Phương trình nghiệm kép

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (315.47 KB, 27 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN VĂN PÁO

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP

CHUN NGÀNH: TỐN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

Thái Ngun – 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Luận văn được hoàn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

Phản biện 1:. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
…………………………………………………………………..

Phản biện 2:. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
…………………………………………………………………..

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại học khoa học – ĐHTN

Ngày … tháng … năm 2013

Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Ngun
Số hóa bởi trung tâm học liệu

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Mục lục
1 Nghiệm của đa thức – Nghiệm của phương trình
1.1 Nghiệm của đa thức.. .. .. .. .. .. .. .. .
1.2 Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội.. .. . .
1.3 Công thức Viet.. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
1.4 Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên.. .. .. . .
1.5 Tính chặn nghiệm trên C. .. .. .. .. .. .. .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Phương pháp nghiệm kép
2.1 Cơ sở của phương pháp nghiệm kép. .. .. .. .. .. .. .
2.2 Nghiệm bội của phương trình. .. .. .. .. .. .. .. .. .
2.3 Nghiệm kép của phương trình và vấn đề đường cong tiếp xúc
trục hoành. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
2.4 Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng phương pháp nghiệm kép
2.5 Bài tốn nghiệm kép viết phương trình tiếp tuyến. .. .. .
2.6 Bài toán nghiệm kép xét sự tiếp xúc của hai đồ thị. .. .. .

2.6.1 Nghiệm của đa thức bậc hai và bất đẳng thức. .. . .
2.6.2 Nghiệm của đa thức bậc n và bất đẳng thức. .. .. .
2.6.3 Các ví dụ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

4
4
4
5
5
7

9

.. . 9
.. . 10
với
.. . 13
.. . 15
.. . 17
.. . 19
.. . 20
.. . 20
.. . 21

Kết luận

24

Tài liệu tham khảo

25

Số hóa bởi trung tâm học liệu

1

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

MỞ ĐẦU
Nghiệm của đa thức là một phần rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của
Toán hoc, chẳng hạn: Đại số, Giải tích, Hình học, Tốn rời rạc…vv. Trong chương
trình tốn phổ thơng, phần đa thức và nghiệm của đa thức chủ yếu được đưa

vào bộ môn Đại số và Giải tích. Đặc biệt trong các kỳ thi đại học, học sinh giỏi
quốc gia và quốc tế đều có những bài tốn liên quan đến nghiệm bội của đa thức.
Chính vì vậy mà chuyên đề về nghiệm bội của đa thức rất thiết thực với những
ai muốn tìm hiểu sâu về toán sơ cấp.
Từ các kết quả đạt được trong phương pháp nghiệm bội của đa thức chúng ta
có thể vận dụng giải một số bài tốn về hình học rất phức tạp, giải hệ phương
trình và xây dựng một số kết quả về Tổ hợp, chứng minh bất đẳng thức. Khi xét
đa thức ta thường quan tâm đến nghiệm, nghiệm bội của đa thức. Nội dung của
luận văn nhằm giải quyết hai vấn đề chính:
Vấn đề 1: Chứng minh lại, một số kết quả cơ bản về nghiệm và nghiệm bội của
phương trình mà các kết quả ấy gắn liền với tên tuổi của những nhà toán học lỗi
lạc. Vận dụng các kết quả đạt được để giải quyết một số bài toán đã được đặt ra.
Vấn đề 2: Đưa ra cơ sở của phương pháp nghiệm kép, vận dụng phương pháp
nghiệm kép giải: Bài toán tiếp xúc với trục hồnh; bài tốn tiếp xúc của hai đồ
thị; Bài tốn tiế tuyến; Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng phương pháp nghiệm
kép.
Luận văn này được chia làm hai chương.
Chương I: Nghiệm của đa thức.
(1) Nội dung chương I trình bày một số khái niệm về vành đa thức, nghiệm của
đa thức, nghiệm của phương trình.
Chương II: Phương pháp nghiệm kép.
(2) Nội dung chương II trình bày về cơ sở của phuwownbg pháp nghiệm kép,
vận dụng phương pháp nghiệm kép giải các bài tốn: Bài tốn tiếp xúc với trục
hồnh; bài toán tiếp xúc của hai đồ thị; Bài toán tiế tuyến; Bài tốn tiếp tuyến
khi khơng dùng phương pháp nghiệm kép, bài toán nghiệm kép vận dụng giải bất
đẳng thức.
Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn
khơng tránh khỏi thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ý của các
thầy cơ giáo và các bạn.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

2

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS Nông
Quốc Chinh. Em xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy về sự giúp đỡ
nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn. Tiếp theo em
xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và góp ý để em hồn
thiện luận văn của mình. Em xin được cảm ơn chân thành nhất tới Trường Đại
học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, nơi em đã nhận được một học vấn sau đại
học căn bản. Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp đã cảm thơng, chia sẻ, ủng hộ và
giúp đỡ trong thời gian em học cao học và viết luận văn. Lời cuối em xin chúc
sức khỏe các thầy cô giáo và đồng nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày … tháng … năm 2013
Người thực hiện
Bàn Vàng Pao

Số hóa bởi trung tâm học liệu

3

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Chương 1
Nghiệm của đa thức – Nghiệm của
phương trình

1.1

Nghiệm của đa thức.

Định nghĩa 1.1.1.
Giả sử K là một trường số nào đó, A là trường con của K. Một phần tử α ∈ K
gọi là nghiệm của đa thức f (x) ∈ A[x] nếu và chỉ nếu f (α) = 0. Ta cũng nói α là
nghiệm của phương trình đại số f (x) = 0. Nếu degf (x) = n gọi là phương trình
đại số bậc n(n ≥ 1).
Định lý 1.1.2 (Định lý Bezout).
Cho vành đa thức A[x], f (x) ∈ A[x], α ∈ A. Dư trong phép chia f(x) cho x − α là
f (α).
Hệ quả 1.1.3.
Phần tử α ∈ A là nghiệm của đa thức f (x) ∈ A[x], nếu và chỉ nếu f (x) chia hết
cho x − α trong A[x].

f (α) = 0 ⇔ f (x) = (x − α).q(x)
.
tức f (α)..(x − α).
Định lý 1.1.4. Mọi đa thức

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + … + an−1 x + an ∈ A[x], a0 = 0
có thể viết dưới dạng f (x) = a0 (x − α1 )(x − α2 )…(x − αn ) trong vành K[x]. Ở
đây α1, α2, …, αn là những nghiệm của đa thức f (x) trong trường mở rộng K của
A.

1.2

Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội.

Định nghĩa 1.2.1.
Giả sử k là một số tự nhiên khác 0. Một phần tử α ∈ A gọi là nghiệm bội cấp k
Số hóa bởi trung tâm học liệu

4

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

của đa thức f (x) ∈ A[x] nếu và chỉ nếu f (x) chia hết cho (x − pα)k đồng thời
không chia hết cho (x − α)k+1 .

f (x) = (x − α)k q(x)

(q(α) = 0),

k = 1 thì α gọi là nghiệm đơn.
k = 2 thì α gọi là nghiệm kép.
Định lý 1.2.2 (Định lí cơ bản của đại số cổ điển).
Mọi đa thức f (x) với hệ số phức, deg f (x) ≥ 1 có đúng n nghiệm phức, kể cả số
bội của mỗi nghiệm.

1.3

Công thức Viet.

Định lý 1.3.1. Cho f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + … + an−1 x + an ∈ A[x], a0 = 0 là
một đa thức bất kì và f (x) = a0 (x − α1 )(x − α2 )…(x − αn ). Ở đây, α1, α2, …, αn
là những nghiệm của đa thức f (x). Khi đó,


a1


α1 + α2 + … + αn = −


a0


a2


α1 α2 + α2 α3 + … + αn−1 αn =



a0

…………………..
(1.1)
k ak

α
α
…α
+
…
+
α
α

…α
=
(−1)

1
2
k
n−k+1
n−k+2
n


a0


…………………..



an


α1 α2 …αn = (−1)n

a0
1.1 Gọi là công thức Viet.

1.4

Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên.

Với mọi f (x) ∈ Q[x] ln tìm được số ngun m = 0 để mf (x) = g(x),
g(x) ∈ Z [x] (m-mẫu số chung các hệ số của f (x)).

∀α ∈ Q, f (α) = 0 ⇔ g(α) = 0.
Do đó, để xét nghiệm của đa thức trên Q, ta chỉ cần xét nghiệm của đa thức trên
Z.
Định lý 1.4.1. Nếu u và v là những số nguyên tố cùng nhau và nếu số hữu tỉ
u
α = là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên
v

p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + … + an−1 x + an ,
.
.
thì a0 ..v và an ..u.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

5

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Hệ quả 1.4.2.
•Mọi nghiệm nguyên của đa thức với hệ số nguyên đều là ước của hạng tử tự do.
•Mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao nhất bằng 1 đều
là nghiệm nguyên.
Bài toán
Cho đa thức với hệ số nguyên

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + … + an−1 x + an .
Chứng minh rằng nếu α là 1 nghiệm nguyên của đa thức
n−1
ϕ(x) = y n + a1 y n−1 + an−2
0 an−1 y + a0 an ,

thì

α
cũng là nghiệm của đa thức đã cho.
a0

Định lý 1.4.3. Nếu số hữu tỉ α =

u
,
v

((u, v) = 1) là nghiệm của đa thức với

hệ số nguyên

p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + … + an−1 x + an = 0,
.
thì với mọi số nguyên m, số p(m)..(mv − u). Trong trường hợp đặc biệt (u + v)
là ước của p(−1) còn (u − v) là ước của p(1).
Hệ quả 1.4.4. Nếu α = ±1 là nghiệm của của đa thức

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + … + an−1 x + an
thì

f (1)
f (−1)
và
đều nguyên.
1−α
1+α

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng, mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] đều có nghiệm trong
C. Đó chính là nội dung Định lý cơ bản của đại số. Người đầu tiên chứng minh
Định lý này là nhà toán học C. Gauss (1777-1855).
Định nghĩa 1.4.5. Trường K được gọi là một trường đóng đại số nếu mọi đa
thức bậc dương thuộc K[x] đều có nghiệm trong K.
Như vậy, trong K[x] mọi đa thức bậc dương đều phân tích được thành tích các
nhân tử tuyến tính khi K là một trường đóng đại số.
Bổ đề 1.4.6. Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R[x] đều có ít nhất một nghiệm thực thuộc
R.
Bổ đề 1.4.7. Mỗi đa thức bậc hai thuộc C[x] đều có hai nghiệm thuộc C.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

6

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Định lý 1.4.8. [D’Alembert – Gauss, Định lý cơ bản của đại số] Mọi đa
thức bậc dương thuộc C[x] đều có ít nhất một nghiệm thuộc C.
Hệ quả 1.4.9. Mọi đa thức thuộc C[x] với bậc n > 0 đều có n nghiệm trong C
và các đa thức bất khả quy trong C[x] là các đa thức bậc nhất.
Bổ đề 1.4.10. Cho f (x) ∈ R[x] \ R. f (x) là đa thức bất khả quy khi và chỉ khi

hoặc f (x) = ax + b với a = 0 hoặc f (x) = ax2 + bx + c với a = 0 và b2 − 4ac Định lý 1.4.11. Mỗi đa thức f (x) ∈ R[x] \ R đều có thể phân tích được một cách
duy nhất thành dạng

f (x) = a(x − a1 )n1. .. (x − as )ns (x2 + b1 x + c1 )d1. .. (x2 + br x + cr )dr
với các b2i − 4ci đây: f (x) = xn − δ1 xn−1 + δ2 xn−2 − · · · + (−1)n δn. Khi đó có các hệ thức

δ1 = x1 + x2 + · · · + xn



δ2 = x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn−1 xn
…



δn = x 1 x 2. .. x n .
Định lý 1.4.13. Giả sử f (x1, x2 ,. .., xn ) ∈ R[x1, x2 ,. .., xn ] là một đa thức đối
xứng khác 0.
Khi đó tồn tại một và chỉ một đa thức s(x1, x2 ,. .., xn ) ∈ R[x1, x2 ,. .., xn ] sao
cho f (x1, x2 ,. .., xn ) = s(δ1, δ2 ,. .., δn ).

1.5

Tính chặn nghiệm trên C

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng, mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] đều có nghiệm trong
C. Đó chính là nội dung Định lý cơ bản của đại số. Người đầu tiên chứng minh
định lý này là nhà toán học C. Gauss (1777-1855).
Định nghĩa 1.5.1. Trường K được gọi là một trường đóng đại số nếu mọi đa
thức bậc dương thuôc K[x] đều có nghiệm trong K.
Như vậy, trong K[x] mọi đa thức bậc dương đều phân tích được thành tích các
nhân tử tuyến tính khi K là một trường đóng đại số.
Bổ đề 1.5.2. Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R[x] đều có ít nhất một nghiệm thực thuộc
R.
Bổ đề 1.5.3. Mỗi đa thức bậc hai thuộc C[x] đều có hai nghiệm thuộc C.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

