Cho hình chóp sabc tính khoảng cách từ A đến SBC

adnhacly

3 năm trước

KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT MAËT PHAÚNG

I ). PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :v Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, là một dạng toán rất quan trọng trong chương vuông góc của lớp 11 và là một phần hay ra trong đề thi Đại Học .

Để giải quyết vấn đề này các bạn phải thành thạo hai công cụ sau và nó liên quan với nhau :

Bạn đang đọc: Cho hình chóp sabc tính khoảng cách từ A đến SBC

Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên

Phương pháp xác lập khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên .BƯỚC 1 : Xác định giao tuyến d

BƯỚC 2 : Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, DỰNG ( ).

BƯỚC 3 : Dựng .Khoảng cách cần tìm là AI

Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt dưới .Ba bước dựng ở trên là sử dụng đặc thù : Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một đường thuộc mặt phẳng náy vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông vuông với mặt phẳng kia .

v Đây là bài toán cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong việc tính khoảng cách từ một đểm đến một mặt phẳng .Hầu như tính khoảng cách từ một điểm BẤT KỲ đến mặt phẳng bên đều thông qua điểm này dựa vào công thức của bài toán 2 .

Ví dụ điển hình : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) .Hãy xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC).

Ta có BC là giao tuyến của mp(SBC) và (ABC).

Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng tại H. Dựng tại I

Vì .

Mặt phẳng ( SBC ) vuông góc với mặt phẳng ( SAH ) theo giao tuyến SH có

nên

Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng

Thường sử dụng công thức sau :

Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P. ) .Phương pháp phải tìm một đường thẳng d qua M và chứa một điểm A mà hoàn toàn có thể tính khoảng cách đến mặt phẳng ( P. ). KINH NGHIỆM thường điểm A là hình chiếu của đỉnh .

Để hiểu và tự làm được bài tập thì những tính chất của hình học và phương pháp làm bài tập các bạn phải khắc vào trong tim.

II). BÀI TẬP MẪU

Câu 1: DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết

LỜI GIẢI

Đây là bài toán cơ bản tất cả chúng ta đã nói ở phần trên

Gọi E trung điểm BC thì (vì ABC đều).

Có ,

mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SE, trong mp(SAE) dựng tại F. Suy ra . Vậy .

Trong tam giác vuông SAE có

Kết luận .

Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = và = 300. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

LỜI GIẢI

H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S, hai điểm B và H cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng ( SAC ) tại C. Nên bước tiên phong ta phải tính khoảng cách từ điểm H đến mp ( SAC ), sau đó sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách từ điểm B đến mp ( SAC ). Cách làm đơn cử như sau :

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC. Do vuông góc với nhau theo giao tuyến BC nên .

Trong vuông tại H có .

Trong mp(ABC) dựng tại G. Ta có mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SG, trong mp(SHG) dựng tại K .

Vậy .

Ta có .

Trong vuông tại H : .

Hai điểm H và B nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( SAC ) tại C, nên có :

Các bạn phải nắm vững chiêu thức tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt bên

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a, . Gọi M là trung điểm BC. Biết SA = SB = SC = .

a ). Tính chiều cao của hình chóp .b ). Tính khoảng cách từ M đến mp ( SAB ) .

LỜI GIẢI

a). Tính chiều cao của hình chóp.

Vì vuông tại A, M trung điểm của BC nên có (1)

Theo đề (2) .

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra M là hình chiếu vuông góc của S lên mp ( ABC ) .

Vậy .

Trong có

b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB).

CHÚ Ý : M là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp ( ABC ) .

Trong mp(ABC) dựng tại F, có mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SF, trong mp(SMF) dựng tại F .

Do đó

MBA là tam giác cân có góc 600, nên MBA đều .

Trong SMF vuông tại M:

Vậy .

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng SA= và đường thẳng SC tạo với đáy một góc . Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).

LỜI GIẢI

Trong vuông tại S có

Có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD). Vậy góc giữa SC và (ABCD) là góc , .

Ngoài ra .

Muốn tính khoảng cách từ M đến mp ( SBC ), ta phải tính khoảng cách từ H ( hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy ) đến mp ( SBC ) trước, sau đó sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ M đến mp ( SBC ) .

Dựng Ta có , mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng . Vậy .

Trong vuông tại H có

Vì nên .

Hai điểm A và M cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp ( SBC ) tại B, có

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). (A 2014 ).

LỜI GIẢI

Gọi H là trung điểm của AB, O là giao điểm của AC và BD .

Theo đề bài ta có .

vuông tại A có

vuông tại H có

Dựng . Có và mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng . Vậy .

Ta có , trong có

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( SBD ) tại B có :

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). (B 2014 ).

LỜI GIẢI

Gọi H là trung điểm của AB. Theo đề bài ta có .

Có HC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABC), nên góc giữa A’C và mặt phẳng (ABC) là góc . Do đó .

Dựng . Có và mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến A’K, dựng .

Vậy .

Ta có ,

trong có .

Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( ACC’A ‘ ) tại A có :

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M,N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP).

LỜI GIẢI

Ta có , mà .

Vậy tại H.

Trong có ,

, .

Muốn tính khoảng cách từ C đến mp ( SBP ), ta phải tính khoảng cách từ H ( hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy ) đến mp ( SBP ) trước, sau đó sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ C đến mp ( SBP ) .

Gọi , suy ra K trung điểm của HC, vậy .

Vì BPDM là hình bình hành nên , và có suy ra mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng . Vậy .

Trong vuông tại H có .

Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp ( SBP ) tại K, có

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC ,đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SB và đáy ABC bằng 600. I trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SI

a ). Chứng minh tam giác ABH vuông .b ). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt phẳng ABH

LỜI GIẢI

a). Chứng minh tam giác ABH vuông .

Ta có

hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, có

Kết luận tam giác ABH vuông tại H .

AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC), nên góc giữa SB và (ABC) là góc .

b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt phẳng ABH

Ta có , từ I thuộc BC kẻ , mà HB là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc (ABH) và (SBC), nên suy ra . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABH) là IK .

Trong vuông tại A có , .

Trong vuông tại I có : .

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng ( ABH ) là A, theo công thức tính tỉ lệ khoảng cách có

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O, AB = 2a, SA = 4a. Tính:

a ). Khoảng cách từ O đến ( SAB ). b ). Khoảng cách từ A đến ( SCD ) .

LỜI GIẢI

a). Khoảng cách từ O đến (SAB).

Do S.ABCD là hình chóp đều nên .( các bạn để ý O là hình chiếu của đỉnh S)

Trong mp(ABCD) dựng tại I, thì mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong (SOI) dựng tại H . Vậy .

Có OI là đường trung bình của .

Trong vuông tại O : .

Trong vuông tại O :

b). Khoảng cách từ A đến (SCD).

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên khoảng cách từ tâm O đến các mặt bên bằng nhau, nên .

Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( SCD ) tại C, nên có :

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300.

a ). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) .b ). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) .c ). Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC, trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng ( SBD ) .d ). Tính khoảng cách từ O, I và G đến mặt phẳng ( SAB ) .

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Vì SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)

Trong vuông tại B có

Trong vuông tại A có

+ Ta có mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến ,trong mp(SAC) dựng .

+ Trong tam giác vuông SAO có:

Vậy .

b). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại O nên có: .

c). Tính khoảng cách từ I và G đến mặt phẳng (SBD)

Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại S nên có: .

