Site icon Nhạc lý căn bản – nhacly.com

Giá trị nguyên dương la gì

adnhacly
Đối với tin học, xem Số nguyên ( khoa học máy tính ) .Nội dung chính

Trong toán học, số nguyên được định nghĩa một cách thông tục là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và 2048 là các số nguyên, trong khi 9,75,51/2 và2 không phải là số nguyên.

Tập hợp các số nguyên bao gồm 0, các số tự nhiên dương (1, 2, 3 ,…), còn được gọi là số đếm,[1][2] và các nghịch đảo phép cộng của chúng (là các số nguyên âm, tức là, 1, 2, 3,… ). Tập hợp các số nguyên thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền  ( Z ) {\displaystyle (\mathbb {Z} )}

Bạn đang đọc: Giá trị nguyên dương la gì

với vần âm ” Z ” bắt nguồn từ tiếng Đức Zahlen ( nghĩa là ” số ” ). [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }là một tập hợp con của tập hợp những số hữu tỷ Q { \ displaystyle \ mathbb { Q } }, đến lượt nó là một tập hợp con của tập hợp những số thực R { \ displaystyle \ mathbb { R } }. Giống như tập hợp những số tự nhiên, Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }là tập hợp vô hạn đếm được .

Các số nguyên tạo thành nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất chứa các số tự nhiên. Trong lý thuyết số đại số, các số nguyên đôi khi được coi là số nguyên hữu tỉ để phân biệt chúng với các số nguyên đại số tổng quát hơn. Trên thực tế, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số mà cũng là số hữu tỉ.

Mục lục

Ký hiệuSửa đổi

Biểu tượng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }hoàn toàn có thể được dùng để biểu lộ những tập hợp khác nhau, với cách sử dụng khác nhau giữa những tác giả khác nhau : Z + { \ displaystyle \ mathbb { Z } ^ { + } }, [ 7 ] Z + { \ displaystyle \ mathbb { Z } _ { + } }hoặc Z > { \ displaystyle \ mathbb { Z } ^ { > } }}}” loading=”lazy”>so với những số nguyên dương, Z 0 + { \ displaystyle \ mathbb { Z } ^ { 0 + } }hoặc Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } ^ { \ geq } }cho những số nguyên không âm và Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } ^ { \ neq } }cho những số nguyên khác 0. Một số tác giả sử dụng ký hiệu Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } ^ { * } }cho những số nguyên khác 0, trong khi những người khác sử dụng nó cho những số nguyên không âm hoặc cho { 1, 1 }. Ngoài ra, Z p { \ displaystyle \ mathbb { Z } _ { p } }được sử dụng để bộc lộ tập những số nguyên modulo p [ 7 ] ( tức là tập những lớp đồng dư của những số nguyên ) hoặc tập những số nguyên p – adic. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

