội tri thức toán học để ship hàng cho việc học toán trớc ắt cũng nhứaunày, thì việc rèn luyện những kỷ năng, những phơng pháp giải toán, phơng pháp t duy sáng tạolà vô cùng quan trọng và thiết yếu. Ngời báo cáo giải trình : Hoàng Bá Thông