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại D nên có: .

d). Tính khoảng cách từ O, I và G đến mặt phẳng (SAB).

ở câu a) ta có .

v Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng ( SAB ) tại S nên có

Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng ( SAB ) tại A nên có

Vì nên .

Vì hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại S nên có: .

Thông qua bài tập này các bạn thấy mấu chốt của bài toán là dựa vào khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh ở đây là điểm A, sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách .

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a, SA vuông góc với đáy (ABCD) và .

a ). Tính khoảng cách từ A, B đến ( SCD ) .b ). Tính khoảng cách từ AD đến ( SBC ) .

LỜI GIẢI

Có mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SC, trong (SAC) dựng ( ) . Vậy .

Trong vuông tại C có .

Trong tam giác vuông SAC có .

ü Kết luận .

Gọi M trung điểm của AD thì , gọi nên .

Hai điểm A và O cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( SCD ) tại C nên

Ta có: .

ü Kết luận .

b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).

Vì

Trong mp(ABCD) dựng , có mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, trong mp(SAK) dựng .

Tính AK: .

Trong tam giác vuông SAK: .

Kết luận .

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).

LỜI GIẢI

Gọi H là giao điểm của BM và AN. Ta có , Mà . Vậy

Ta có .

BM là giao tuyến của mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) và có , nên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng AN và SH là góc .

Tam giác SAH vuông cân tại A

Trong tam giác vuông ABM :

Có mà , hai mặt phẳng (SBM) và (SAN) vuông góc nhau theo giao tuyến SH, trong (SAN) dựng suy ra .

Trong tam giác SAH vuông cân tại A có .

Hai điểm A và D cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBM) tại M nên có : .

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi I, J là trung điểm của SC và AB.

a). Chứng minh IO (ABCD). b). Tính khoảng cách từ I đến CJ.

LỜI GIẢI

a). Chứng minh IO (ABCD).

Trong tam giác SAC có OI là đường trung bình của tam giác. Nên có :

b). Tính khoảng cách từ I đến CJ.

Trong (ABCD) dựng tại H. Ta có

Khoảng cách từ I đến CJ là HI. Gọi nên G là trọng tâm của tam giác ABC ,với .

Trong vuông tại O có .

Trong vuông tại O : .

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = .

a ). Tính khoảng cách từ AA ‘ đến ( BCC’B ‘ ) .b ). Tính khoảng cách từ A đến ( A’BC ) .c ). Chứng minh AB ( ACC’A ‘ ) và tính khoảng cách từ A ‘ đến ( ABC ‘ ) .

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BCC’B’).

do ABC.ABC là lăng trụ đứng nên các đường thẳng AA, BB, CC vuông góc với các đáy ( ABC ) và ( ABC ) .Dựng tại H. có

Tam giác ABC vuông tại A có và .

Kết luận

Vì AA ‘ / / BB ‘

b). Tính khoảng cách từ A đến (A’BC).

Có và mà

, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến A’H trong (AAH) dựng .

Vậy .

Trong có : .

Kết luận .

c). Chứng minh AB (ACC’A’), vì

Vì , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến AC’, dựng . Vậy

Trong có .

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA đáy và SA = .

a ). Tính khoảng cách từ A tới mp ( SBC ) .b ). Tính khoảng cách từ O đến mp ( SBC ) .c ). Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp ( SAC ) .

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC).

Ta có

, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SB trong mp(SAB) dựng tại H . Vậy

Trong có .

Kết luận .

b). Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).

Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( SBC ) tại C, nên có :

c). Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC).

Ta có .

Hai điểm B và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với ( SAC ) tại I với I trung điểm của SA, nên có :

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc với đáy (ABCD). Gọi I, M là trung điểm của SC, CD .

a ). Tính khoảng cách từ A đến ( SBD ). b ). Tính khoảng cách từ I đến ( SBD ) .c ). Tính khoảng cách từ A đến ( SBM ) .

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

Trong mp(ABCD) dựng tại O

Có và

mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SO, trong (SAO) dựng tại H .

Vậy .

Trong có

Trong có .

Kết luận .

b). Tính khoảng cách từ I đến (SBD)

Gọi . Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại N, nên có:

Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( SBD ) tại S, nên có :

c). Tính khoảng cách từ A đến (SBM).

Trong mp(ABCD) dựng , có mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, trong (SAK) dựng .

Có .

Có

Trong có .

Kết luận .

Câu 17: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a và AC = a. Từ trung điểm H của AB dựng SH vuông góc với (ABCD) với SH = a.

a ). Tính khoảng cách từ H đến ( SCD ) .b ). Tính khoảng cách từ O đến ( SCD ) .c ). Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) .

LỜI GIẢI

a). Tính khoảng cách từ H đến (SCD).

Trong (ABCD) dựng tại K .

Ta có

mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, trong (SHK) dựng tại I

Vậy .

Vì ( đều )

Trong vuông tại H : .

Kết luận .

b). Tính khoảng cách từ O đến (SCD).

Gọi M là giao điểm của HO và CD, O là tâm đối xứng của đáy suy ra O trung điểm của HM. Nên .

c). Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Muốn tính khoảng cách từ A đến mp ( SBC ), ta phải tính khoảng cách từ H đến mp ( SBC ) trước sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách

Trong (ABCD) dựng tại L, có

, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SL, trong mp(SHL) dựng tại J .

Ta có đều nên . Trong HBL: .

Trong vuông tại H :

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( SBC ) tại B nên có

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a và SA đáy (ABCD), đáy là hình thang vuông tại A và B, có AB = BC = a, AD = 2a.

a ). Tính khoảng cách từ A, B đến ( SCD ). b ). Tính khoảng cách từ AD đến ( SBC ) .

LỜI GIẢI

a). Đáy được vẽ lại ở hình 2. Dễ dàng chứng minh .

Có hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SC, trong (SAC) dựng .

Vậy .

Trong có .

Kết luận .

Gọi M là trung điểm của AD, thì BCDM là hình vuông . Gọi . Vì .

Hai điểm O và A nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C nên có .

Kết luận .

b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).

Ta có , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SB, trong (SAB) dựng

Vậy .

Trong có .

Kết luận .

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với , BD = a, SA đáy (ABCD), góc giữa mp(SBC) và mp đáy là . Tính:

a ). Đường cao của hình chóp. b ). Khoảng cách từ A đến ( SBC ) .

LỜI GIẢI

a). Gọi , trong (ABCD) dựng . Có

Có

Dễ thấy ABC là tam giác đều , và .

Trong có: .

b). Theo câu a) có mà , trong (SAH) dựng . Vậy .

Kết luận .

Câu 20: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. 900, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính ( theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

LỜI GIẢI

Gọi M trung điểm của AD có ,vậy tam giác ACD vuông tại C. Có . Kết luận tam giác SCD vuông tại C.

Trong (SAC) dựng tại I. Có

Trong vuông tại A có

Gọi .Ta có nên

Vậy .

Hai điểm A và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SCD) tại C nên: .

Trong vuông tại A có :

Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SCD) tại S nên: .

Câu 21: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc = 600 và SA=SB = SD = a.

a ). Chứng minh ( SAC ) vuông góc với ( ABCD ) .b ). Chứng minh tam giác SAC vuông .c ). Tính khoảng cách từ S đến ( ABCD ) .

LỜI GIẢI

a). Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD .

Ta có cân tại S có O là trung điểm của BD nên ; ABCD là hình thoi nên .

mà .

b). Chứng minh tam giác SAC vuông:

Ta chứng tỏ SO = AO = OC .

§ Do cân tại A có đều.

§ đều cạnh a có AO là đường trung tuyến .

§ Xét vuông tại O, ta có : .

, mà SO là đường trung tuyến của vuông tại S.

Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến

vuông tại A .

Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng vớicạnh huyền bằng 50% cạnh huyền

c). Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Xét hình chóp S.ABD :

Ta có : SA = SB = SD = a, AB = BD = DA = a nên S.ABD là hình chóp đều .

Gọi H là trọng tâm của (Theo tính chất của hình chóp đều).

tại H .

§ Vì H là trọng tâm nên .

§ Trong vuông tại H, ta có :

Câu 22: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , Gọi H là trung điểm SB.

a). Chứng minh:

b). Xác định và tính góc giữa SC và .

c). Gọi G là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách từ G đến

LỜI GIẢI

a). Có ,

mà .

Có

(1).

Vì vuông cân tại A (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

b). AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD) do đó góc giữa SC và mp(ABCD) là góc .

Trong vuông tại A có .

c). Gọi E trung điểm của AB. Dựng

.Vậy .

Có .

Hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với ( SAC ) tại S, có :

Câu 23: Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại B với và . Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB và G là trọng tâm của .

a). Chứng minh: .

b). Tính góc giữa hai đường thẳng SC và .

c). Tính góc giữa hai mặt phẳng và .

d). Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng .

LỜI GIẢI

a ). Có

(1)

Theo đề (2).

Từ (1) và (2) suy ra ,

mà

Có SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB), do đó góc giữa SC và (SAB) là góc .

Trong vuông tại B có .

c). Có .

Trong vuông tại A có .

d). Theo giả thuyết có vuông cân tại A trung điểm của SB

Gọi H trung điểm của AB. Dựng

.Vậy .

Có .

Hai điểm H và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với ( SAC ) tại S, có :

Câu 24: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Hai mặt bên và cùng vuông góc với đáy,

a). Chứng minh: .

b ). Xác định và tính góc giữa SB và mặt phẳng .

c). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng .

d ). Xác định và tính góc giữa và .

LỜI GIẢI

a). Theo đề bài

Có

Có , mà .

b). Có SO là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(SAC), do đó góc giữa SB và (SAC) là góc .

Trong vuông tại O có

. Kết luận

c). Theo câu a) có , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SD, trong mp(SAD) dựng

. Vậy .

Trong vuông tại A có

Có

Kết luận .

d). Trong mp(SBC) dựng tại H, do . Từ đó suy ra .

Có hoặc

Trong vuông cân tại A

Trong vuông tại B có Bảo hành là đường cao

Dễ dàng tính được

Áp dụng định lì cosin cho tam giác BDH

Vậy .

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.

a). Chứng minh: .

b ). Tính góc hợp bởi đường thẳng AC và mặt phẳng .

c). Tính góc của hai mặt phẳng và .

d ). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng .

LỜI GIẢI

a ). Có ,

mà .

b). Vì (SBC) và (SAB) vuông góc với nhau theo giao tuyến SB, trong mp(SAB) có .

Như vậy có CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC), nên góc giữa AC và (SBC) là góc .

Trong vuông tại A có

Trong hình chữ nhật ABCD có

Trong vuông tại H có

c). Trong mp(ABCD) dựng , có

Có

Trong vuông tại A có .

d). Theo câu c) có , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong mp(SAI) dựng . Vậy .

Trong vuông tại A có .

Kết luận

Câu 26: Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, . Dựng hai đoạn BB = a, CC = 2a cùng vuông góc với mp(P) và ở cùng một bên với (P). Tính khoảng cách từ:

a ). C đến mp ( ABB ). b ). Trung điểm B’C đến mp ( ACC ) .c ). B ‘ đến mp ( ABC ) .

LỜI GIẢI

Trong :

b. Gọi E trung điểm của CB ‘ .

Có .

Vậy .

Ta có

Ta có EB ‘ và mặt phẳng ( ACC ‘ ) cắt nhau tại C nên :

c). Vì . Gọi , để tính khoảng cách từ B’ đến mp(ABC’), ta phải thông qua khoảng cách từ C đến mp(ABC’), vì C là hình chiếu vuông góc của đỉnh, nên tính khoảng cách từ C đến mặt bên (ABC’) là rất dễ dàng.

Trong tam giác ACC’ kẻ .

Ta có

Trong vuông tại C : .

Ngoài ra .

F là giao điểm của CB ‘ với mp ( ABC ‘ ) nên :

Câu 27: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2013

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy, , M là trung điểm của cạnh BC và .Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

LỜI GIẢI

Vì ABCD là hình thoi có

đều, nên

và . Trong vuông tại A có .

Do AD / / BC nên

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM .

Ta có .

Vì . Vậy .

Trong vuông tại A có

Kết luận .

Câu 28: ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2013

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

LỜI GIẢI

Dựng với .Mà mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến BC, suy ra .

Vì SBC đều nên H trung điểm của BC và

Trong tam giác ABC vuông tại A có

Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

Dựng với .

Ta có .Hai mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SHF) theo giao tuyến SF và , suy ra

Vậy . Có (HF đường trung bình tam giác ABC).

Trong vuông tại H : .

Vì hai điểm H và C cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng ( SAB ) tại B nên

Câu 29: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2013

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông vắn cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) .

LỜI GIẢI

Gọi H trung điểm của AB, vì tam giác SAC đều nên và . Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) theo giao tuyến BC, suy ra .

Do AB // CD và , nên .

Gọi G trung điểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SG .

Có .

Vì .

Trong vuông tại H có : .

Kết luận .

TÍNH KHOẢNG CÁCH NHỜ TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG

Định nghĩa:

Tứ diện vuông là tứ diện có một góc tam diện ba mặt vuông. Trong tứ diện vuông có một đặc thù đáng quan tâm sau đây .

Tính chất:

Giả sử O.ABC là tứ diện vuông tại O ( OA OB, OB OC, OC OA ) .Khi đó đường cao OH của tứ diện OABC được tính theo công thức

= + + .

Chứng minh:

Dựng , dựng

Ta có

Hai mặt phẳng (ABC) và (AOD) vuông góc với nhau theo giao tuyến AD có nên suy ra

Trong các tam giác vuông OBC và OAD có

= + ; = +

Vì vậy : = + + .Sử dụng đặc thù này để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong nhiều trường hợp tỏ ra khá bất lợi. Đây là công thức đẹp và cũng được hay sử dụng. Trong đề thi Đại Học những năm vừa mới qua có nhiều bài sử dụng công thức này, tất cả chúng ta lần lượt xem những ví dụ sau đây :

Câu 1: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002

Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết , .Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

LỜI GIẢI

Ta có vuông tại A.

Tứ diện ABCD có đôi một vuông góc với nhau tại A nên

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = .

a ) Tính d ( O ; ( SBC ) ), d ( A ; ( SBC ) ). b ). Tính d ( AD ; SB ) .

LỜI GIẢI

a ) Từ giả thiết có tam giác ABC đều nên có

OB = ; OC = .

Do tứ diện OSBC vuông tại O

nên

= + +

= + + = .

Suy ra d(O;(SBC)) =

Tính khoảng cách từ A mặt phẳng ( SBC ) thì ta sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách. Vì 2 điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng ( SBC ) tại C nên có :

b ). Vì AD / / mp ( SBC ) nên d ( AD ; SB ) = d ( AD ; ( SBC ) ) = d ( A ; ( SBC ) ) = .