Tính chấtSửa đổi

Các số nguyên hoàn toàn có thể được coi là những điểm rời rạc, cách đều nhau trên một trục số dài vô hạn. Ở hình trên, những số nguyên không âm được hiển thị bằng màu xanh lam và số nguyên âm màu đỏ .Giống như những số tự nhiên, Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }là tập hợp đóng với những phép toán cộng và nhân, tức là tổng và tích của hai số nguyên bất kể là một số nguyên. Tuy nhiên, với việc gồm có cả những số nguyên âm ( và quan trọng là 0 ), Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }, không giống như những số tự nhiên, cũng là tập hợp đóng với phép trừ. [ 11 ]Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị chức năng, vốn là vành cơ bản nhất, theo nghĩa sau : so với bất kể vành đơn vị chức năng nào, đều có một phép đồng cấu duy nhất từ những số nguyên vào vành này. Thuộc tính phổ quát này, đơn cử là một đối tượng người dùng bắt đầu trong loại vành, là đặc trưng cho vành Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }.Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }không đóng với phép chia, vì thương của hai số nguyên ( ví dụ : 1 chia cho 2 ) hoàn toàn có thể không là số nguyên. Mặc dù những số tự nhiên là đóng với phép lũy thừa, nhưng những số nguyên thì không ( vì tác dụng hoàn toàn có thể là một phân số khi số mũ là âm ) .Bảng sau liệt kê 1 số ít đặc thù cơ bản của phép cộng và phép nhân so với bất kể số nguyên a, b và c : Tính chất của phép cộng và phép nhân trên số nguyên Phép cộng Phép nhân Tính đóng : a + b là số nguyên a × b là số nguyên Tính tích hợp : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a × ( b × c ) = ( a × b ) × cTính giao hoán : a + b = b + a a × b = b × aTồn tại thành phần đơn vị chức năng : a + 0 = a a × 1 = aTồn tại thành phần nghịch đảo : a + ( a ) = 0 Số nguyên duy nhất có thành phần nghịch đảo ( gọi là đơn vị chức năng ) là 1 và 1. Thuộc tính phân phối : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) và ( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) Không có ước số của 0 : Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 ( hoặc cả hai )Trong ngôn từ của đại số trừu tượng, năm thuộc tính tiên phong được liệt kê ở trên khẳng định chắc chắn rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }là một nhóm abel với phép cộng. Nó cũng là một nhóm cyclic, vì mọi số nguyên khác 0 đều hoàn toàn có thể được viết dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 + … + 1 hoặc ( 1 ) + ( 1 ) + … + ( 1 ). Trên trong thực tiễn, Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }với phép cộng là nhóm tuần hoàn vô hạn duy nhất theo nghĩa là bất kể nhóm tuần hoàn vô hạn nào đều là đẳng cấu với Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }.Bốn thuộc tính tiên phong được liệt kê ở trên cho phép nhân nói rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }cùng với phép nhân là một monoid giao hoán. Tuy nhiên, không phải mọi số nguyên đều có nghịch đảo nhân ( như trường hợp của số 2 ), có nghĩa là Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }với phép nhân không phải là một nhóm .Tất cả những quy tắc từ bảng thuộc tính trên ( ngoại trừ quy tắc sau cuối ), khi được tích hợp với nhau, nói rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }cùng với phép cộng và phép nhân là một vành giao hoán có thành phần đơn vị chức năng. Nó là nguyên mẫu của toàn bộ những đối tượng người dùng của cấu trúc đại số như vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }cho toàn bộ những giá trị của biến, thì cũng là đúng trong bất kể vành giao hoán có đơn vị chức năng nào. Một số số nguyên khác 0 ánh xạ tới 0 trong 1 số ít vành nhất định .Việc thiếu những ước số của 0 trong những số nguyên ( thuộc tính sau cuối trong bảng ) có nghĩa là vành giao hoán Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }là một miền nguyên .Việc thiếu những phép nghịch đảo của phép nhân, tương tự với trong thực tiễn là Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }không phải là đóng với phép chia, có nghĩa là Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }không phải là một trường. Trường nhỏ nhất chứa những số nguyên dưới dạng một vành con là trường những số hữu tỉ. Quá trình thiết kế xây dựng những số hữu tỉ từ những số nguyên hoàn toàn có thể được bắt chước để tạo thành trường phân số của bất kể miền nguyên nào. Và ngược lại, khởi đầu từ trường số đại số ( phần lan rộng ra của số hữu tỉ ), vành số nguyên của nó hoàn toàn có thể được trích xuất, gồm có Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }như là vành con của nó .Mặc dù phép chia thường thì không được định nghĩa trên Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }, phép chia ” với phần dư ” được xác lập trên chúng. Nó được gọi là phép chia Euclid, và có đặc thù quan trọng sau : cho hai số nguyên a và b với b 0, sống sót những số nguyên q và r duy nhất sao cho a = q × b + r và 0 r Thuộc tính lý thuyết thứ tựSửa đổi

Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }là một tập hợp có thứ tự trọn vẹn không có số lượng giới hạn trên hoặc dưới. Thứ tự của Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }

Xem thêm: Đầu số 039 là mạng gì? chuyển đổi từ số nào? Ý nghĩa sim 039

được định nghĩa là : : … 3

  • Nếu a
  • Nếu a

    Vì vậy, ta Kết luận rằng Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }cùng với thứ tự trên là một vành có thứ tự .Các số nguyên là nhóm abel có thứ tự trọn vẹn không tầm thường duy nhất có những thành phần dương được sắp xếp theo thứ tự hài hòa và hợp lý. [ 14 ] Điều này tương tự với công bố rằng bất kể vành nhìn nhận Noether nào cũng là một trường hoặc một vành định giá rời rạc .

