Điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh

Tính chất ba đường phân giác của tam giác  Bài tập sách giáo khoa Toán 7 tập II

ĐỀ BÀI:

Bài 36.

Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

Bài 37.

Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa .

Bài 38.

Cho hình sau đây .a ) Tính góc KOL .b ) Kẻ tia IO, hãy tính góc KIO .c ) Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không ? Tại sao ?

Bài 39.

Cho hình sau đây .a ) Chứng minh ΔABD = ΔACDb ) So sánh góc DBC và góc DCB .

Bài 40.

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng .

Bài 41.

Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không ? Vì sao ?

Bài 42.

Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân .Gợi ý : Trong ΔABC, nếu AD là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì lê dài AD một đoạn DA, sao cho DA1 = AD .

Bài 43.

Đố:Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau (h.40).

Hãy tìm một khu vực để kiến thiết xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhau .Có toàn bộ mấy khu vực như vậy ?

Xem thêm:Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác >> Tại đây.

LỜI GIẢI, HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:

Bài 36.

Điểm I nằm trong DEF và cách đều ba cạnh của ADEF nên điểmlà điểm chung của ba đường phân giác của DEF ( định lí ba đường phân giác của tam giác ) .

Bài 37.

Cách vẽ điểm K :Vẽ MNP .Vẽ hai đường phân giác của MNP, chúng cắt nhau ở K .Thật vậy :K là giao điểm của hai đường phân giác của MNP nên đường phân giác thứ ba cũng đi qua K ( định lí ba đường phân giác của tam giác ) .Do đó khoảng cách từ K đến ba cạnh của MNP bằng nhau ( định lí ba đường phân giác của tam giác ) .

Bài 38.

Hướng dẫn:

KO và LO lần lượt là tia phân giác của góc K và L .

Giải:

a )IKL có góc K + góc L + góc I = 180 °=> góc K + góc L = 180 ° góc I = 180 ° 62 ° = 118 °KO và LO lần lượt là tia phân giác của góc K và L nên :góc : K1 + L1 = 50% K2 + 50% L2 .= 50% ( K + L ) = 50%. 118 ° = 59 °KOL có góc KOL + K1 + L1 = 180 °Suy ra : .KÔL = 180 ° ( K1 + L1 ) = 180 ° 59 ° = 121 ° .b ) Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên 10 là tia phân giác của góc I .Do đó góc KIO = 1/2 Î = 1/2. 62 ° = 31 ° .c ) O là giao điểm của ba đường phân giác của IKL nên O cách đều ba cạnh của IKL .

Bài 39.

ABD và ACD có :AB = AC ;BÂD = CÂDAD là cạnh chung .Nên ABD = ACD ( c. g. c ) .

ABD = ACD (câu a)

Suy ra : góc ABD = góc ACD ( hai góc tương ứng )Lại có AB = AC nên ABC cân ở A suy ra góc ABC = góc Ngân Hàng Á ChâuDo đó góc DBC = góc DCB .

Bài 40.

Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm của BC .Chứng minh : AI đi qua M và AM đi qua G .Suy ra A, I, G thẳng hàng .

Giải:

I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác nên AI là tia phân giác của góc A .

Gọi M là trung điểm của BC.

ABC cân tại A nên đường phân giác AI cũng là đường trung tuyến .Do đó AI đi qua M. ( 1 )T là trọng tâm ABC nên AM đi qua G. ( 2 )Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng .

Bài 41.

Hướng dẫn :

Trong tam giác đều đường phân giác của góc cũng đồng thời là đường trung tuyến .

Giải:

XétABC đều có các đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau ở GMà đường trung tuyến AD, BE, CF cũng là đường phân giác của ABC .Vậy G là giao của ba đường phân giác nên G cách đều ba cạnh của ABC .

Bài 42.

Hướng dẫn:

Cách 1 :Chứng minh AB = AC => ABC cân .Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = AD => AB = AC ( = BE ) .Cách 2 : Chứng minh góc B = góc C => ABC cân .Kẻ DH AB, DK AC => DH = DK => góc B = góc C .

cCách 1:

Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = ADADC và EDB có :DE = DADC ( AD là đường trung tuyến của AABC )góc BDE = góc CDA ( hai góc đối đỉnh )Nên ADC = EDB ( c. g. c )Suy ra AC = EB ( hai cạnh tương ứng ) ( 1 )Và góc A2 = góc E ( hai góc tương ứng )AD là tia phân giác của BACDo đó Â1 = Ê .Nên ABE cân tại B ( hai góc đáy bằng nhau )=> AB = BE ( đặc thù tam giác cân ) ( 2 )Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra AB = AC => ABC cân .Cách 2 :Kẻ DH AB, DK AC ,D thuộc tia phân giác của góc A nên DH = DKDHB và DKC có :góc H = góc K = 90 ° ; DH = DKBD = DC ( AD là trung tuyến của tam giác ABC )Nên DHB = DKC ( cạnh huyền cạnh góc vu. ông )Suy ra góc B = góc C .Vậy ABC là tam giác cân .

Bài 43.

Hướng dẫn:

Điểm cách đều ba cạnh của ABC là giao điểm của các đường phân giác => có bốn điểm cách đều ba cạnh của ABC .

Giải:

Điểm cách đều ba cạnh của ABC là giao điểm của các đường phân giác.

Vậy có bốn điểm cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA :Điểm I là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của ABC .Ba điểm D, E, F là giao điểm của các đường phân giác các góc ngoài của ABC .

Related

Video liên quan