Câu 3: Cho hình lập phượng có cạnh bằng a. Tính .

LỜI GIẢI

Vì nên có :

Vì hai đểm A và D ‘ nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( DA’C ‘ ) tại O nên có

Tứ diện vuông tại D’ nên

Kết luận d(AC ; ) =

Câu 4: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

Cho lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, cạnh bên . Gọi M là trung điểm của BC

a) Tính b) Tính

LỜI GIẢI

a). Gọi E là trung điểm của thì .

Do đó

Vì E trung đểm BB ‘ nên

Vì tứ diện BAME là tứ diện vuông tại B nên ta có :

= + + =

Suy ra d( ; (AME)) = . Kết luận d(AM ; ) =

b ). Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( AB’C ) các bạn lanh mắt tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( AB’C ) trước vì BB’AC là tứ diện vuông, sau đó sử dụng công thức tỉ số khoảng cách thì tính được khoảng cách từ M. Ta tính như sau :

Vì đường thẳng qua 2 điểm B và M có giao điểm với mặt phẳng ( AB’C ) tại C nên có :

Câu 5: Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của . Tính .

LỜI GIẢI

Vì đề bài cho chưa có góc nào để có tứ diện vuông, nên ta phải dựng thêm đường thẳng để có tứ diện vuông. Vì ABC đều nên ta nghĩ ngay đến kẻ đường cao của tam giác .Gọi O và O ‘ lần lượt là trung điểm của BC và B’C ‘. Ta có ngay tứ diện vuông tại OGọi P. là giao điểm của OO ‘ với CN .Vì B’M / / AN suy ra B’M / / mp ( CAN ) nên

Muốn tính khoảng cách từ B đến ( ACN ) trải qua khoảng cách từ O đến ( ACN )Mặt phẳng ( ACN ) và mặt phẳng ( ACP ) như nhau .Ta có OA, OP, OC đôi một vuông góc tại O nên O.ACP là từ diện vuông tại O nên có

Vì BO có giao điểm với mặt phẳng ( CAN ) tại C nên có

Câu 6: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang, , . Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính d(H; (SCD))

LỜI GIẢI

Gọi M là giao điểm của AB với CD ; K là giao điểm của AH với SM. Dể thấy B là trung điểm của AM. Ta có :

= = = =

Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM

Từ đó = =

Tứ diện A.SDM vuông tại A nên : = + + =

Suy ra d(A,(SCD)) = a .Vậy d( H,(SCD))=

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A’D .

LỜI GIẢI

Gọi M là trung điểm của BB ‘ .Ta có A’M / / KC nên

d(CK, ) = d(CK, ( ))

= d ( K, ( ) )

Gọi N là giao điểm của AK với , P là giao điểm của AB với

Khi đó = =

Suy ra d(CK; ) = =

Tứ diện vuông tại A nên = + + =

Suy ra d(A;( )) = . Vậy d( CK; )= .

HAI ÑÖÔØNG THAÚNG CHEÙO NHAU

1). Khái niệm :

Hai đường thẳng a và b không cùng thuộc một mặt phẳng ( không có mặt phẳng nào chứa cả a và b ) thì ta nói hai đường thẳng a và b chéo nhau .

2). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng :

Nếu có đường thẳng d lần lượt vuông góc với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau lần lượt tại M và N, thì đường thẳng d gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b, còn độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .Có hai dạng toán chính của bài này là :Dạng 1 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng cheo nhauDạng 2 : Xác định đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau .Chúng ta lần lượt xét các giải pháp giải đơn cử của hai dạng trên như sau :

DẠNG 1 :Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp chung ta phải chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Thường xảy ra những trường hợp sau đây :1 ). Nếu đường thẳng a thuộc một mặt phẳng ( P. ), và đường thẳng b song song với mặt phẳng ( P. ). Thì khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách từ đường thẳng b đến mặt phẳng ( P. ), CHỌN một điểm M thích hợp thuộc b sao có hoàn toàn có thể tính khoảng cách thuận tiện đến mặt phẳng ( P. ). Khoảng cách từ M đến ( P. ) là khoảng cách giữa hai đường a và b .Chú ý : Nếu không tìm được một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia, thì ta phải dựng mặt phẳng ( P. ) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia .2 ). Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng ( P. ), đường thẳng b thuộc mặt phẳng ( Q. ). Mà hai mặt phẳng ( P. ) và ( Q. ) song song với nhau, thì khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách ( P. ) và ( Q. ) .3 ). Cụ thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, với a là cạnh bên còn b là một cạnh của đáy. Cách làm như sau :Gọi I là giao điểm của đường thẳng a với mặt dưới. Từ I dựng đường thẳng song song với b. Lúc đó b song song với mặt phẳng ( P. ) chứa a và. Chọn một điểm M trên b sao cho hoàn toàn có thể tính khoảng cách đến mặt phẳng ( P. ). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P. ) bằng khoảng cách giữa a và b .Thông qua các ví dụ sau các bạn sẽ hiểu rõ hơn :

Câu 1: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a .

LỜI GIẢI

Ta có , và hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Suy ra . Mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, suy ra MN // BC và N trung điểm của AC.

Trong tam giác ABC có .

Ngoài ra : .

Vì : .

Xét vuông tại A : .

Tính khoảng cách giữa AB và SN, đây là bài toán tính khoảng cách giữa cạnh bên SN và cạnh đáy AB. Do chưa có mặt phẳng nào chứa một trong hai đường trên nên ta phải dựng một mặt phẳng ( P. ) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Cách dựng theo giải pháp 3 ở trên :

Có N là giao điểm của cạnh bên SN với mặt đáy (ABC). Từ N kẻ , suy ra ( vì ).

Nên .

Chú ý : A là hình chiếu của đỉnh, còn mặt phẳng ( SNx ) là mặt phẳng bên, các bạn xem lại chiêu thức tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên một mặt phẳng bên ở bài khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .

Trong (ABC) dựng tại I. Vì .

Hai mặt phẳng (SNx) và (SAI) vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong (SAI) dựng . Vậy .

Ta có .

Trong vuông tại A có

Kết luận .

Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2012.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

LỜI GIẢI

Áp dụng định lý cosin cho tam giác AHC có :

Ta có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC). Nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là góc .

Trong tam giác SCH vuông tại H có .

Tính khoảng cách giữa SA và BC, đây là bài toán tính khoảng cách giữa cạnh bên SA và cạnh đáy BC. Do chưa có mặt phẳng nào chứa một trong hai đường trên nên ta phải dựng một mặt phẳng ( P. ) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Cách dựng theo chiêu thức 3 ở trên :

A là giao điểm của cạnh bên SA với mặt đáy (ABC). Từ A Kẻ , suy ra ( vì ).

Nên .

BC song song với mặt phẳng ( SAx ) thì khoảng cách mọi điểm trên đường thẳng BC đến mặt phẳng ( SAx ) đều bằng nhau. Vì sao Thầy lại chọn điểm B mà không chọn điểm khác chẵn hạn là C, là vì điểm B nằm trên đường thẳng có chứa điểm H là hình chiếu của đỉnh, việc tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng bên ( SAx ) là rất thuận tiện. Thông qua công thức tính tỉ số khoảng cách thì ta tính được khoảng cách từ B .Nên trên triết lý Thầy có nói chọn điểm M thích hợp hoàn toàn có thể tính khoảng cách đến mp ( P. ), đơn cử ở bài này là điểm B .