    Xây dựngSửa đổi

    Các điểm màu đỏ bộc lộ những cặp số tự nhiên có thứ tự. Các điểm màu đỏ được link là những lớp tương tự đại diện thay mặt cho những số nguyên màu xanh lam ở cuối dòng .Trong quy trình dạy học ở trường tiểu học, những số nguyên thường được định nghĩa một cách trực quan là những số tự nhiên ( dương ), số 0 và những số đối của những số tự nhiên. Tuy nhiên, kiểu định nghĩa này dẫn đến nhiều trường hợp khác nhau ( mỗi phép toán số học cần được xác lập trên mỗi tổng hợp những kiểu số nguyên ) và khiến việc chứng tỏ rằng những số nguyên tuân theo những định luật số học khác nhau trở nên tẻ nhạt. [ 15 ] Do đó, trong toán học kim chỉ nan tập hợp tân tiến, một cấu trúc trừu tượng hơn [ 16 ] được cho phép người ta xác lập những phép toán số học mà không có bất kể phân biệt trường hợp nào thường được sử dụng để sửa chữa thay thế. [ 17 ] Do đó, những số nguyên hoàn toàn có thể được thiết kế xây dựng chính thức như những lớp tương tự của những cặp số tự nhiên có thứ tự ( a, b ). [ 18 ]Trực giác là ( a, b ) là viết tắt của hiệu quả của phép trừ a-b. [ 19 ] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 2 và 4 5 biểu lộ cùng một số ít, tất cả chúng ta xác lập quan hệ tương tự ~ trên những cặp này với quy tắc sau 🙁 a, b ) ( c, d ) { \ displaystyle ( a, b ) \ sim ( c, d ) }chỉ khia + d = b + c. { \ displaystyle a + d = b + c. }Phép cộng và phép nhân những số nguyên hoàn toàn có thể được định nghĩa theo những phép toán tương tự trên những số tự nhiên ; [ 20 ] bằng cách sử dụng [ ( a, b ) ] để biểu lộ lớp tương tự có ( a, b ) là thành viên, lớp này có : [ ( a, b ) ] + [ ( c, d ) ] : = [ ( a + c, b + d ) ]. { \ displaystyle [ ( a, b ) ] + [ ( c, d ) ] : = [ ( a + c, b + d ) ]. }[ ( a, b ) ] [ ( c, d ) ] : = [ ( a c + b d, a d + b c ) ]. { \ displaystyle [ ( a, b ) ] \ cdot [ ( c, d ) ] : = [ ( ac + bd, ad + bc ) ]. }Số đối ( hoặc phép nghịch đảo của phép cộng ) của một số ít nguyên có được bằng cách đảo ngược thứ tự của cặp :[ ( a, b ) ] : = [ ( b, a ) ]. { \ displaystyle – [ ( a, b ) ] : = [ ( b, a ) ]. }Do đó phép trừ hoàn toàn có thể được định nghĩa là phép cộng với nghịch đảo của phép cộng :[ ( a, b ) ] [ ( c, d ) ] : = [ ( a + d, b + c ) ]. { \ displaystyle [ ( a, b ) ] – [ ( c, d ) ] : = [ ( a + d, b + c ) ]. }Thứ tự tiêu chuẩn trên những số nguyên được đưa ra với bất đẳng thức :[ ( a, b ) ] khi và chỉ khi  a + d Dễ dàng xác định rằng những định nghĩa này không phụ thuộc vào vào việc lựa chọn đại diện thay mặt của những lớp tương tự .Mọi lớp tương tự có một thành viên duy nhất có dạng ( n, 0 ) hoặc ( 0, n ) ( hoặc cả hai cùng một lúc ). Số tự nhiên n được xác lập với lớp [ ( n, 0 ) ] ( nghĩa là, những số tự nhiên được nhúng vào những số nguyên bằng cách ánh xạ gửi n tới [ ( n, 0 ) ] ) và lớp [ ( 0, n ) ] được ký hiệu n ( điều này gồm có toàn bộ những lớp còn lại và cho lớp [ ( 0,0 ) ] 2 lần do 0 = 0 .Do đó, [ ( a, b ) ] được ký hiệu là

