Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình có một nghiệm x 0, tìm các nghiệm còn lại của phương trình

Cách giải:

– Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì

ax3 + bx2 + cx + d = ( x – x 0 ). f ( x )
– Để tìm f ( x ) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho ( x – x 0 ) .
– Giả sử f ( x ) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích ( x – x 0 ). ( ax2 + Bx + C ) = 0

Chú ý: để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau

Khi đó : ax3 + bx2 + cx + d = ( x – x 0 ). ( ax2 + Bx + C )

Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình  x3 + x2 = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình

Giải

Phương trình ( 1 ) ⇔ x3 + x2-12 = 0
Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức ( x3 + x2 – 12 ) chia cho
( x – 2 ). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia :

Vậy x3 + x2 – 12 = ( x – 2 ). ( x2 + 3 x + 6 )

Xét phương trình : x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Xét phương trình : x2 + 3 x + 6 = 0 có ∆ = 32 – 4.1.6 = – 15 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:  (x – 2)(x2 + mx+ m2 – 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1)

Phương trình ( * ) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình ( 1 ) có đúng 2 nghiệm thì phương trình ( * * ) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
+ TH1 : phương trình ( * * ) có nghiệm kép khác 2 ⇔ phương trình ( * * ) có
∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của ( * * )

+ TH2 : phương trình ( * * ) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
Thay x = 2 vào phương trình ( * * ) ta được :

Với m = – 1 thì phương trình ( * * ) trở thành : x2-x-2 = 0
Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = – 1, x = 2
Suy ra m = – 1 thỏa mãn nhu cầu
Vậy m = – 1, m = 2, m = – 2 là những giá trị cần tìm

B. Bài tập

Câu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình

Giải

Vì x = – 3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức ( 2×3 + x2 – 13 x + 6 ) chia cho ( x + 3 ). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia

Vậy 2×3 + x2 – 13 x + 6 = ( x + 3 ). ( 2×2 – 5 x + 2 )

Xét phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = – 3
Xét phương trình 2×2 – 5 x + 2 = 0 có ∆ = ( – 5 ) 2 – 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : x = 2, x = 1/2

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:

Đáp án là D

Câu 2: Tìm m để phương trình  (x – 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1)

Phương trình ( * ) có 1 nghiệm x = 1 nên để phương trình ( 1 ) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình ( * * ) phải có 2 nghiệm phân biệt khác x = 1

Vậy với  thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 3: Tìm m để phương trình  (2x – 1)(x2 – mx + 3m – 5) = 0 (1) có đúng 1 nghiệm

A. 1

B. 2

C. m = 4

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình (*) có 1 nghiệm
 nên để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép  hoặc vô nghiệm

+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép

Thay
 vào phương trình (**) ta được:

+ TH2 : phương trình ( * * ) vô nghiệm ⇔ ∆

Vậy 2

Xem thêm: Cách chứng minh đường trung trực lớp 7