Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Ví dụ
Giải
hệ
x1
2x
1
x1
1 2
2 4
1 2
Ví dụ
tìm nghiệm của không gian nghiệm
+ 2×2 − x3 + x4 = 0
+ 4×2 − 3×3
= 0
+ 2×2 + x3 + 5×4 = 0
h2 →h2 −2h1
1 2 −1 1
−1 1
h →h −h1
0 0 −1 −2
−3 0 −−3−−3−−→
0 0 2 4
1 5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
22CON
/ 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Ví dụ
1 2 −1 1
h3 →h3 +2h2
−−
−−−−→ 0 0 −1 −2 ⇒ x1, x3 là biến cơ
0 0 0 0
sở,
, x4 là
biến tự do.Đặt x2 = α,
x4 =β
x2
x1
−2α − 3β
−2
−3
x2
α
= α 1 +β 0
=
0
−2
x3
−2β
x4
β
0
1
Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0)T và X2 = (−3, 0, −2, 1)T là cơ sở
của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm
của hệ này là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
23CON
/ 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính
Số chiều của bao tuyến tính và hạng của hệ véctơ
Định lý
Giả sử M = {x1, x2,. .., xp } ⊂ E có hạng r và
W = là không gian véctơ con sinh bởi M.
Khi đó dim(W ) = r .
Chứng minh.
Giả sử Mr = {xi1, xi2 ,. .. xir } là 1 tập con độc
lập tuyến tính tối đại của M.
Chứng minh Mr sinh ra W .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
24CON
/ 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính
Vì Mr độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ
thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ
của Mr ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính
của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính
của các véctơ của Mr. Có nghĩa là
W =⇒ W = .
Mr độc lập tuyến tính.
Mr là tập sinh của W .
⇒ Mr là cơ sở của W
⇒ dim(W ) = r = rank(M).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
25CON
/ 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E
sinh bởi m véctơ x1, x2 ,. .., xm : M =
1
2
3
Lấy một cơ sở B = {e1, e2,. .., en } bất kỳ của
E. Tìm [x1]B, [x2]B ,. .., [xm ]B
Xét không gian hàng của ma trận
A = ([x1]B, [x2]B ,. .., [xm ]B )T
Biến đổi A về dạng bậc thang từ đó xác định
r (A) và cơ sở của M, số chiều của M bằng
r (A).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
26CON
/ 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) =
x 2 + 2x + 1, p2(x) = 2x 2 + x − 1, p3(x) = 4x + 4.
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi
3 véctơ trên.
Xét cơ sở chính tắc x 2,x, 1
1
trận các cột A là A = 2
0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
của P2
(x), vậy ma
2 1
1 −1
4 4
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
27CON
/ 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Ví dụ
1 2 1
h3 →h3 −4/3h2
h2 →h2 −2h1
A −−
−−−−→ 0 −3 −3 −−−−−−−→
0 4 4
1 2 1
0 −3 −3 = B. Ma trận B có hàng 1 và
0 0 0
hàng 2 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không
gian con sinh bởi 3 véctơ p1(x), p2(x), p3(x). Vậy
p1(x), p2(x) là cơ sở và số chiều của không gian
con sinh bởi 3 véctơ trên là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
28CON
/ 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Hạng của ma trận phụ hợp
Hạng của ma trận phụ hợp
Định lý
Cho A ∈ Mn (K ). Khi đó
Nếu r (A) = n thì r (PA) = n
Nếu r (A) = n − 1 thì r (PA) = 1
Nếu r (A)
Xem thêm: 0283 là mạng gì, ở đâu? Cách nhận biết nhà mạng điện thoại bàn cố định – http://139.180.218.5