    { a b, nếu a b ( b a ), nếu a Nếu những số tự nhiên được xác lập với những số nguyên tương ứng ( sử dụng phép nhúng được đề cập ở trên ), thì quy ước này không tạo ra sự mơ hồ .Ký hiệu này phục sinh trình diễn quen thuộc của những số nguyên là { …, 2, 1, 0, 1, 2, … } { …, 2, 1, 0, 1, 2, … } { …, 2, 1, 0, 1, 2, … } { …, 2, 1, 0, 1, 2, … } .Một số ví dụ :0 = [ ( 0, 0 ) ] = [ ( 1, 1 ) ] = = [ ( k, k ) ] 1 = [ ( 1, 0 ) ] = [ ( 2, 1 ) ] = = [ ( k + 1, k ) ] 1 = [ ( 0, 1 ) ] = [ ( 1, 2 ) ] = = [ ( k, k + 1 ) ] 2 = [ ( 2, 0 ) ] = [ ( 3, 1 ) ] = = [ ( k + 2, k ) ] 2 = [ ( 0, 2 ) ] = [ ( 1, 3 ) ] = = [ ( k, k + 2 ) ]. { \ displaystyle { \ begin { aligned } 0 và = [ ( 0,0 ) ] và = [ ( 1,1 ) ] và = \ cdots và và = [ ( k, k ) ] \ \ 1 và = [ ( 1,0 ) ] và = [ ( 2,1 ) ] và = \ cdots và và = [ ( k + 1, k ) ] \ \ – 1 và = [ ( 0,1 ) ] và = [ ( 1,2 ) ] và = \ cdots và và = [ ( k, k + 1 ) ] \ \ 2 và = [ ( 2,0 ) ] và = [ ( 3,1 ) ] và = \ cdots và và = [ ( k + 2, k ) ] \ \ – 2 và = [ ( 0,2 ) ] và = [ ( 1,3 ) ] và = \ cdots và và = [ ( k, k + 2 ) ]. \ end { aligned } } }

    Trong khoa học máy tính lý thuyết, các cách tiếp cận khác để xây dựng các số nguyên được sử dụng bởi các máy dò định lý tự động và các công cụ viết lại thuật ngữ. Số nguyên được biểu diễn dưới dạng các thuật ngữ đại số được xây dựng bằng cách sử dụng một vài phép toán cơ bản (ví dụ: zero, succ, pred) và, có thể, sử dụng các số tự nhiên, được giả định là đã được xây dựng (sử dụng phương pháp Peano).

    Tồn tại tối thiểu mười cách thiết kế xây dựng những số nguyên có dấu. [ 21 ] Các cấu trúc này khác nhau theo một số ít cách : số lượng những phép toán cơ bản được sử dụng cho cấu trúc, số lượng ( thường là từ 0 đến 2 ) và những loại đối số được những phép toán này đồng ý ; sự hiện hữu hay vắng mặt của những số tự nhiên làm đối số của một số ít phép toán này và thực tiễn là những phép toán này có phải là hàm tạo tự do hay không, tức là cùng một số ít nguyên hoàn toàn có thể được màn biểu diễn chỉ bằng một hoặc nhiều số hạng đại số .

    Kỹ thuật xây dựng các số nguyên được trình bày ở trên trong phần này tương ứng với trường hợp cụ thể trong đó có một cặp phép toán cơ bản duy nhất  ( x, y ) {\displaystyle (x,y)}

    nhận đối số là hai số tự nhiên x { \ displaystyle x }và y { \ displaystyle y }và trả về một số nguyên ( bằng x y { \ displaystyle x-y }

    ). Thao tác này không tự do vì số nguyên 0 có thể được viết là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật xây dựng này được sử dụng bởi trợ lý chứng minh Isabelle; tuy nhiên, nhiều công cụ khác sử dụng các kỹ thuật xây dựng thay thế, đáng chú ý là những kỹ thuật dựa trên các cấu trúc tự do, đơn giản hơn và có thể được thực hiện hiệu quả hơn trong máy tính.

    Máy tínhSửa đổi

    Bài chi tiết cụ thể : Số nguyên ( khoa học máy tính )Một số nguyên thường là một kiểu tài liệu nguyên thủy trong những ngôn từ máy tính. Tuy nhiên, kiểu tài liệu số nguyên chỉ hoàn toàn có thể đại diện thay mặt cho một tập hợp con của toàn bộ những số nguyên, vì máy tính thực tiễn có dung tích hữu hạn. Ngoài ra, trong màn biểu diễn phép bù hai thông dụng, định nghĩa cố hữu của dấu phân biệt giữa ” âm ” và ” không âm ” thay vì ” âm, dương và0. ( Tuy nhiên, chắc như đinh máy tính hoàn toàn có thể xác lập được liệu một giá trị số nguyên có thực sự là số dương hay không. ) Các kiểu tài liệu xê dịch số nguyên có độ dài cố định và thắt chặt ( hoặc tập hợp con ) được ký hiệu là int hoặc Integer trong một số ít ngôn từ lập trình ( ví dụ điển hình như Algol68, C, Java, Delphi, v.v.. ) .Các trình diễn số nguyên có độ dài biến hóa, ví dụ điển hình như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ bất kể số nguyên nào vừa với bộ nhớ của máy tính. Các kiểu tài liệu số nguyên khác được tiến hành với size cố định và thắt chặt, thường là một số ít bit là lũy thừa của2 ( 4, 8, 16, v.v. ) hoặc 1 số ít chữ số thập phân ( ví dụ : 9 hoặc 10 ) .