Trong (ABC) dựng tại I .

Vì .

Hai mặt phẳng (SAx) và (SHI) vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong (SHI) dựng . Vậy .

Trong vuông tại I có .

Trong vuông tại H có .

Đường thẳng đi qua hai điểm B và H có giao điểm với mặt phẳng ( SAx ) là A nên

Kết luận .

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = . Gọi I, K là trung điểm của AD, BC.

a ). Chứng minh ( SIK ) ( SBC ) .b ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD .LỜI GIẢI

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có (tính chất hình vuông). Theo đề bài SA = SB = SC = SD = . Suy ra O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) nên .

Có

( vì ).

Có AD BC , nên (vì ).

Hai mặt phẳng (SBC) và (SIK) vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, trong (SIK) dựng .

Trong vuông tại O có .

Trong vuông tại O có

Hai điểm I và O cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( SBC ) tại K nên

Kết luận .

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB=2a, BD= , mặt bên SAB là tam giác cân dỉnh A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a.

LỜI GIẢI

Xem thêm: Các dạng hình tam giác trong Toán học – Babelgraph

Do , trong có

Do cân tại A nên có , trong vuông tại H có:

Có , nên

Muốn tính khoảng cách từ C đến mp ( SAB ), ta phải tính khoảng cách từ H ( hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy ) đến mp ( SAB ) trước, sau đó sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ C đến mp ( SAB ) .

Dựng Ta có , mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng . Vậy .

Ta có

Trong vuông tại H có

Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp ( SAB ) tại A, có

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB=a, AD=2a. Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm đoạn MI. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với điểm N. Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng đáy (ABCD) bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a.

LỜI GIẢI

Có . Tam giác BMN vuông tại M có

BN là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABCD), nên góc giữa SB và mp(ABCD) là góc , vuông cân tại N, nên .

Có , vậy

Dựng , và có suy ra mà suy ra , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng . Vậy .

Có tứ giác AMNK là hình chữ nhật .

Trong vuông tại N có .

Kết luận .

Câu 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.

LỜI GIẢI

Do nên góc giữa AA1 và (A1B1C1) là góc .

Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a ,

Do tam giác A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và nên A1H vuông góc với B1C1. Mặt khác nên

Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1

Ta có AA1.HK = A1H.AH .

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại C và D. Biết và SA vuông góc với đáy. Gọi M trung điểm của CD, biết AM vuông góc với SB. Tính .

LỜI GIẢI

Vì .

Đặt

Ta có .

Ta có

Ta có (đúng) ,suy ra DO vuông góc với AC.

Ta có ,

Từ O dựng OH vuông góc với SC tại H, suy ra OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD. Vậy .

Dựng AK vuông góc với SC tại K. Trong tam giác SAC có

Ta có

Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A và góc . Biết M là trung điểm của AB, tam giác đều có cạnh a và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC,

LỜI GIẢI

Gọi H trung điểm của CM. Vì tam giác A’MC đều nên . Hai mặt phẳng (ABC) và (A’MC) vuông góc với nhau theo giao tuyến MC, suy ra .

Đặt , có .

Pitago cho có .

Vì A’H là đường cao tam giác đều A’CM nên có .

Tính khoảng cách từ H đến mp(ACC’A’).

Dựng . Có và , suy ra mà suy ra . Hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến A’K, dựng .

Vậy . Có .

Trong có .

Vì 2 điểm M và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( ACC’A ‘ ) tại C, có :

Vì 2 điểm B và M nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( ACC’A ‘ ) tại A, có :

Vì mà nên .

Vậy: .

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, , AB = 2a, CD = , mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng một góc . Tính theo a khoảng cách giữa SI và CD.

LỜI GIẢI

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp ( ABCD ). Vì mp ( SCD ) vuông góc với mp ( ABCD ) theo giao tuyến CD, suy ra H thuộc CD .

Vì , gọi M trung điểm của AI .

Có . Có .

Có .

HB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD),suy ra góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc .

Có .

Có . Vậy (vì )

Có và ,

mà , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SM, dựng suy ra .

Vậy .

Có .

Kết luận .

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với , SA vuông góc với (ABCD), góc giữa (ABCD) và SC bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM với AC, M trung điểm của BC.

LỜI GIẢI

Có . Góc giữa SC và (ABCD) là góc .

Có .

Qua M kẻ đường thẳng d song song với AC. Thì .

Vậy

Dựng , có , mà suy ra

theo giao tuyến SH, dựng . Vậy .

Đáy ABCD được vẽ lại ở hình 2

Có

Trong có .

Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. (D 2014 ).

LỜI GIẢI

Gọi H trung điểm của BC, vì hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc với nhau theo gia tuyến BC, có . Có (tính chất tam giác đều).

Vì ABC vuông cân tại A nên có

Có (vì vuông cân tại A) và , trong mặt phẳng (SHA) dựng . Vậy HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC, nên .

Trong có .

Vậy .

DẠNG 2 : XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG

1. Phương pháp giải

Ta có các trường hợp sau đây :

a) Giả sử và là hai đường thẳng chéo nhau và

– Ta dựng mặt phẳng chứa và vuông góc với tại .

– Trong dựng tại , ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và .

b) Giả sử và là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Cách 1 :- Ta dựng mặt phẳng chứ và song song với .

– Lấy một điểm tùy ý trên dựng tại .

– Từ dựng cắt tại .

– Từ dựng cắt tại , độ dài đoạn là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và .

Cách 2 :

– Ta dựng mặt phẳng tại , cắt tại .

– Dựng hình chiếu vuông góc của là trên .

– Trong mặt phẳng , vẽ , .

– Từ dựng đường thẳng song song với cắt tại .

– Độ dài đoạn thẳng là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và .

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và đáy. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:

a ). SB và CD. b ). AD và SB c ). AB và SDd ). SC và BD. e ). SC và AB. f ). SC và AD

LỜI GIẢI

a). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và CD

Có

(1).

Mà (ABCD hình vuông) (2).

Từ (1) và (2) ta có BC là đường vuông góc chung của SB và CD, và BC cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD .Kết luận .

b).Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và AD

Trong kẻ tại K (3).

(4).

Từ ( 3 ) và ( 4 ) thì AK là đường vuông góc chung của SB và AD, và AK cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD .Trong vuông tại A :

Kết luận .

c). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD.

Trong kẻ tại H (5).

Ta có (6).

Từ ( 5 ) và ( 6 ) thì AH là đường vuông góc chung của SD và AB, và AH cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB .Trong vuông tại A :

Kết luận .

d). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và BD.

Gọi . Trong kẻ tại G (7)

Ta có (8).

Từ ( 7 ) và ( 8 ) thì OG là đường vuông góc chung của SC và BD, và OG cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD .

Trong có :

Ta có

Kết luận .

e). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và AB.

Ta có .

Từ H dựng . Suy ra HI và AB cùng thuộc một mặt phẳng vì cùng song song với CD.

Trong mặt phẳng ( AB, HI ) dựng IJ AH, IJ cắt AB tại J .

Ta có

Vậy IJ là đường vuông góc chung của SC và AB, và IJ cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB .

Kết luận .

f). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và AD.

Ta có .

Từ K dựng . Suy ra KL và AD cùng thuộc một mặt phẳng vì cùng song song với BC.

Trong mặt phẳng ( AD, KL ) dựng LM AK, LM cắt AD tại M .

Ta có

Vậy LM là đường vuông góc chung của SC và AD, và LM cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD .

Kết luận .

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, có góc và SA vuông góc với đáy (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của :

a ). SB và CD b ). BD và SC c ). SC và AB .

LỜI GIẢI

a). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và CD.

Trong mặt phẳng (ABCD) dựng tại L (1)

Vì mà nên , suy ra (2)

Trong mặt phẳng (ABCD) từ B dựng BN LC với (3)

Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) thì BN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng SB và CD và khoảng cách giữa chúng là CL .

Vì ABCD là hình thoi có nên đều mà CL đường cao của tam giác .

Kết luận .

b). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC.

Gọi . Trong kẻ tại M (4).

Ta có (5).

Từ ( 4 ) và ( 5 ) thì OM là đường vuông góc chung của SC và BD, và OM cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD .

Trong có :

Ta có

Kết luận .

c). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và AB .

Trong (ABCD) dựng tại E. Có mà . Trong (SAE) dựng tại H .

Từ H dựng. Suy ra HI và AB cùng thuộc một mặt phẳng vì cùng song song với CD .Trong mặt phẳng ( AB, HI ) dựng IK AH, IK cắt AB tại K .

Ta có

Vậy IK là đường vuông góc chung của SC và AB, và IK cũng là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB .

Trong vuông tại A :

Kết luận .

Câu 3: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 600, góc của đường chéo AC’ và mp đáy bằng 600 .

a ). Tính đường cao của hình hộp đó .b ). Tìm đường vuông góc chung của A’C và BB ‘. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó .

LỜI GIẢI

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp đứng nên : .

Ta có AC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABCD) nên :

Vì ABCD là hình thoi có nên đều, suy ra .

Trong vuông tại A:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. I trung điểm của A’C. Ta có OI là đường trung bình của . Vậy (1).

Ta có (2).

Trong mặt phẳng (BDD’B’) dựng (3).

Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) suy ra IK là đường vuông góc chung của A’C và BB ‘. IK cũng là khoảng cách giữa A’C và BB ‘ .

Kết luận :

Câu 4: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BC.

LỜI GIẢI

Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M

Chóp S.ABC đều, mà G là tâm nên

Vì và từ đó suy ra .

Trong kẻ ( vì ). Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA.

Trong vuông tại G có

Trong có .

Câu 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và . Đáy ABC là tam giác vuông tại B với . Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC.

LỜI GIẢI

Ta có tại B.

Dựng .

Ta thấy: . Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC. Ta tính BH như sau .Có

Câu 6: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh và Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho Dựng và tính đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng:

a ). BD và SC b ). AB và SD

LỜI GIẢI

a). Dễ dàng chứng minh được (vì )

Trong mp(SAC) kẻ OM là đoạn vuông góc chung của SC và BD.

Trong vuông tại O có

Trong vuông tại O có .

Và .

Gọi G, H lần lượt trung điểm của AB và CD .

Ta có .

Từ O dựng là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc nhau (SCD) và (SGH), suy ra .

Trong mặt phẳng (SGH) kẻ GJ // OI ( ) .

Từ J dựng đường thẳng song song với CD cắt SD tại K. Suy ra AB và JK cùng thuộc một mặt phẳng .

Trong mặt (AB,JK) dựng KL // GJ( ).Suy ra KL là đoạn vuông góc chung của AB và SD.

Thật vậy vì

Trong :

Kết luận .

Câu 7: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = a, AC = BD = b, BC = AD = c. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.

LỜI GIẢI

Ta có nên hai đường trung tuyến CI và DI tương ứng bằng nhau, nên tam giác ICD cân tại I. Suy ra .

Chứng minh tương tự ta có .

Kết luận IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD .

BJ là đường trung tuyến của có

Trong vuông tại I có

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (SAD).

LỜI GIẢI

Gọi H là hình chiếu của S trên AB.Vì theo giao tuyến AB nên

Vì . Suy ra góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa 2 đường thẳng SA và AB và bằng 450.

Vì BC / / mp ( SAD ) suy ra d ( C ; mp ( SAD ) ) = d ( B ; mp ( SAD ) )Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên SA có

Trong vuông tại K có , suy ra vuông cân tại K nên

. Kết luận

Câu 9: Cho hình lập phương có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho Xác định ví trí điểm M sao cho khoảng cách giữa hai dường thẳng và bằng .

LỜI GIẢI

Ta có

Gọi và

Ta có vuông cân tại K

· Vì và . Từ đó suy ra

Để . Vậy M thỏa mãn .

Câu 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, . Hình chiếu vuông góc của điểm D trên BB’ là điểm K nằm trên BB’ và , hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và DC’.

LỜI GIẢI

Ta có

Trong tam giác vuông BKD :

Ta có

Trong tam giác vuông B’KD :

Suy ra tam giác B’BD cân tại B’ do đó H chính là giao điểm của AC và BD. .

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc . O là giao điểm của AC và BD, H là trung điểm của BO, . Tìm khoảng cách giữa AB và SC.

LỜI GIẢI

ta có đều nên BD=a

Kẻ HN song song AB N AD kẻ HK vuông góc với HN, K CD

kẻ HI vuông góc với SK, I thuộc SK khoảng cách từ H tới (SCD) là HI

, có ,

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy ABCD và SA=a. Tính :

a ). Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng MCD với M trung điểm của SA .b ). Khoảng cách giữa AC và SD .

LỜI GIẢI

Ta có

mà .

Ta có

Vì M trung điểm của SA nên :

Có .

Kết luận : .

b). Khoảng cách giữa AC và SD.

Trong mặt phẳng (ABCD) từ D kẻ Dx // AC. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng SD và Dx.

Vì .

Nên .

Từ A kẻ tại K. Kẻ tại I .Thì AI là khoảng cách từ A đến mặt phẳng .

Thật vậy ta có .

Ta có vuông cân tại K nên .

Trong tam giác vuông tại K :

Câu 13: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông vắn cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính ( theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC .

LỜI GIẢI

Gọi O giao điểm của AC và BD. P trung điểm của SA

Trong tam giác EAD có MP là đường trung bình của tam giác nên (1)

Vì N trung điểm của BC nên (2)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra tứ giác CPMN là hình bình hành nên MN / / PC

Ta có .Kết luận

Vì MN // mp(SAC) nên .

Hai điểm B và N nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng ( SAC ) tại điểm C nên

Kết luận .

Câu 14: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông cạnh bằng a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, A’C’, B’C’. Tính khoảng cách giữa DE và A’F .

LỜI GIẢI

Vì các mặt bên ABB’A ‘, ACC’A ‘, BCC’B ‘ là các hình vuông vắn có

và . Vậy ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đứng và đáy là tam giác đều .

Trong mp(A’B’C’) dựng

. Ta có DE thuộc mặt phẳng (ADIE) .

Vậy .

Ta có , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến DI, dựng . Suy ra khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (ADIE) là B’H .

Hình vuông BCC’B ‘ được vẽ lại ở hình 2

Ta có EI là đường trung bình của tam giác C’A’F nên I trung điểm của C’F .

Ta có ,

Vì hai điểm B ‘, F nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp ( ADIE ) tại I nên có

DÖÏNG THIEÁT DIEÄN MAËT PHAÚNG VÔÙI KHOÁI CHOÙP, BIEÁT VUOÂNG GOÙC VÔÙI MOÄT ÑÖÔØNG d NAØO ÑOÙ THUOÄC KHOÁI CHOÙP.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Bước 1 : Tìm những đường thẳng thuộc khối chóp vuông góc với d .Bước 2 : Suy ra song song với những đường thẳng vuông góc với d .Bước 3 : Tìm giao tuyến của với các mặt của khối chóp. Sử dụng đặc thù :

Câu 1: Cho tam giác ABC đều, tâm O có đường cao . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O lấy điểm S sao cho . Một điểm M lưu động trên đoạn OH với . Mặt phẳng qua M và vuông góc với OH.

a). Chứng minh và .

b ). Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng với hình chóp S.ABC. Thiết diện này là hình gì ?c ). Tính diện tích quy hoạnh thiết diện tìm được ở câu b ). Định x để thiết diện có diện tích quy hoạnh lớn nhất ?

LỜI GIẢI

a). Có ,

mà .

Có . Áp dụng Pitago cho các tam giác vuông SAO và SHO vuông tại O được ;

Trong có vuông tại S.

Từ đó có .

b). Có , mà

Giao tuyến của mp và ( ABC ) đi qua điểm chung M và song song với BC. Giao tuyến này cắt AB và AC lần lượt tại E và F .Giao tuyến của mp và ( SAH ) đi qua điểm chung M và song song với SO. Giao tuyến này cắt SH tại G .Giao tuyến của mp và ( SBC ) đi qua điểm chung G và song song với BC. Giao tuyến này cắt SB và SC lần lượt tại I và J .

Do đó suy ra thiết diện cần tìm là hình thang EFJI (Vì ).

c). Có

Trong có

Trong có và .

Trong có .

Do là đường cao của hình thang EFJI. Nên:

Có .

Vậy .

Suy ra .

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, ; AC cắt BD tại O; AB cắt CD tại E. Biết .

a). Chứng minh và chứng minh .

b ). Dựng AH vuông góc với SO tại H. Chứng minh .c ). Tính khoảng cách từ A và E đến mặt phẳng ( SBD ) .d ). Mặt phẳng qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB. Dựng thiết diện do mặt phẳng cắt hình chóp S.ABCD và tính diện tích quy hoạnh thiết diện này .

LỜI GIẢI

a). Có

Trong vuông tại B có

; .

Trong vuông tại A có

b). Theo câu a) có , mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SO. Trong mp(SAC) dựng .

c ). Theo câu b ) AH là khoảng cách từ A đến ( SBD ) .

Có .

Trong có .

Hai điểm A và E nằm trên đường thẳng có giao điểm với ( SBD ) tại B, nên có :

d). Có , mà

Giao tuyến của mp và ( ABCD ) đi qua điểm chung M và song song với BC. Giao tuyến này cắt CD tại Q. .

Trong mp(SAB) dựng .

Giao tuyến của mp và ( SBC ) đi qua điểm chung N và song song với BC. Giao tuyến này cắt SC tại P. .

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông MNPQ (Vì và ).

Rõ ràng MQ là đường trung bình của hình thang ABCD .

Trong mp(SAB) có và

Trong có

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu của A trên SB.

a). Chứng minh

b). Mặt phẳng qua , tại N lần lượt cắt SC, CD tại P và Q. Xét hình tính của MNPQ.

c). Đặt . Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x.

LỜI GIẢI

a). Có

Có

b). Có mà

Có

Từ cách dựng điểm trên suy ra tứ giác MNPQ là hình thang (vì ).

Ngoài ra có , mà , từ đó suy ra MNPQ là hình thang vuông tại M và N.

c ). Trong vuông tại A, có AH là đường cao :

; ;

Trong có

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có , , tam giác ABC vuông cân tại A, , O là trung điểm của BC.

a). Chứng minh

b). Lấy điểm . Qua M dựng mặt phẳng lần lượt cắt AC, SC, SB tại N, P, Q. Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì?

c ). Đặt, tính diện tích quy hoạnh tứ giác MNPQ. Định x để diện tích quy hoạnh này lớn nhất .

LỜI GIẢI

Do tam giác ABC cân tại A

a). Có

b). Do mà

Có

Từ cách dựng ở trên suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành. Ngoài ra có , mà tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

c). Trong có

Trong có

Có , dấu bằng xảy ra khi

Vậy diện tích MNPQ lớn nhất khi .

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với , và .Gọi M là một điểm trên cạnh AB; là mặt phẳng qua M vuông góc với AB. Đặt .

a ). Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng. Thiết diện là hình gì ?

b). Tính diện tích thiết diện theo a và x.

LỜI GIẢI

a). Do mà

Vì nên giao tuyến của với mp(ABCD) qua M và song song với BC, giao tuyến này cắt cạnh CD tại Q.

Vì nên giao tuyến của với mp(SAB) qua M và song song với SA, giao tuyến này cắt cạnh SB tại N.

Vì nên giao tuyến của với mp ( SBC ) qua N và song song với BC, giao tuyến này cắt cạnh SC tại P. .

Từ cách dựng ở trên suy ra thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ. Ngoài ra dễ dàng chứng minh mà Thiết diện cần tìm là hình thang vuông tại M và N.

b). Gọi , trong có là đường trung bình của tam giác này trung điểm của AE. Có .

Trong có

Câu 6: Cho hình thoi ABCD có tâm O với các đường chéo . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O lấy điểm S với . Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P.

a ). Chứng minh tứ giác AMNP có hai đường chéo vuông góc .b ). Tính diện tích quy hoạnh tứ giác AMNP .c ). Chứng minh tam giác MNP đều .

LỜI GIẢI

a). Có

Dựng . Trong mp(SAC) gọi , vì . Nên giao tuyến của và (SBD) qua H và song song với BD, giao tuyến này cắt SB, SD lần lượt tại M và P.

Do mà

Tứ giác AMNP có hai đường chéo vuông góc .

b). Trong vuông tại O có

Trong có

Tam giác cân SAC có hai đường cao đều trọng tâm của SAC .

Trong có

c). Dễ dàng chứng minh H trung điểm của MP. Trong có NH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến cân tại N (1).

Do H là trọng tâm

Có (2).

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra đều .

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và . Gọi H, K, M lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD.

a ). Chứng minh và SCD là tam giác cân .

b). Chứng minh .

c). Qua M dựng mặt phẳng vuông góc với BC và cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ theo a.

LỜI GIẢI

a). Do SAB là tam giác đều, nên và .

Trong vuông tại B có .

Trong có vuông tại H

Vậy có

Có , trong tam giác SCD có SK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến cân tại S.

b). HM là đường trung bình của , mà

Có

Xét hai tam giác vuông ADH và DCM có :

, mà

Như vậy có .

c). Có mà

Do giao tuyến của với (ABCD) qua M và song song với AB. Giao tuyến này cắt CH và BC lần lượt tại I và N.

Do giao tuyến của với (SHC) qua I và song song với SH. Giao tuyến này cắt SC tại P.

Do giao tuyến của với (SCD) qua P và song song với CD. Giao tuyến này cắt SD tại Q.

Do M trung điểm của AD, nên dễ dàng thấy I trung điểm của HC và N trung điểm của BC trung điểm của SC và Q trung điểm của SD.

Theo tính chất đường trung bình có , , .

Từ chứng minh trên có là hình thang cân.

Do mà

Câu 8: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, BC và AB.

a ). Tìm giao tuyến của ( ABM ) và ( AND ) .b ). Tìm giao tuyến của ( MNP ) và ( ACD ). Xác định thiết diện của ( MNP ) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì ?

c). Cho . Tính diện tích thiết diện tìm được ở câu b.

