Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 5 : Khoảng Cách

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

Sách giải toán 11 Bài 5 : Khoảng cách giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện năng lực suy luận hài hòa và hợp lý và hợp logic, hình thành năng lực vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác :

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 5 trang 115: Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a

Lời giải

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là OH ( H là hình chiếu vuông góc của O trên a )
Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ⇒ khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kể của đường thẳng a

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 5 trang 115: Cho điểm O và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng ( α ) ⇒ OH = khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( α )
M là điểm bất kể thuộc mặt phẳng ( α ), xét quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu OH Lời giải

Lấy điểm A ∈ a, A ’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( α ) ⇒ AA ’ = khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( α )
Mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( α ) là bé nhất so với các khoảng cách từ A tới một điểm bất kỳ của mặt phẳng ( α ) .
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( α ) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kể thuộc a tới một điểm bất kể thuộc mặt phẳng ( α ) .

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 5 trang 116: Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

Lời giải

hai mặt phẳng song song ( α ) và ( β ) nên có 1 đường thằng a ∈ ( α ) và a / / ( β )
⇒ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( β ) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kể thuộc a tới một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ( β ) .
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( α ) và ( β ) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kể của mặt phẳng này tới một điểm bất kể của mặt phẳng kia .

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 5 trang 116: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng: MN ⊥ BC và MN ⊥ AD (h.3.42)

Lời giải

Tứ diện đều ABCD nên các mặt của tứ diện là các tam giác đều bằng nhau
NB = NC vì là trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau
⇒ ΔBNC cân tại B
NM là đường trung tuyến của tam giác cân BNC
⇒ MN ⊥ BC
Chứng minh tương tự như MN ⊥ AD

Lời giải

Theo nhận xét trang 117
– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
Áp dụng chứng tỏ câu 3 trang 116, ta có đpcm
– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó .
Áp dụng chứng tỏ câu 4 trang 116, ta có đpcm

Bài 1 (trang 119 SGK Hình học 11): Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng?

a ) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥ a và Δ ⊥ b .
b ) Gọi ( P. ) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với ( P. ) .
c ) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( a, Δ ) và ( b, Δ ) .
d ) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b .
e ) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia .

Lời giải:

a) Sai

Sửa lại : “ Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥ a và Δ ⊥ b ”
b ) Đúng
c ) Đúng
d ) Sai
Sửa lại : Đường thẳng đi qua M trên a và vuông góc với a, đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b .
e ) Sai .

Bài 2 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho tứ diện S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng

a ) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy .
b ) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng ( BHK ) và HK vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) .
c ) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA .

Lời giải:

Bài 3 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình lập phương ABCD.A‘B‘C‘D‘ cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A‘, B‘ và D‘ đến đường chéo AC‘ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải:

ΔBAC ’ = ΔCAC ’ = ΔDAC ’ = ΔA ’ AC ’ = ΔB ’ AC ’ = ΔD ’ AC ’
⇒ Các đường cao hạ từ B ; C ; D ; A ’ ; B ’ ; D ’ xuống AC ’ bằng nhau
Gọi khoảng cách đó là h .
Ta có : CC ’ = a ; CA = a √ 2 .
ΔC ’ AC vuông tại C

Bài 4 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A‘B‘C‘D‘ có AB = a, BC = b, CC‘ = c.

a ) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACC ‘ A ‘ ) .
b ) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB ‘ và AC ‘ .

Lời giải:

Bài 5 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a ) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng ( BA’C ’ )
b ) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( BA’C ’ ) và ( ACD )
c ) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC ’ và CD ’

Lời giải:

Bài 6 (trang 119 SGK Hình học 11): Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.

Lời giải:

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD
Qua K kẻ đường thẳng d / / AB, trên d lấy A ’, B ’ sao cho K là trung điểm của A’B ’ và KA ’ = IA
Ta có B’C = A’D ( vì ΔKB ’ C = ΔKA ’ D )
Vì BB ’ / / AA ’ / / IK mà IK là đường vuông góc chung của AB và CD nên BB ’ ⊥ B’C và AA ’ ⊥ A’D
Hai tam giác vuông BCB ’ và ADA ’ có BB ’ = AA ’ và CB ’ = A’D nên ta suy ra AD = BC

Chứng minh tựa như ta có AC = BD

Bài 7 (trang 120 SGK Hình học 11): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC).

Lời giải:

Bài 8 (trang 120 SGK Hình học 11): Cho tứ diện ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó.

Lời giải: