Điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác là gì

§8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRựC CỦA TAM GIÁC
A. Tóm tắt kiến thức
Định lí 1. Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này (h.3.82).
Định lí 2. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Diểm o là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A A
Hình 3.82 Hình 3.83
Trên hình 3.83, điểm 0 là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Ta có OA = OB – oc.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm M trên cạnh CA lấy điểm N sao cho BM + CN = BC. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
Giải.
A
Hình 3.84
(h.3.84) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BM = BD khi đó CN = CD.
Gọi I là giao điểm hai đường phân giác của B và C suy ra I là điểm cố định.
Tam giác BMD cân tại B nên BI là đường trung trực của đoạn MD.
Tam giác CND cân tại c nên CI là đường trung trực của đoạn ND.
Tam giác MND có đường trung trực của các cạnh MD và ND cắt nhau tại I
Suy ra I thuộc đường trung trực cạnh MN.
Do đó đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua điểm I cố định.
Nhận xét
Bài toán đã vận dụng tính chất của tam giác cân : Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy.
Về phương pháp giải : Muốn chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định, ta cần xác định điểm cố định, điểm đó là giao điểm của hai đường cố định.
c. Hưóng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 52. Giải, (h.3.85) Xét tam giác ABC có đường trung tuyến AM cũng là đường trung trực của BC. Các hình chiếu MB, MC bằng nhau nên các đường xiên AB, AC bằng nhau. Vậy tam giác ABC cân tại A.
Bài 53. Giai. Gọi A, B, c là vị trí của ba nhà. Điểm cách đều cả A, B và c là giao điếm các đường trung trực cua tam giác ABC (điểm o trên hình 3.86).
Bài 54. Giải. Bạn đọc tự vẽ hình.
Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Để vẽ đường tròn ngoại tiếp ta cần xác định tâm của đường tròn đó. Muốn xác định tâm, ta vẽ hai đường trung trực và giao điểm của hai đường trung trực (cũng gọi là giao điểm của ba trung trực) là tâm của đường tròn cần tìm.
c/ỉíí ý
Trong trường hợp A 90° tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.
Trong trường hợp A = 90° tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của cạnh huyền.
Suy ra ADB + ADC = 2(Dj + D2) = 2IDK (1).
Ta lại có IA // DK (cùng vuông góc với AC), mà I =90° nên IDK = 90° (2).
Từ (1) và (2) suy ra ADB + ADC = 180°.
Vậy ba điếm B, D, c thẳng hàng.
s
Bài 56. Giải. Theo bài 55, D là giao điểm các đường trung trực của AB, AC nên D cách đều ba đỉnh cúa tam giác ABC. Theo kết quả của bài 55, ba điểm B, D, c thắng hàng nên suy ra D là trưng điểm của cạnh huyền. Từ đó suy ra AD là đường trung tuyến của tam giác ABC và AD = ^-BC. Ta có kết luận: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đinh góc vuông bằng một nứa cạnh huyền.
Bài 57. Giải. Gọi A, B, c là ba điqm trên đường viền của chi tiết máy. Kẻ các đường trung trực cúa AB và BC, chúng cat nhau tại o. Điểm o cách đều ba điếm A, B, c nên là tàm của đường tròn viền chi tiết máy. Khoảng cách từ o đến điểm bất kì trên đường tròn là bán kính cần xác định.
D. Bài tập luyện thêm
Cho tam giác ABC (A > 90° ). Các đường trung trực của cạnh AB, AC cắt nhau tại o và cắt BC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh tia AO là tia phân giác của góc MAN.
Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác góc A cắt đường trung trực của cạnh AB tại o. Trên cạnh AB và AC lấy điểm M và N sao cho AM = CN. Chứng minh o nằm trên đường trung trực của đoạn MN.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi o là giao điểm hai đường phân giác của góc B và góc c. Trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD = BA; CE = CA.
Tính số đo DAE.
Chứng minh rằng o là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác AĐE.
Lòi giải – Hướng dẫn – Đáp sô
(h.3.88)
M và o thuộc đường trung trực của cạnh AB
o
I* Hình 3.88
=> AOMA = A OMB (c.c.c)
=> Aj = Bj (1).
o và N thuộc đường trung trực của cạnh AC => A OAN = A OCN (c.c.c) => Aọ = C| (2).
Tam giác ABC có o là giao điểm của hai đường trung trực => o thuộc đường trung trực của cạnh BC => OB = oc.
=> tam giác OBC cân tại o => Bj = Cj (3).
Từ (1), (2) và (3), ta có A[ = Ao hay AO là tia phân giác của MAN .
(h.3.89) Tam giác ABC cân tại A có AD là đường phân giác, chứng minh được AD là đường trung trực của cạnh BC.
Suy ra o là giao điếm các đường trung trực của tam giác ABC =>0A = oc => tam giác AOC càn tại o => A-) =C[ .
Mà Aị = Aọ => Aị = C| .
Xét hai tam giác AMO và CNO có AM = CN ; Aj = Cj; AO – co.
Suy ra AAMO = ACNO (c.«.c)=>OM = ON.
=>o thuộc đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Nhận xét. Bài toán có thể diễn đạt như sau: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lấy điểm M và N thay đổi sao cho AM = CN. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua điểm cố định.
(h.3.90)
a) Tam giác ABD cân tại B – AĨ)B AS0 ‘-A[iC
Tam giác ACE cân tại c
x>ẤẼẽ=-°-ÃẽẼ.
2
, 7TA 180o-ABC + 180°-ACB Do đó ADB + AEC =
2
_ 180° + 180° – ABC – ACB _ 180°+BAC _ J 35
2 – 2 – ‘
Tam giác AED có ỂÂb + ẤẼC + ẤÕÈ = 180° => ỂÃb = 45° .
b) Tam giác ABD cân tại B; BO là đường phân giác, dễ chứng minh được BO là đường trung trực của đoạn thẳng AD (1).
Tam giác ACE cân tại C; co là đường phân giác, dễ chứng minh được CO là đường trung trực của đoạn thẳng AE (2).
Từ (1) và (2) suy ra o là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ADE.