Cách giải phương trình bậc 2 số phức cực hay, chi tiết

Cách giải phương trình bậc 2 số phức cực hay, chi tiết

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

– Giải những phương trình bậc hai với thông số thực
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ; b ; c ∈ R ; a ≠ 0 ) .
Xét Δ = b2 – 4 ac, ta có

+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = .

+ Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác lập bởi công thức :

+ Δ
+ Chú ý .

Mọi phương trình bậc n: luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

Hệ thức Vi – ét so với phương trình bậc hai với thông số thực : Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ; b ; c ∈ R ; a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ( thực hoặc phức ) .

– Phương trình quy về phương trình bậc hai với thông số thực
Phương pháp 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
– Bước 1 : Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt quan trọng của phương trình .
+ Tổng những thông số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 .
+ Tổng những thông số biến bậc chẵn bằng tổng những thông số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = – 1 .
– Bước 2 : Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử ( dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne ) như sau :
Với đa thức f ( x ) = anxn + an – 1 xn – 1 + …. + a1x + ao chia cho x – a có thương là
g ( x ) = bnxn + bn – 2 xn – 2 + …. + b1x + bo dư r

Ví dụ minh họa

	an	an-1	an-2	a2	a1	ao
a	bn-1 = an	bn-2 = abn-1 + an-2	bn-3 = abn-2 + an-3	b1 = ab2 + a2	bo = ab1 + a1	r = abo + bo

– Bước 3 : Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, Kết luận nghiệm
Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ :
– Bước 1 : Phân tích phương trình thành những đại lượng có dạng giống nhau .
– Bước 2 : Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện kèm theo của ẩn phụ ( nếu có ) .
– Bước 3 : Đưa phương trình bắt đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới .
– Bước 4 : Giải phương trình, Kết luận nghiệm .

Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z2 – z + 1 = 0

Hướng dẫn:

Ta có a = 1 ; b = – 1 ; c = 1 nên Δ = b2 – 4 ac = – 3 Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là

Quảng cáo

Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z2 + √5 = 0 là:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án B

Ví dụ 3:Trong C, nghiệm của phương trình z3 – 8 = 0 là :

Hướng dẫn:

Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có :

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt .

Ví dụ 4:Trong C, phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

Hướng dẫn:

Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :
Δ = b2 – 4 ac = ( 3 i ) 2 – 4.1.4 = – 25
Chọn đáp án A .

Ví dụ 5:Cho z = 1 – i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A .

Ví dụ 6: Trong C, phương trình (z2 + i)(z2- 2iz – 1) = 0 có nghiệm là:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A .

Ví dụ 7:Trong C, phương trình có nghiệm là:

( 1 ± √ 3 ) i B. ( 5 ± √ 2 ) i C. ( 1 ± √ 2 ) i D. ( 2 ± √ ( 5 ) i )

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A .

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Trong C, phương trình 2×2 + x + 1 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 12 – 4.1.1 = – 7 = 7 i2

Quảng cáo

Câu 2:Trong C, phương trình z2 – z + 1 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Δ = b2 – 4 ac = – 3

Câu 3:Trong C, nghiệm của phương trình z2 = -5 + 12i là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = x + yi là một nghiệm của phương trình .

Do đó phương trình có hai nghiệm là

Câu 4: Trong C, phương trình z4-6z2 + 25 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Câu 5:Biết z1;z2 là hai nghiệm của phương trình z2 + √3 z + 3 = 0. Khi đó giá trị của z12 + z22 là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Câu 6: Phương trình z2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2 số a và b bằng:

A. 0 B. C. 3 D. – 1
Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Vì z = 1 + 2 i là một nghiệm của phương trình z2 + az + b = 0 nên ta có :
( 1 + 2 ) 2 + a ( 1 + 2 i ) + b = 0

a + b + 2ai = 3 – 4i

a + b = 3

Câu 7:Gọi z1;z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 – 4z + 5 = 0. Khi đó phần thực của z12 + z22 là:

A. 5 B. 6 C. 4 D. 7
Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Theo Viet, ta có:

Câu 8:Gọi z1;z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 4 = 0. Khi đó A = |z1|2 + |z2|2 có giá trị là

A. – 7 B. – 8 C. – 4 D. 8
Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z2 – 6z + 13 = 0. Tính

A. √ 17 và 4 B. √ 17 và 5 C. √ 17 và 3 D. √ 17 và 2
Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Câu 10: Gọi z1;z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 + (1-3i)z – 2(1+i) = 0. Khi đó w = z12 + z22 – 3 z1z2 là số phức có môđun là:

A. 5 B. √ 13 C. 2 √ 13 D. √ 20
Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Theo Viet, ta có:

Câu 11: Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z2 + 8|z|2 -3 = 0 là:

A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi z = a + bi là nghiệm của phương trình .
Ta có :


Vậy phương trình có 4 nghiệm phức

Câu 12: Cho phương trình z2 + mz – 6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng . Giá trị a+2b là:

A. 0 B. 1 C. – 2 D. – 1
Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho

Theo Viet, ta có:

Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có :

Câu 13:Gọi z1;z2;z3;z4 là các nghiệm phức của phương trình Giá trị của là :

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Với mọi , ta có:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

so-phuc.jsp