LỜI GIẢI

a). Có (1).

Trong mp ( BCD ) gọi

(2).

Từ (1) và (2) suy ra

Có NP là đường trung bình của

Có

Trong (ACD) gọi

Có Thiết diện cần tìm là hình bình hành MNPQ.

Thật vậy vì có (NP, MQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ACD).

b). Có ; .

Áp dụng định lý cosin cho tam giác MNP :

Diện tích thiết diện MNPQ :

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và . Dựng .

a). Chứng minh . Suy ra

b ). Gọi E là giao điểm của SC và ( ABH ). Xác định hình dạng của tứ giác ABEH .c ). Tính diện tích quy hoạnh tứ giác ABEH .

LỜI GIẢI

a). Ta có mà (do ABCD là hình vuông)

mà

b). Có .

Vậy tứ giác ABEH là hình thang vì có mà nên ABEH là hình thang vuông.

c). Tính diện tích tứ giác ABEH.

Ta có

Có

Vậy .

Câu 10: Cho tứ diện SABC có SAB là tam giác đều cạnh a. Trung tuyến SI của tam giác SAB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết vuông cân tại A.

a ). Chứng minh vuông .b ). Tính góc giữa SA với mp ( SIC ) .c ). Mặt phẳng qua trung điểm M của SC và vuông góc với SA. Xác định thiết diện của với tứ diện SABC và tính diện tích quy hoạnh thiết diện đó .

LỜI GIẢI

a). Ta có

Có

vuông tại A.

b). Dựng . Ta có

SH là hình chiếu vuông góc của SA trên mp(SIC). Do đó .

Do đều cạnh a . Trong vuông tại A có AH là đường cao:

Trong vuông tại H có

Vậy .

c). Gọi N trung điểm của SA mà

(1).

Mà BN là đường trung tuyến của tam giác đều SAB (2).

Từ (1) và (2) suy ra

Suy ra thiết diện của với tứ diện SABC là tam giác BMN .

Diện tích thiết diện là: .

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, biết vuông cân tại S, .

a). Chứng minh .

b ). Tính khoảng cách từ I đến ( SCD ) .

c). Mặt phẳng qua M thuộc đoạn AB với và vuông góc với BD cắt SA, BC, SC lần lượt tại N, Q, P. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x.

LỜI GIẢI

a). Do tam giác SAB vuông cân tại S nên

Có .

Có

mà .

b). Hai mặt phẳng (SCD) và (SIJ) vuông góc với nhau theo giao tuyến SJ, trong mặt phẳng (SIJ) dựng . Vậy

Có (do tam giác SAB vuông cân tại S) và

Trong vuông tại I có IH là đường cao

Kết luận .

c). Có , theo đề

Từ đó tứ giác MNPQ là hình thang (theo cách dựng ), ngoài ra , suy ra MNPQ là hình thang vuông tại M và N.

Trong có

Có

Trong có

Diện tích MNPQ là :

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, .

a). Chứng minh và .

b). Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính .

c ). Gọi là mặt phẳng qua SD và vuông góc với mp ( SAC ). Hãy xác lập thiết diện của hình chóp S.ABCD với. Tính diện tích quy hoạnh thiết diện .

LỜI GIẢI

a). Có ,

mà .

Gọi H trung điểm của AB, suy ra tứ giác AHCD là hình vuông vắn. Trong có

và vuông cân tại C.

Có , mà .

b). Có

Trong có .

c). Có , nên giao tuyến của với (ABCD) qua D và song song với BC, đó là giao tuyến SH.

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tam giác SDH .

Có , , , vậy tam giác SDH cân tại S. Gọi O trung điểm của DH, có .

Diện tích thiết diện cần tìm là: .

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD.

a). Chứng minh rằng: mặt phẳng mặt phẳng .

b). Tính số đo góc của 2 mặt phẳng và .

c). Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC tại H, cắt SD tại E. Tính diện tích tam giác AEH theo a.

LỜI GIẢI

a). Có là hình vuông , ngoài ra . Do đó ,

mà .

b). Có ,

mà . Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mp(SCD) bằng .

b). Có (1).

Ngoài ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra

Có

Và .

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, cạnh a, tâm O, là đường cao của tam giác SAB.

a). Chứng minh và .

b). Tính khoảng cách từ A đến , góc giữa SC và , khoảng cách giữa SB và AC.

c). Mặt phẳng qua A và vuông góc với cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a.

LỜI GIẢI

a). Có

Có ,

mà .

b ). Hai mặt phẳng ( sac ) và mp ( SBD ) vuông góc với nhau theo giao tuyến SO, trong mp ( SAC ) dựng

Vậy

Có .

Có SO là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SBD), nên , có .

Trong mp(ABCD) dựng .

Từ đó có .

Dựng , mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong mp(SAI) dựng . Vậy

Dễ thấy AOBI là hình vuông .

Có .

Kết luận .

Có

Vì qua A nên AH là giao tuyến của và mp ( SAB ) và qua A nên AD là giao tuyến của và mp ( ABCD ) .

Giao tuyến của với mp(SBC) qua H và song song với BC, giao tuyến này cắt SC tại K. Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang ADKH (do ) (1).

Ngoài ra có (2).

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra thiết diện là hình thang vuông .

Có .

Có

Trong có

Diện tích thiết diện: .

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại là trung điểm của AC, K là hình chiếu của B lên SC, HK cắt SA kéo dài tại E.

a). Chứng minh và .

b). Tính góc giữa hai mặt phẳng và , khoảng cách giữa AB và SC.

c). M thuộc cạnh AC với , mặt phẳng qua M và vuông góc với cắt AB, SB, SC lần lượt tại . Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, x.

LỜI GIẢI

a). Có (do cân tại B) và , từ đó .

Có .

Từ đó có H là trực tâm của

( do có và )

Có

và

b). Có .

Ta có

Với , , .

Có vuông tại K nên: .

Trong mp(ABC) dựng .

Từ đó có .

Dựng ,

mà hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong mp(SAI) dựng . Vậy

Dễ thấy ABCI là hình chữ nhật .

Có .

Kết luận .

c). Có

Giao tuyến của với mp ( ABC ) qua M và song song với BC, giao tuyến này cắt AB tại N .Giao tuyến của với mp ( SAB ) qua N và song song với SA, giao tuyến này cắt SB tại P. .Giao tuyến của với mp ( SBC ) qua P. và song song với BC, giao tuyến này cắt SC tại Q. .

Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ (do ) (1).

Ngoài ra có (2).

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra thiết diện là hình thang vuông .

Trong có .

Trong có

Trong có .

Vậy .

Câu 16: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 2a, là trung điểm SC.

a). Chứng minh: và .

b ). Tình tan của góc hợp bởi 2 mặt phẳng và .

c) M là điểm trên cạnh AB với . Qua M dựng mặt phẳng vuông góc với BD. lần lượt cắt CB, SC, AS tại N, P, Q. Tình diện tích MNPQ theo a và x.

LỜI GIẢI

a). Có

(1).

Có vuông cân tại B nên (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

mà .

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và góc . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng và

a ). Tính góc giữa đường thẳng SC và .b ). Chứng minh hai mặt phẳng và vuông góc với nhau .c ). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng .d ). Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB .e ). Gọi là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng. Tính diện tích quy hoạnh của thiết diện này theo a .

LỜI GIẢI