Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

– Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác lập được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau :
+ Trong mp ( M ; Δ ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d ( M ; Δ ) = MH
+ Dựng mặt phẳng ( α ) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d ( M ; Δ ) = MH .
– Hai công thức sau thường được dùng để tính MH :

   + Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì

   + MH là đường cao của tam giác MAB thì

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2 a B. 4 a C. 3 a D. 5 a

Hướng dẫn giải

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có : SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC
Lại có : AH ⊥ BC nên BC ⊥ ( SAH )
⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH
+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a √ 3/2
+ Ta có : AC ⊥ ( BCD ) ⇒ AC ⊥ CM
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM

Ta có:

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án B

Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có :

+ Ta dễ chứng tỏ được AB ⊥ ( SBC ) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH
⇒ tam giác SAH vuông tại S .
Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có :

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

( Định lý 3 đường vuông góc )
⇒ d ( A, BD ) = AM, CM = a √ 3/2 ( vì tam giác BCD đều ) .
+ AC vuông góc ( BCD ) nên AC vuông góc CM hay tam giác ACM vuông tại C .
⇒

Quảng cáo

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60°. Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC.

Hướng dẫn giải

Chọn C
Kẻ AH ⊥ SC, khi đó d ( A ; SC ) = AH
+ Do ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠ B = 60 ° nên tam giác ABC đều ⇒ AC = a
+ Do SA vuông góc ( ABCD ) nên SA vuông góc AC hay tam giác SAC vuông tại A .
Trong tam giác vuông ta có :

Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.

Hướng dẫn giải

Chọn A
+ Kẻ OH ⊥ SC, khi đó d ( O ; SC ) = OH
+ Ta có : ΔSAC ∼ ΔOHC ( g. g ) ( g-g ) nên

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

Hướng dẫn giải

Chọn D
+ Gọi O là tâm của hình vuông vắn ABCD .
+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ ( ABCD )
+ Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và dưới mặt đáy là α nên : ∠ SDO = α
Kẻ OH ⊥ SD, khi đó d ( O, SD ) = OH
Ta có : BD = a √ a nên OD = ( 50% ) BD = ( 50% ). a √ 2 = ( a √ 2 ) / 2
+ Xét tam giác vuông OHD :
OH = OD.sin α = ( a √ 2/2 ). sinα

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a, AB = a√3, BC = a√6. Khoảng cách từ B đến SC bằng

A. a √ 2 B. 2 a C. 2 a √ 3 D. a √ 3
Hiển thị lời giải

Chọn B
+ Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB ⊥ ( SAB ) ⇒ CB ⊥ SB .
+ Kẻ BH ⊥ SC, khi đó d ( B ; SC ) = BH .

Ta có:

Trong tam giác SBC vuông tại B ta có :

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Hiển thị lời giải

Gọi M là trung điểm của CD ’
Do ABCD.A ’ B’C ’ D ’ là hình lập phương nên tam giác ACD ’ là tam giác đều cạnh a √ 2 .
+ Tam giác ACD ’ có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao AM ⊥ CD ‘ .
d ( A ; CD ’ ) = AM = AC.sin ( ACM ) = a √ 2. sin60 ° = ( a √ 6 ) / 2
Đáp án : B

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB’ bằng

Hiển thị lời giải

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB ’ .

Ta có:

⇒ AD ⊥ AB ‘
Xét tam giác ADB ’ vuông tại A ; đường cao AH :

Đáp án D

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC’ bằng nhau ?

A. A ’, B, C ’ B. B, C, D C. B ’, C ’, D ’ D. A, A ’, D ’
Hiển thị lời giải

Dễ thấy các tam giác ABC ’, C’CA, ADC ’ là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau .
Vậy : d ( B ; AC ’ ) = d ( C ; AC ’ ) = d ( D ; AC ’ )
Đáp án B

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO = a√3/3. Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng

Hiển thị lời giải

Chọn B
Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao
⇒ O là tâm của tam giác ABC .
+ Gọi I là trung điểm cạnh BC .

Tam giác ABC đều nên

Kẻ OH ⊥ SA ; khi đó d ( O ; SA ) = OH
Xét tam giác SAO vuông tại O :

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Hiển thị lời giải

Gọi M là trung điểm của CD ’
Do ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ là hình lập phương nên tam giác ACD ’ là tam giác đều cạnh a √ 2

Đáp án : B

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.