Độ dài đường tròn, cung tròn

Độ dài đường tròn

Độ dài đường tròn hay còn gọi là chu vi hình tròn trụ được kí hiệu là \ ( C \ ) ( là vần âm đầu trong tiếng anh Circle – nghĩa là đường tròn ). Công thức tính chu vi hình tròn trụ đã được ra mắt trong chương trình Toán 5 .
Độ dài của đường tròn nửa đường kính \ ( R \ ) được tính theo công thức :

\(C=2 \pi R.\)

Nếu gọi \ ( d \ ) là đường kính của đường tròn, tức là \ ( d = 2R, \ ) thì độ dài đường tròn được tính theo công thức :
\ ( C = \ pi d ; \ )
trong đó, \ ( \ pi \ ) đọc là pi là kí hiệu của một số ít vô tỷ mà giá trị gần đúng được lấy là \ ( \ pi \ approx 3,14. \ )

Ví dụ 1: Tính độ dài đường tròn \((O; 5\ cm).\)

Giải:
Độ dài đường tròn \ ( ( O ; 5 \ cm ) \ ) có nửa đường kính \ ( R = 5 \ cm \ ) là :\ ( C = 2 \ pi R \ approx 2. \ pi. 5 = 10 \ pi \ approx 31,4 \ cm. \ )

Độ dài cung tròn

Đường tròn thực ra là một cung tròn khép kín có số đo bằng \ ( 360 ^ { \ circ } \ ) có độ dài bằng \ ( C = 2 \ pi R. \ )Do đó, mỗi \ ( 1 ^ { \ circ } \ ) có độ dài bằng \ ( \ dfrac { 2 \ pi R. 1 } { 360 }. \ )Suy ra cung tròn \ ( n ^ { \ circ } \ ) có độ dài bằng \ ( \ dfrac { 2 \ pi R. n } { 360 } = \ dfrac { \ pi R n } { 180 }. \ )
Như vậy, độ dài cung tròn \ ( n ^ { \ circ } \ ) được tính theo công thức sau :
\ ( l = \ dfrac { \ pi R n } { 180 }, \ )

trong đó : \ ( l \ ) là độ dài cung tròn ;
\ ( \ pi \ ) là hằng số, \ ( \ pi \ approx 3,14 ; \ )\ ( n ^ { \ circ } \ ) là số đo của cung cần tính độ dài .

Ví dụ 2: Tính độ dài cung tròn sau:

Giải:

Cung tròn \ ( \ stackrel \ frown { AB } \ ) nửa đường kính \ ( R = 12, \ ) độ lớn cung bằng \ ( n ^ { \ circ } = 60 ^ { \ circ } \ ) có độ dài là :\ ( l = \ dfrac { \ pi R n } { 180 } = \ dfrac { \ pi. 12. 60 } { 180 } = 4 \ pi \ approx 4. 3,14 \ approx 12,56. \ )

Số \ ( \ pi \ )

Số Pi ( ký hiệu : \ ( \ pi \ ) ) là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường tròn đó. Hằng số này có giá trị xê dịch bằng \ ( 3,1415926535897. \ )
Kí hiệu \ ( \ pi \ ) của số Pi là vần âm tiên phong của từ “ περίμετρος ” ( nghĩa là chu vi trong tiếng Hy Lạp ) .

Số \(\pi\) đã được
người cổ đại Ai Cập và Babylon biết đến mặc dù lúc đó giá trị của nó không được
tính chính xác như ngày nay. Chẳng hạn người Babylon cho rằng giá trị của nó
vào khoảng \(3,125\) và người Ai Cập thì cho rằng nó vào khoảng \(3,160484.\)
Còn nhà toán học Hy Lạp Ac-si-met (287 – 222 TCN) là người đầu tiên tìm ra
chính xác giá trị của số Pi, ông sử dụng đa giác \(96\) cạnh và chứng minh được
rằng giá trị của \(\pi\) là \(3,1419.\)

Ở Trung Quốc, đến thời Đông Hán, Trương Hạnh ( 78-139 ) cho rằng \ ( \ pi \ ) là \ ( \ sqrt { 10 } \ ) ; vào thời Ngụy Tấn ( khoảng chừng năm 263 ), nhà toán học Lưu Huy đã chỉ ra được giá trị của \ ( \ pi \ ) là \ ( 3,1416 \ ) – một giá trị gần đúng khá sát với thời nay. Đến thời Nam – Bắc Triều ( khoảng chừng năm 480 ), nhà khoa học Tổ Xung Chi đã tìm ra số \ ( \ pi = \ dfrac { 355 } { 113 } \ ) hay giá trị của \ ( \ pi \ ) nằm trong khoảng chừng từ \ ( 3,1415926 \ ) đến \ ( 3,1415927. \ ) Số \ ( \ pi \ ) do Tổ Xung Chi tìm ra được coi là giá trị đúng mực nhất trong vòng 900 năm sau đó .
Với những nhà toán học, có hai ngày được dành cho số \ ( \ pi \ ), đó là ngày số Pi và ngày số Pi gần đúng. “ Ngày số Pi ” được chọn vào ngày 14 tháng 3 hàng năm, đơn thuần vì số Pi được xác lập một cách gần đúng bằng 3,14. Còn “ Ngày số Pi gần đúng ” được chọn là ngày 22 tháng 7 hàng năm do nhiều người vẫn màn biểu diễn giá trị của số Pi dưới một số lượng xê dịch là \ ( \ dfrac { 22 } { 7 } \ ) .
Tới cuối thế kỉ XX, nhờ máy tính điện tử, con người đã tính được giá trị gần đúng của \ ( \ pi \ ) tới số lượng thứ 200 tỉ sau dấu phảy. Vào ngày 11 tháng 9 năm 2000, người ta tìm được con số lẻ thứ một triệu tỉ ( 1.000.000.000.000.000 ) là số \ ( 0 \ ). Công cuộc tìm kiếm và mày mò những chữ số sau dấu phảy của số \ ( \ pi \ ) luôn luôn là một game show mê hoặc nhưng vô cùng khó khăn vất vả với những nhà toán học .