    Lực lượngSửa đổi

    Lực lượng của tập hợp những số nguyên bằng 0 ( aleph-null ). Điều được thuận tiện chứng tỏ bằng việc thiết kế xây dựng một tuy nhiên ánh, đó là một hàm đơn ánh và toàn ánh từ Z { \ displaystyle \ mathbb { Z } }đến N { \ displaystyle \ mathbb { N } }. Nếu như N 0 { 0, 1, 2 ,. .. } { \ displaystyle \ mathbb { N } _ { 0 } \ equiv \ { 0,1,2, … \ } }sau đó xem xét hàm sau :f ( x ) = { 2 | x |, if x 0 2 x 1, if x > 0. { \ displaystyle f ( x ) = { \ begin { cases } 2 | x |, và { \ mbox { if } } x \ leq 0 \ \ 2 x – 1, và { \ mbox { if } } x > 0. \ end { cases } } }0.\end{cases}}}” loading=”lazy”>{ … ( 4,8 ) ( 3,6 ) ( 2,4 ) ( 1,2 ) ( 0,0 ) ( 1,1 ) ( 2,3 ) ( 3,5 ) … }Nếu như N { 0, 1, 2, 3 ,. .. } { \ displaystyle \ mathbb { N } \ equiv \ { 0,1,2,3, … \ } }thì ta xem xét hàm sau :g ( x ) = { 2 | x |, if x vậy thì mỗi và mọi phần tử của  Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

    Xem thêm: Đầu số 0128 là mạng gì? Đầu số 0128 chuyển thành đầu số nào? – http://139.180.218.5

    có một và chỉ một thành phần tương ứng của N { \ displaystyle \ mathbb { N } }và theo định nghĩa của bình đẳng lực lượng thì hai tập hợp này có lực lượng bằng nhau .

    Xem thêmSửa đổi

    • Số vô tỉ
    • Số hữu tỉ
    • Số nguyên tố
    • Số tự nhiên
    • Số đại số
    • Số siêu việt
    • Số thực
    • Số phức
    • Số siêu phức

    Tham khảoSửa đổi

    1. ^ Weisstein, Eric W., “Số nguyên” từ MathWorld.
    2. ^ Weisstein, Eric W., “Số nguyên” từ MathWorld.
    3. ^ Compendium of Mathematical Symbols. Math Vault (bằng tiếng Anh). 1 tháng 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
    4. ^ Weisstein, Eric W. Integer. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
    5. ^ Miller, Jeff (29 tháng 8 năm 2010). Earliest Uses of Symbols of Number Theory. Bản gốc lưu trữ ngày 31 tháng 1 năm 2010. Truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2010.
    6. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. tr.4. ISBN978-0-19-850195-4. Bản gốc lưu trữ ngày 8 tháng 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 tháng 2 năm 2016.
    7. ^ a b Compendium of Mathematical Symbols. Math Vault (bằng tiếng Anh). 1 tháng 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
    8. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, “Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1” Pearson 2008
    9. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, “Advanced Mathematics”, Book 2, Longman 1975.
    10. ^ Weisstein, Eric W., “Số nguyên” từ MathWorld.
    11. ^ Integer | mathematics. Encyclopedia Britannica (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
    12. ^ The Definitive Higher Math Guide to Long Division and Its Variants  for Integers. Math Vault (bằng tiếng Anh). 24 tháng 2 năm 2019. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2020.
    13. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bản 3). Addison-Wesley. tr.8687. ISBN978-0-201-55540-0.
    14. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p.185. ISBN978-0-486-13709-4. Bản gốc lưu trữ ngày 6 tháng 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng 4 năm 2015.
    15. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr.86. ISBN978-0-486-45792-5. Bản gốc lưu trữ ngày 8 tháng 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 tháng 2 năm 2016.
    16. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
    17. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr.126. ISBN978-0-7487-3515-0. Bản gốc lưu trữ ngày 8 tháng 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 tháng 2 năm 2016.
    18. ^ Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr.83. ISBN978-0-390-16895-5.
    19. ^ Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr.83. ISBN978-0-390-16895-5.
    20. ^ Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr.83. ISBN978-0-390-16895-5.
    21. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT’2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr.120134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bản gốc ngày 26 tháng 1 năm 2018. Truy cập ngày 25 tháng 1 năm 2018.

    Liên kết ngoàiSửa đổi

    Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Số nguyên.

    • Số nguyên tại MathWorld.

    • Source: http://139.180.218.5
    Category: Thuật ngữ đời thường

    Exit mobile version