Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 2: Phương Trình Đường Tròn

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

Sách giải toán 10 Bài 2 : Phương trình đường tròn giúp bạn giải những bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện năng lực suy luận hài hòa và hợp lý và hợp logic, hình thành năng lực vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác :

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 2 trang 82: Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3; 4).

Viết phương trình đường tròn ( C ) nhận AB là đường kính .

Lời giải

Gọi I là đường tròn nhận AB là đường kính
⇒ I là trung điểm của AB ⇒ I ( 0 ; 0 )

⇒ R = AB / 2 = 5
Phương trình đường tròn ( C ) nhận AB là đường kính là :
x2 + y2 = 25

Trả lời câu hỏi Toán 10 Hình học Bài 2 trang 82: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:

2×2 + y2 – 8 x + 2 y – 1 = 0 ;
x2 + y2 + 2 x – 4 y – 4 = 0 ;
x2 + y2 – 2 x – 6 y + 20 = 0 ;
x2 + y2 + 6 x + 2 y + 10 = 0 .

Lời giải

+ 2×2 + y2 – 8 x + 2 y – 1 = 0 không phải phương trình đường tròn vì thông số của x2 khác thông số của y2 .
+ Phương trình x2 + y2 + 2 x – 4 y – 4 = 0 có :
a = – 1 ; b = 2 ; c = – 4 ⇒ a2 + b2 – c = 9 > 0
⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn .
+ Phương trình x2 + y2 – 2 x – 6 y + 20 = 0 có :
a = 1 ; b = 3 ; c = 20 ⇒ a2 + b2 – c = – 10 < 0
⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn .
+ Phương trình x2 + y2 + 6 x + 2 y + 10 = 0 có :
a = – 3 ; b = – 1 ; c = 10 ⇒ a2 + b2 – c = 0 = 0
⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn .

Bài 1 (trang 83 SGK Hình học 10): Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a, x2 + y2 – 2 x – 2 y – 2 = 0
b, 16×2 + 16 y2 + 16 x – 8 y – 11 = 0
c, x2 + y2 – 4 x + 6 y – 3 = 0

Lời giải

Cách 1 : Xác định các hệ số a, b, c.

a ) x2 + y2 – 2 x – 2 y – 2 = 0 có thông số a = 1 ; b = 1 ; c = – 2

⇒ tâm I (1; 1) và bán kính

b ) 16×2 + 16 y2 + 16 x – 8 y – 11 = 0

⇒ Đường tròn có tâm
, bán kính
, nửa đường kínhc ) x2 + y2 – 4 x + 6 y – 3 = 0
⇔ x2 + y2 – 2.2 x – 2. ( – 3 ). x – 3 = 0
có thông số a = 2, b = – 3, c = – 3

⇒ Đường tròn có tâm I(2 ; –3), bán kính

Cách 2 : Đưa về phương trình chính tắc :

a ) x2 + y2 – 2 x – 2 y – 2 = 0
⇔ ( x2 – 2 x + 1 ) + ( y2 – 2 y + 1 ) = 4
⇔ ( x-1 ) 2 + ( y-1 ) 2 = 4
Vậy đường tròn có tâm I ( 1 ; 1 ) và nửa đường kính R = 2 .
b ) 16×2 + 16 y2 + 16 x – 8 y – 11 = 0

Vậy đường tròn có tâm và bán kính R = 1.

c ) x2 + y2 – 4 x + 6 y – 3 = 0
⇔ ( x2 – 4 x + 4 ) + ( y2 + 6 y + 9 ) = 4 + 9 + 3
⇔ ( x – 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16
Vậy đường tròn có tâm I ( 2 ; – 3 ) và nửa đường kính R = 4 .

Bài 2 (trang 83 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a, ( C ) có tâm I ( – 2 ; 3 ) và đi qua M ( 2 ; – 3 ) ;
b, ( C ) có tâm I ( – 1 ; 2 ) và tiếp cúc với đường thẳng x – 2 y + 7 = 0
c, ( C ) có đường kính AB với A = ( 1 ; 1 ) và B = ( 7 ; 5 ) .

Lời giải

a) (C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM

Vậy đường tròn ( C ) : ( x + 2 ) 2 + ( y – 3 ) 2 = 52 .
b ) ( C ) tiếp xúc với ( Δ ) : x – 2 y + 7 = 0
⇒ d ( I ; Δ ) = R
Vậy đường tròn ( C ) :

c ) ( C ) có đường kính AB nên ( C ) có :
+ tâm I là trung điểm của AB

Vậy đường tròn ( C ) : ( x – 4 ) 2 + ( y – 3 ) 2 = 13 .

Bài 3 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

a, A ( 1 ; 2 ), B ( 5 ; 2 ), C ( 1 ; – 3 )
b, M ( – 2 ; 4 ), N ( 5 ; 5 ), P ( 6 ; – 2 )

Lời giải

Gọi phương trình đường tròn ( C ) là : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 .
a ) A ( 1 ; 2 ) ∈ ( C ) ⇔ 12 + 22 – 2. a. 1 – 2. b. 2 + c = 0 ⇔ 2 a + 4 b – c = 5 ( 1 )
B ( 5 ; 2 ) ∈ ( C ) ⇔ 52 + 22 – 2.5. x – 2.2. y + c = 0 ⇔ 10 x + 4 y – c = 29 ( 2 )
C ( 1 ; – 3 ) ∈ ( C ) ⇔ 12 + ( – 3 ) 2 – 2. a. 1 – 2. b. ( – 3 ) + c = 0 ⇔ 2 a – 6 b – c = 10 ( 3 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có hệ phương trình :

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 3, b = – 1/2, c = – 1 .
Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là : x2 + y2 – 6 x + y – 1 = 0 .
b )
M ( – 2 ; 4 ) ∈ ( C ) ⇔ ( – 2 ) 2 + 42 – 2. a. ( – 2 ) – 2. b. 4 + c = 0 ⇔ 4 a – 8 b + c = – 20 ( 1 )
N ( 5 ; 5 ) ∈ ( C ) ⇔ 52 + 52 – 2. a. 5 – 2. b. 5 + c = 0 ⇔ 10 a + 10 b – c = 50 ( 2 )
P ( 6 ; – 2 ) ∈ ( C ) ⇔ 62 + ( – 2 ) 2 – 2. a. 6 – 2. b. ( – 2 ) + c = 0 ⇔ 12 a – 4 b – c = 40 ( 3 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có hệ phương trình :

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 2, b = 1, c = – 20 .
Vậy đường tròn đi qua ba điểm M, N, P là : x2 + y2 – 4 x – 2 y – 20 = 0 .

Bài 4 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1).

Lời giải

Gọi đường tròn cần tìm là ( C ) có tâm I ( a ; b ) và nửa đường kính bằng R.
( C ) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d ( I ; Ox ) = | b |
( C ) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d ( I ; Oy ) = | a |
⇒ | a | = | b |
⇒ a = b hoặc a = – b .
+ TH1 : Xét a = b thì I ( a ; a ), R = | a |
Ta có : M ∈ ( C ) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2
⇒ ( 2 – a ) 2 + ( 1 – a ) 2 = a2
⇔ a2 – 6 a + 5 = 0
⇔ a = 1 hoặc a = 5 .
* a = 1 ⇒ I ( 1 ; 1 ) và R = 1 .
Ta có phương trình đường tròn ( C ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 .
* a = 5 ⇒ I ( 5 ; 5 ), R = 5 .
Ta có phương trình đường tròn ( C ) : ( x – 5 ) 2 + ( y – 5 ) 2 = 25 .
+ TH2 : Xét a = – b thì I ( a ; – a ), R = | a |
Ta có : M ∈ ( C ) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2
⇒ ( 2 – a ) 2 + ( 1 + a ) 2 = a2
⇔ a2 – 2 a + 5 = 0 ( Phương trình vô nghiệm )
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn nhu cầu là : ( C ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 hoặc ( C ) : ( x – 5 ) 2 + ( y – 5 ) 2 = 25 .

Bài 5 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0

Lời giải

Bài 6 (trang 84 SGK Hình học 10): Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

a, Tìm tọa độ tâm và nửa đường kính của ( C )
b, Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua điểm A ( – 1 ; 0 )
c, Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) vuông góc với đường thẳng : 3 x – 4 y + 5 = 0 .

Lời giải

a ) x2 + y2 – 4 x + 8 y – 5 = 0
⇔ ( x2 – 4 x + 4 ) + ( y2 + 8 y + 16 ) = 25

⇔ ( x – 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 25 .
Vậy ( C ) có tâm I ( 2 ; – 4 ), nửa đường kính R = 5 .
b ) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy :
( – 1 – 2 ) 2 + ( 0 + 4 ) 2 = 32 + 42 = 25 = R2
⇒ A thuộc đường tròn ( C )
⇒ tiếp tuyến ( d ’ ) cần tìm tiếp xúc với ( C ) tại A
⇒ ( d ’ ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA

⇒ (d’) nhận là một vtpt và đi qua A(–1; 0)

⇒ phương trình ( d ’ ) : 3 x – 4 y + 3 = 0 .
c ) Gọi tiếp tuyến vuông góc với ( d ) : 3 x – 4 y + 5 = 0 cần tìm là ( Δ ) .
( d ) có
là một vtpt
là một vtpt

(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận là một vtpt

⇒ ( Δ ) : 4 x + 3 y + c = 0 .

(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R

Vậy ( Δ ) : 4 x + 3 y + 29 = 0 hoặc 4 x + 3 y – 21 = 0 .