Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán

Bài viết thời điểm ngày hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ ra mắt đến những bạn học sinh kim chỉ nan phương trình bậc hai một ẩn cũng như cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay. Đây là phần kiến thức và kỹ năng Hinh học đại trà phổ thông vô cùng quan trọng, tương quan đến nhiều dạng toán thường gặp. Các em khám phá để củng cố thêm phần kiến thức và kỹ năng nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Phương trình bậc hai một ẩn là là gì?

Bạn đang xem : Phương trình bậc hai một ẩn : kim chỉ nan và cách giải những dạng toán
Cho phương trình sau : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x .
Công thức nghiệm : Ta gọi Δ = b2-4ac. Khi đó :

• Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.

• Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
• Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b = 2 b ’, để đơn thuần ta hoàn toàn có thể tính Δ ’ = b ’ 2 – ac, tương tự như như trên :

• Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
• Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

2. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn

Cho phương trình bậc 2 một ẩn : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn nhu cầu :

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta hoàn toàn có thể sử dụng định lý Viet để tính những biểu thức đối xứng chứa x1 và x2

• x1+x2=-b/a
• x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
• 
• …

Nhận xét : Đối với dạng này, ta cần đổi khác biểu thức làm thế nào cho Open ( x1 + x2 ) và x1x2 để vận dụng hệ thức Viet .
Định lý Viet hòn đảo : Giả sử sống sót hai số thực x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu : x1 + x2 = S, x1x2 = P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0

II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Luy ý khi giải phương trình bậc hai một ẩn :
ax2 + bx + c = 0
Nếu b = 0, ta có ax2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) gọi là phương trình bậc hai khuyết b .
Nếu c = 0, ta có ax2 + bx = 0 ( a ≠ 0 ) gọi là phương trình bậc hai khuyết c .

1. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khác với phương trình không khuyết:

ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) .
Ta giải theo một trong hai giải pháp sau :
Phương pháp 1 : Biến đổi thành phương trình dạng a ( x + m ) 2 = n .
Phương pháp 2 : Biến đổi thành phương trình tích a ( x + m ) ( x + n ) = 0

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khuyết b

ax2 + c = 0 ( a ≠ 0 )
Ta được x2 = – c / a. Nếu – ca ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = √ – ca
Nếu – ca < 0 thì phương trình vô nghiệm

3. Cách giải phương trình khuyết c

ax2 + bx = 0 ( a ≠ 0 )
Ta đổi khác thành : x ( a + b ) = 0 < => x = 0 và ax = – b < => x = 0 và x = − b / a
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = − b / a

III. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Dạng 1: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số

a. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương pháp : Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm .
Ví dụ 4 : Giải và biện luận theo tham số m : mx2-5x-m-5 = 0 ( * )
Hướng dẫn :
Xét m = 0, khi đó ( * ) ⇔ – 5 x – 5 = 0 ⇔ x = – 1
Xét m ≠ 0, khi đó ( * ) là phương trình bậc 2 theo ẩn x .

• 
• Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
• Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
• Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

b. Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

• Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
• Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

Ví dụ 5 : Cho phương trình x2 + mx + m + 3 = 0 ( * ). Tìm m để phương trình ( * ) có 2 nghiệm thỏa mãn nhu cầu :

Hướng dẫn :
Để phương trình ( * ) có nghiệm thì :

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet :

Mặt khác :

Theo đề :

Thử lại :

• Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
• Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = – 3 thỏa nhu yếu đề bài .

2. Dạng 2: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số

Để giải những phương trình bậc 2, cách thông dụng nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ ’, rồi vận dụng những điều kiện kèm theo và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I .
Ví dụ 1 : Giải những phương trình sau :

1. x2-3x+2=0
2. x2+x-6=0

Hướng dẫn :

1. Δ=(-3)2-4.2=1. Vậy

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý 

suy ra phương trình có nghiệm là x1 = 1 và x2 = 2/1 = 2

1. Δ=12-4.(-6)=25. Vậy

Tuy nhiên, ngoài những phương trình bậc 2 không thiếu, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt quan trọng sau :

a. Phương trình khuyết hạng tử

Khuyết hạng tử bậc nhất : ax2 + c = 0 ( 1 ) .

Phương pháp:

• 
• Nếu -c/a>0, nghiệm là:

Nếu – c / a = 0, nghiệm x = 0

• Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do : ax2 + bx = 0 ( 2 ). Phương pháp :

Ví dụ 2 : Giải phương trình :

1. x2-4=0
2. x2-3x=0

Hướng dẫn :

1. x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
2. x2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

b. Phương trình đưa về dạng bậc 2

Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

• Đặt t=x2 (t≥0).
• Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
• Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
• Quy đồng khử mẫu.
• Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý : chiêu thức đặt t = x2 ( t ≥ 0 ) được gọi là giải pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, so với 1 số ít bài toán, cần khôn khéo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm mục đích đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, hoàn toàn có thể đặt t = x + 1, t = x2 + x, t = x2-1 …
Ví dụ 3 : Giải những phương trình sau :

1. 4×4-3×2-1=0
2. 

Hướng dẫn :

1. Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4 t2 – 3 t – 1 = 0, suy ra t = 1 hoặc t = – ¼

• t=1 ⇔ x2=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
• t=-¼, loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = – 1 .

1. Ta có:

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn cũng như cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng tại đường link này nữa nhé !

Đăng bởi : trung học phổ thông Sóc Trăng
Chuyên mục : Giáo dục đào tạo

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn