Lý thuyết về phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm I ( a ; b ), nửa đường kính R là :

(x – a)2 + (b – y)2 = R2

Nhận xét

Phương trình đường tròn (x – a)2 + (b – y)2 = R2 có thể viết dưới dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

Trong đó : c = a2 + b2 – R2trái lại, phương trình x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 là phương trình đường tròn ( C ) khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0 .Khi đó đường tròn ( C ) có tâm I ( a ; b ) và nửa đường kính R = √ ( a2 + b2 – c )

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M0 ( x0 ; y0 ) nằm trên đường tròn ( C ), tâm I ( a ; b ). Gọi Δ là tiếp tiếp của ( C ) tại M0 .Ta có :M0 thuộc Δ và vectơ IM0 = ( x0 – a ; y0 – b ) là vectơ pháp tuyến của Δ .Do đó phương trình của Δ là :

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = 0 (1)

Vậy phương trình ( 1 ) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( x – a ) 2 + ( b – y ) 2 = R2 tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) nằm trên đường tròn .

Các dạng bài tập về phương trình đường tròn

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn

Áp dụng kiến thức:

– Phương trình đường tròn ( C ) có dạng : ( x – a ) 2 + ( b – y ) 2 = R2 thì có tâm I ( a ; b ) và nửa đường kính R .– Phương trình có dạng x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 và a2 + b2 – c > 0 thì phương trình đường tròn có tâm I ( a ; b ) và nửa đường kính R = √ ( a2 + b2 – c ) .

Phương pháp:

– Biến đổi phương trình về một trong hai dạng trên sau đó xác lập tâm I và nửa đường kính R .

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn 2×2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0.

Ta có : 2×2 + 2 y2 – 8 x – 4 y – 6 = 0

<=> x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0

Ta có : a2 + b2 – c = 22 + 12 + 3 = 8 > 0 => Đây là phương trình đường tròn .Phương trình đường tròn có tâm I ( 2 ; 1 ) và bán kinh R = √ ( a2 + b2 – c ) = 2 √ 2 .

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

Phương pháp:

Cách 1: 

– Tìm tọa độ tâm I ( a ; b ) của đường tròn ( C )– Tìm nửa đường kính R của ( C )– Viết phương trình đường tròn ( C ) dạng : ( x – a ) 2 + ( b – y ) 2 = R2

Cách 2:

– Giả sử phương trình đường tròn ( C ) có dạng : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0– Từ điều kiện kèm theo bài toán đi qua những điểm ( thường là 3 điểm ) rồi lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c .– Giải hệ phương trình tìm được a, b, c rồi thay vào phương trình đường tròn ( C ) .– Kết luận phương trình đường tròn tìm được .

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a ) có tâm I ( 1 ; 3 ) và đi qua điểm O ( 0 ; 0 )b ) Có đường kính AB với A ( 1 ; 1 ), B ( 5 ; 3 )c ) Đi qua 3 điểm A ( – 1 ; 3 ), B ( 3 ; 5 ), C ( 4 ; – 2 ) .

Giải: 

a ) ( C ) có tâm I ( 1 ; 3 ) và đi qua điểm O ( 0 ; 0 ) :

Ta có R = OI mà 

=> Đường tròn ( C ) có I ( 1 ; 3 ) và đi qua điểm O ( 0 ; 0 ) và nửa đường kính R = √ 10có phương trình 🙁 x – 1 ) 2 + ( y – 3 ) 2 = 10 .b ) ( C ) đường kính AB với A ( 1 ; 1 ), B ( 5 ; 3 ) :– Ta có tọa độ tâm I của ( C0 là trung điểm của A, B là :

                     và   

Bán kính là: 

=> Đường tròn ( C ) có I ( 3 ; 2 ) và nửa đường kính R = √ 5 có phương trình là 🙁 x – 3 ) 2 + ( y – 2 ) 2 = 5 .c ) Đường tròn ( C ) đi qua 3 điểm A ( – 1 ; 3 ), B ( 3 ; 5 ), C ( 4 ; – 2 ) .– Giả sử đường tròn ( C ) có dạng : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0– Vì ( C ) đi qua 3 điểm A ( – 1 ; 3 ), B ( 3 ; 5 ), C ( 4 ; – 2 ) nên ta lần lượt thay tọa độ A, B, C vào ( C ), có được hệ phương trình sau :

– Giải hệ phương trình ta được: 

=> Phương trình đường tròn (C) là:

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng 

Phương pháp:

– Dựa vào đặc thù tiếp tuyến của đường tròn .+ Đường tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng ( Δ ) thì d [ I, Δ ] = R+ Đường tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng ( Δ ) tại điểm A thì d [ I, Δ ] = IA = R+ Đường tròn ( C ) tiếp xúc với 2 đường thẳng ( Δ1 ) và ( Δ2 ) thì d [ I, Δ1 ] = d [ I, Δ2 ] R

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a ) ( C ) có tâm I ( 2 ; 5 ) và tiếp xúc với Oxb ) ( C ) có tâm I ( – 1 ; 2 ) và tiếp xúc đường thẳng ( Δ ) : x + 2 y – 8 = 0c ) ( C ) đi qua A ( 2 ; – 1 ) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy .

Giải:

a ) ( C ) có tâm I ( 2 ; 5 ) và tiếp xúc với Ox :– Ox có phương trình y = 0– Bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox, ta có :

=> Phương trình đường tròn (C) có dạng: 

b ) ( C ) có tâm I ( – 1 ; 2 ) và tiếp xúc đường thẳng ( Δ ) : x + 2 y – 8 = 0 :

– Ta có: 

=> Phương trình đường tròn ( C ) có dạng : ( x + 1 ) 2 + ( y – 5 ) 2 = 5c ) ( C ) đi qua A ( 2 ; – 1 ) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy :– Vì A nằm ở góc phần tư thứ tư nên đường tròn cũng nằm trong góc phần tư thứ tư, nên tọa độ tâm I = ( R ; – R )

– Ta có: 

<=> R2 = R2 – 4R + 4 + R2 – 2R + 1

<=> R2 – 6R + 5 = 0

<=> R = 1 hoặc R = 5

=> Vậy có 2 đường tròn thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo bài toán, đó là 🙁 C1 ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1( C2 ) : ( x – 5 ) 2 + ( y + 5 ) 2 = 25

Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Phương pháp:

Cách 1: 

– Tính diện tích quy hoạnh và nửa chu vi tam giác để tính được nửa đường kính đường tròn r .– Gọi I ( a ; b ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì khoảng cách từ tâm I tới 3 cạnh của tam giác là là bằng nhau và bằng r .– Lập hệ phương trình 2 ẩn a, b– Giải hệ phương trình 2 ẩn a, b và tìm được giá trị a, b .

Cách 2: 

– Viết phương trình đường thẳng phân giác trong của 2 góc trong tam giác– tìm giao điểm 2 đường phân giác đó ta được tâm I của đường tròn .– Tính khoảng cách từ I với 1 cạnh bất kỳ của tam giác ta tìm được nửa đường kính .

ví dụ: Cho hai điểm A( 4; 0) và B (0; 3)

a ) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OABb ) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

Giải:

a ) Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm của cạnh AB, nên tâm I có tọa độ là I ( 2 ; 3/2 )=> Bán kính : R = IA = 5/2

=> Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: 

b )

– Ta có: 

– 

–

– Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên tâm Ir = ( r ; r ) = ( 1 ; 1 )=> Phương trình đường tròn là : ( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 .

Dạng 5: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm và có tâm nằm trên đường thẳng 

Phương pháp: 

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB .– Xác định tâm I là giao điểm của d– Bán kính R = IA

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn T đi qua 2 điểm A(5:-1) B(-2;-2). Tâm I thuộc đường thẳng d: 3x-2y+1=0

Giải:  

Bài tập phương trình đường tròn lớp 10 nâng cao

Những bài tập mà lessonopoly san sẻ trên đây sẽ giúp những em vận dụng được kỹ năng và kiến thức triết lý đã học. Hy vọng những em hoàn toàn có thể làm tốt những bài tập trên. Cùng san sẻ tài liệu hữu dụng và những bài tập hay về phương trình đường tròn này cho những bạn cùng làm nhé .

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn