1. Phương trình trùng phương

– Là phương trình có dạng \ ( a { x ^ 4 } + b { x ^ 2 } + c = 0 \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left ( * \ right ) \ )

– Phương pháp:

+) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

+ ) Để xác lập số nghiệm của USD ( * ), USD ta dựa vào số nghiệm của USD ( * * ) USD và dấu của chúng, đơn cử :
USD \ bullet USD Phương trình USD ( * ) USD vô nghiệm \ ( \ Leftrightarrow \ left ( { * * } \ right ) \ ) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép âm hoặc có hai nghiệm phân biệt âm .
USD \ bullet USD Phương trình USD ( * ) USD có USD 1 $ nghiệm \ ( \ Leftrightarrow \ left ( { * * } \ right ) \ ) có nghiệm kép \ ( { t_1 } = { t_2 } = 0 \ ) hoặc \ ( \ left ( { * * } \ right ) \ ) có \ ( 1 \ ) nghiệm bằng \ ( 0 \ ), nghiệm còn lại âm .
USD \ bullet USD Phương trình USD ( * ) USD có USD 2 $ nghiệm phân biệt \ ( \ Leftrightarrow \ left ( { * * } \ right ) \ ) có nghiệm kép dương hoặc \ ( \ left ( { * * } \ right ) \ ) có \ ( 2 \ ) nghiệm trái dấu .
USD \ bullet USD Phương trình USD ( * ) USD có USD 3 $ nghiệm $ \ Leftrightarrow ( * * ) USD có USD 1 $ nghiệm bằng USD 0 $ và nghiệm còn lại dương .
USD \ bullet USD Phương trình USD ( * ) USD có USD 4 $ nghiệm $ \ Leftrightarrow ( * * ) USD có USD 2 $ nghiệm dương phân biệt .

2. Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1:  $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ với $\dfrac{e}{a} = {\left( {\dfrac{d}{b}} \right)^2} \ne 0$

 Phương pháp giải:

– Bước 1 : Chia hai vế cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 USD
– Bước 2 : Đặt USD t = x + \ dfrac { \ alpha } { x } \ Rightarrow { t ^ 2 } = { \ left ( { x + \ dfrac { \ alpha } { x } } \ right ) ^ 2 } $ với $ \ alpha = \ dfrac { d } { b } $ và thay vào phương trình .

Loại 2:  $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e$ với $a + c = b + d$

 Phương pháp giải:

– Bước 1 : Biến đổi :
USD \ left [ { ( x + a ) ( x + c ) } \ right ] \ cdot \ left [ { ( x + b ) ( x + d ) } \ right ] = e \ Leftrightarrow \ left [ { { x ^ 2 } + ( a + c ) x + ac } \ right ] \ cdot \ left [ { { x ^ 2 } + ( b + d ) x + bd } \ right ] = e USD
– Bước 2 : Đặt USD t = { x ^ 2 } + ( a + c ) x USD và thay vào phương trình .

Loại 3:  $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e{x^2}$ với $a.b = c.d.$

 Phương pháp giải:

– Bước 1 : Đặt USD t = { x ^ 2 } + ab + \ dfrac { { a + b + c + d } } { 2 } \ cdot x USD
– Bước 2 : Phương trình $ \ Leftrightarrow \ left ( { t + \ dfrac { { a + b – c – d } } { 2 } \ cdot x } \ right ) \ cdot \ left ( { t – \ dfrac { { a + b – c – d } } { 2 } \ cdot x } \ right ) = e { x ^ 2 } $ ( có dạng đẳng cấp và sang trọng )

Loại 4:  ${(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c$

Phương pháp giải:

– Bước 1 : Đặt USD x = t – \ dfrac { { a + b } } { 2 } \ Rightarrow { ( t + \ alpha ) ^ 4 } + { ( t – \ alpha ) ^ 4 } = c USD với $ \ alpha = \ dfrac { { a – b } } { 2 } \ cdot USD
– Bước 2 : Giải phương trình trên tìm \ ( t \ ) rồi suy ra \ ( x \ ) .

Loại 5:  ${x^4} = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Phương pháp giải:

– Bước 1 : Tạo ra dạng $ { A ^ 2 } = { B ^ 2 } $ bằng cách thêm hai vế cho một lượng USD 2 k. { x ^ 2 } + { k ^ 2 } $
– Bước 2 : Phương trình ( 1 ) tương tự :
USD { ( { x ^ 2 } ) ^ 2 } + 2 k { x ^ 2 } + { k ^ 2 } = ( 2 k + a ) { x ^ 2 } + bx + c + { k ^ 2 } \ Leftrightarrow { ( { x ^ 2 } + k ) ^ 2 } = ( 2 k + a ) { x ^ 2 } + bx + c + { k ^ 2 }. $
– Bước 3 : Cần vế phải có dạng bình phương $ \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } 2 k + a > 0 \ \ { \ Delta _ { VP } } = { b ^ 2 } – 4 ( 2 k + a ) ( c + { k ^ 2 } ) = 0 \ end { array } \ right. \ Rightarrow k = ? USD

Loại 6:  ${x^4} + a{x^3} = b{x^2} + cx + d\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương pháp giải:

– Bước 1 : Tạo $ { A ^ 2 } = { B ^ 2 } $ bằng cách thêm ở vế trái 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương : $ { \ left ( { { x ^ 2 } + \ dfrac { a } { 2 } x + k } \ right ) ^ 2 } = { x ^ 4 } + a { x ^ 3 } + \ left ( { 2 k + \ dfrac { { { a ^ 2 } } } { 4 } } \ right ) { x ^ 2 } + kax + { k ^ 2 }. $
Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình ( 2 ) một lượng : $ \ left ( { 2 k + \ dfrac { { { a ^ 2 } } } { 4 } } \ right ) { x ^ 2 } + kax + { k ^ 2 }, USD thì phương trình
USD ( 2 ) \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + \ dfrac { a } { 2 } x + k } \ right ) ^ 2 } = \ left ( { 2 k + \ dfrac { { { a ^ 2 } } } { 4 } + b } \ right ) { x ^ 2 } + ( ka + c ) x + { k ^ 2 } + d. $
– Bước 2 : Cần vế phải có dạng bình phương nên phải có số USD k USD thỏa :
USD \ left \ { \ begin { array } { l } 2 k + \ dfrac { { { a ^ 2 } } } { 4 } + b > 0 \ \ { \ Delta _ { VP } } = { ( ka + c ) ^ 2 } – 4 \ left ( { 2 k + \ dfrac { { { a ^ 2 } } } { 4 } + b } \ right ) ( { k ^ 2 } + d ) = 0 \ end { array } \ right. \ Rightarrow k = ? USD

3. Giải phương trình bậc ba bằng lược đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner .
Nguyên tắc nhẩm nghiệm :

$ \bullet $    Nếu tổng các hệ số bằng $0$ thì phương trình sẽ có $1$ nghiệm $x = 1.$

USD \ bullet USD Nếu tổng những thông số bậc chẵn bằng tổng những thông số bậc lẻ thì PT có USD 1 $ nghiệm USD x = – 1. $
USD \ bullet $ Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm USD x USD sao cho triệt tiêu đi tham số USD m USD và thử lại tính đúng sai .

Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn