Đường tròn đơn vị.

Vòng tròn đơn vị chức năng với một số ít góc đặc biệt quan trọng .

Trong toán học, đường tròn đơn vị hay vòng tròn đơn vị là đường tròn với bán kính là 1 đơn vị. Thông thường, đặc biệt là trong lượng giác, vòng tròn đơn vị là hình tròn có bán kính 1 với tâm tại gốc tọa độ (0,0) trong không gian 2 chiều. Nó thường được ký hiệu là S1.

Phương trình định nghĩa đường tròn đơn vị chức năng.

Có nhiều cách định nghĩa đường tròn đơn vị chức năng .

Trên mặt phẳng R2, đường tròn đơn vị có thể định nghĩa bằng một trong những phương trình sau:

x 2 + y 2 = 1 { \ displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 \ ; }

‖ r ‖ = 1 { \ displaystyle \ | \ mathbf { r } \ | = 1 \ ; }

{ x = c o s ( θ ) y = s i n ( θ ) { \ displaystyle { \ begin { cases } x = cos ( \ theta ) \ \ y = sin ( \ theta ) \ end { cases } } }

V.v…

Trên mặt phẳng phức C, đường tròn đơn vị có thể định nghĩa bằng phương trình:

| z | = 1 { \ displaystyle | z | = 1 \, }

Dĩa đơn vị chức năng.

Dĩa đơn vị chức năng là phần mặt phẳng bên trong ( tức là bên có chứa gốc tọa độ ) đường tròn đơn vị chức năng. Nói cách khác, trên mặt phẳng thực :

x 2 + y 2 ≤ 1 { \ displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \ leq 1 \ ; }

‖ r ‖ ≤ 1 { \ displaystyle \ | \ mathbf { r } \ | \ leq 1 \ ; }

{ | x | ≤ | c o s ( θ ) | | y | ≤ | s i n ( θ ) | { \ displaystyle { \ begin { cases } | x | \ leq | cos ( \ theta ) | \ \ | y | \ leq | sin ( \ theta ) | \ end { cases } } }

V.v.

Trên mặt phẳng phức C:

| z | ≤ 1 { \ displaystyle | z | \ leq 1 \, }

Đường tròn đơn vị chức năng trong lượng giác.

O.Tất cả những hàm lượng giác đều hoàn toàn có thể tính được từ đường tròn đơn vị chức năng có tâm tạiĐường tròn đơn vị chức năng có vị trí đặc biệt quan trọng trong lượng giác vì từ đó hoàn toàn có thể tính được tổng thể những hàm lượng giác .

Nếu A là một điểm trên đường tròn đơn vị,

θ

{\displaystyle \theta }

là góc giữa trục

x

{\displaystyle x}

và đường OA (trong hình) thì:

c o s ( θ ) { \ displaystyle cos ( \ theta ) \, }

x

{\displaystyle x\,}

Xem thêm: Cuộc sống vốn luôn chứa đựng những muộn phiền, cũng may còn có bầu trời luôn cho ta niềm tin!

s i n ( θ ) { \ displaystyle sin ( \ theta ) \, }y { \ displaystyle y \, }

t a n ( θ ) { \ displaystyle tan ( \ theta ) \, }x { \ displaystyle x \, }

c o t ( θ ) { \ displaystyle cot ( \ theta ) \, }y { \ displaystyle y \, }

s e c ( θ ) { \ displaystyle sec ( \ theta ) \, }x { \ displaystyle x \, }

c s c ( θ ) { \ displaystyle csc ( \ theta ) \, }y { \ displaystyle y \, }

Có hai hàm lượng giác ít dùng nhưng rất dễ thấy trong đường tròn đơn vị, là

versin

{\displaystyle {\textrm {versin}}\,}

và

coversin

{\displaystyle {\textrm {coversin}}\,}

.

Hàm versin { \ displaystyle { \ textrm { versin } } \, } tức versed sine là đoạn còn lại trên trục x { \ displaystyle x \, } từ sau điểm c o s ( θ ) { \ displaystyle cos ( \ theta ) \, } tới hết đường nửa đường kính .Còn hàm coversin { \ displaystyle { \ textrm { coversin } } \, } tức coversed sine hay coversin tương tự như vậy, trên trục y { \ displaystyle y \, } : Đoạn còn lại trên trục y { \ displaystyle y \, } từ sau điểm s i n ( θ ) { \ displaystyle sin ( \ theta ) \, } tới hết đường nửa đường kính .Hai hàm này có phần hữu dụng như sau :

versin ( θ ) = 1 − cos ⁡ ( θ ) = 2 sin 2 ⁡ ( θ 2 ) { \ displaystyle { \ textrm { versin } } ( \ theta ) = 1 – \ cos ( \ theta ) = 2 \ sin ^ { 2 } \ left ( { \ frac { \ theta } { 2 } } \ right ) \, }

coversin ( θ ) = 1 − sin ⁡ ( θ ) = versin ( π / 2 − θ ) { \ displaystyle { \ textrm { coversin } } ( \ theta ) = 1 – \ sin ( \ theta ) = { \ textrm { versin } } ( \ pi / 2 – \ theta ) \, }

Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục

x

{\displaystyle x\,}

. Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục

x

{\displaystyle x\,}

, điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid.

Nếu thay vì lấy một điểm trên đường tròn mà lấy một điểm bên trong đường tròn, sẽ được đường gọi tên là curtate cycloid.

Năm 1658 Christopher Wren chứng minh rằng nếu đường tròn có đường kính

d

{\displaystyle d\,}

thì một chu kỳ đường cycloid có chiều dài

4
d

{\displaystyle 4d\,}

.