Trung tuyến.

Trong hình học, trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến.

Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi những góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau .Trong hình học khoảng trống, khái niệm tương tự như là mặt trung tuyến trong tứ diện .

Tính chất đường trung tuyến.

Đồng quy tại 1 điểm.

3 đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Chia ra diện tích quy hoạnh của những tam giác bằng nhau.

Mỗi trung tuyến chia diện tích quy hoạnh của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích quy hoạnh bằng nhau .

Xem xét tam giác ABC (hình bên), cho D là trung điểm của

A
B

¯

{\displaystyle {\overline {AB}}}

, E là trung điểm của

B
C

¯

{\displaystyle {\overline {BC}}}

, F là trung điểm của

A
C

¯

{\displaystyle {\overline {AC}}}

, và O là trọng tâm.

Theo định nghĩa,

A
D
=
D
B
,
A
F
=
F
C
,
B
E
=
E
C

{\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC\,}

. Do đó

[
A
D
O
]
=
[
B
D
O
]
,
[
A
F
O
]
=
[
C
F
O
]
,
[
B
E
O
]
=
[
C
E
O
]
,

{\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],}

và

[
A
B
E
]
=
[
A
C
E
]

{\displaystyle [ABE]=[ACE]\,}

, trong đó

[
A
B
C
]

{\displaystyle [ABC]}

là diện tích của

△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}

; điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy (mở rộng), và diện tích của tam giác thì bằng một phần hai đáy nhân đường cao.

Chúng ta có :

[ A B O ] = [ A B E ] − [ B E O ] { \ displaystyle [ ABO ] = [ ABE ] – [ BEO ] \, }

[
A
C
O
]
=
[
A
C
E
]
−
[
C
E
O
]

{\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]\,}

Xem thêm: Cách chứng minh đường trung trực lớp 7

Do đó,

[
A
B
O
]
=
[
A
C
O
]

{\displaystyle [ABO]=[ACO]\,}

và

[
A
D
O
]
=
[
D
B
O
]
,
[
A
D
O
]
=

1
2

[
A
B
O
]

{\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}

Do

[
A
F
O
]
=
[
F
C
O
]
,
[
A
F
O
]
=

1
2

A
C
O
=

1
2

[
A
B
O
]
=
[
A
D
O
]

{\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}ACO={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}

, do đó,

[
A
F
O
]
=
[
F
C
O
]
=
[
D
B
O
]
=
[
A
D
O
]

{\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]\,}

. Sử dụng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh

[
A
F
O
]
=
[
F
C
O
]
=
[
D
B
O
]
=
[
A
D
O
]
=
[
B
E
O
]
=
[
C
E
O
]

{\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]\,}

.

Công thức tương quan tới độ dài của trung tuyến.

Độ dài của trung tuyến có tính được bằng định lý Apollonius như sau :

m c = 2 a 2 + 2 b 2 − c 2 4, { \ displaystyle m_ { c } = { \ sqrt { \ frac { 2 a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } – c ^ { 2 } } { 4 } } }, }

trong đó a, b và c là các cạnh của tam giác với các trung tuyến tương ứng ma, mb, và mc từ trung điểm

Do vậy chúng ta cũng có các mối quan hệ:[1]

a = 2 3 − m a 2 + 2 m b 2 + 2 m c 2 = 2 ( b 2 + c 2 ) − 4 m a 2 = b 2 2 − c 2 + 2 m b 2 = c 2 2 − b 2 + 2 m c 2 ¯, { \ displaystyle a = { \ frac { 2 } { 3 } } { \ sqrt { – m_ { a } ^ { 2 } + 2 m_ { b } ^ { 2 } + 2 m_ { c } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { 2 ( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) – 4 m_ { a } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { { \ frac { b ^ { 2 } } { 2 } } – c ^ { 2 } + 2 m_ { b } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { { \ frac { c ^ { 2 } } { 2 } } – b ^ { 2 } + 2 m_ { c } ^ { 2 } { \ bar { } }, } } }

b = 2 3 − m b 2 + 2 m a 2 + 2 m c 2 = 2 ( a 2 + c 2 ) − 4 m b 2 = a 2 2 − c 2 + 2 m a 2 = c 2 2 − a 2 + 2 m c 2, { \ displaystyle b = { \ frac { 2 } { 3 } } { \ sqrt { – m_ { b } ^ { 2 } + 2 m_ { a } ^ { 2 } + 2 m_ { c } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { 2 ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) – 4 m_ { b } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { { \ frac { a ^ { 2 } } { 2 } } – c ^ { 2 } + 2 m_ { a } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { { \ frac { c ^ { 2 } } { 2 } } – a ^ { 2 } + 2 m_ { c } ^ { 2 } } }, }

c = 2 3 − m c 2 + 2 m b 2 + 2 m a 2 = 2 ( b 2 + a 2 ) − 4 m c 2 = b 2 2 − a 2 + 2 m b 2 = a 2 2 − b 2 + 2 m a 2. { \ displaystyle c = { \ frac { 2 } { 3 } } { \ sqrt { – m_ { c } ^ { 2 } + 2 m_ { b } ^ { 2 } + 2 m_ { a } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { 2 ( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) – 4 m_ { c } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { { \ frac { b ^ { 2 } } { 2 } } – a ^ { 2 } + 2 m_ { b } ^ { 2 } } } = { \ sqrt { { \ frac { a ^ { 2 } } { 2 } } – b ^ { 2 } + 2 m_ { a } ^ { 2 } } }. }