7

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Định lý 1.5.4. [D’Alembert – Gauss, Định lý cơ bản của đại số] Mọi đa
thức bậc dương thuộc C[x] đều có ít nhất một nghiệm thuộc C.
Từ Định lý 1.5.4 suy ra kết quả sau đây về đa thức bất khả quy trong C[x]
Hệ quả 1.5.5. Mọi đa thức thuộc C[x] với bậc n > 0 đều có n nghiệm trong C
và các đa thức bất khả quy trong C[x] là các đa thức bậc nhất.
Bổ đề 1.5.6. Cho f (x) ∈ R[x] \ R. f (x) là đa thức bất khả quy khi và chỉ khi
hoặc f (x) = ax + b với a = 0 hoặc f (x) = ax2 + bx + c với a = 0 và b2 − 4ac Định lý 1.5.7. Mỗi đa thức f (x) ∈ R[x] \ R đều có thể phân tích được một cách
duy nhất thành dạng

f (x) = a(x − a1 )n1. .. (x − as )ns (x2 + b1 x + c1 )d1. .. (x2 + br x + cr )dr
với các b2i − 4ci 1.

Định lý 1.5.8. [Viét] Giả sử x1 ,. .., xn là n nghiệm của đa thức bậc n sau đây:
f (x) = xn − δ1 xn−1 + δ2 xn−2 − · · · + (−1)n δn. Khi đó có các hệ thức

δ1 = x1 + x2 + · · · + xn



δ2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn
…



δn = x 1 x 2. .. x n .
Định lý 1.5.9. Giả sử f (x1, x2 ,. .., xn ) ∈ R[x1, x2 ,. .., xn ] là một đa thức đối
xứng khác 0. Khi đó tồn tại một và chỉ một đa thức s(x1, x2 ,. .., xn ) ∈ R[x1, x2 ,. .., xn ]
sao cho f (x1, x2 ,. .., xn ) = s(δ1, δ2 ,. .., δn ).
Bổ đề 1.5.10. Cho đa thức f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x], a0 = 0. Nếu
p
số hữu tỷ với (p, q) = 1 là nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì
q
(i) p là một ước của an và q là một ước của a0 .
(ii) p − mq là một ước của f (m) cho mọi số nguyên m.
Hệ quả 1.5.11. Nghiệm hữu tỷ của đa thức f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x]
phải là số ngun.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

8

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Chương 2
Phương pháp nghiệm kép
2.1

Cơ sở của phương pháp nghiệm kép

Ta nhắc lại khái niệm sự tiếp xúc của đồ thị hai hàm số và khái niệm nghiệm
bội của đa thức
Định nghĩa 2.1.1. Đồ thị hàm số y = f (x) và y = g(x) được gọi là tiếp xúc
f (x0 ) = g(x0 )
nhau tại điểm có hồnh độ x = x0 nếu
f (x0 ) = g (x0 ) .
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử F (x)là một đa thức. Số x0 được gọi là nghiệm bội của
đa thức F (x) nếu F (x) chia hết cho (x − x0 )2 tức là F (x) có dạng

F (x) = (x − x0 )2 .Q(x)
trong đó Q(x) là một đa thức.
Trong trường hợp đa thức F (x) là tam thức bậc hai, nghiệm bội được gọi là
nghiệm kép.
Định lý sau đây chứng tỏ rằng phương pháp nghiệm kép là có cơ sở toán học khi
chúng ta xét sự tiếp xúc của hai đồ thị các hàm số phân thức hữu tỉ.
Định lý 2.1.3. Cho hai phân thức hữu tỉ

f (x) =

P (x)
U (x)
, g(x) =
.
Q(x)
V (x)

Khi đó đồ thị hai hàm số y = f (x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh
độ x = x0 khi và chỉ khi phương trình

P (x).V (x) − Q(x).U (x) = 0

(2.1)

có nghiệm bội x = x0 với Q(x0 ) = 0, V (x0 ) = 0 (tức là x0 thuộc miền xác định
của f (x) và g(x))
Vì đa thức cũng là phân thức hữu tỉ (khi đa thức ở mẫu là đa thức hằng số)
nên ta có các hệ quả sau:
Số hóa bởi trung tâm học liệu

9

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Hệ quả 2.1.4. Đường thẳng y = kx + h là tiếp tuyến với đồ thị hàm đa thức
y = P (x) khi và chỉ khi phương trình P (x) − (kx + h) = 0 có nghiệm bội.
Hệ quả 2.1.5. Đường thẳng y = kx + h là tiếp tuyến với đồ thị hàm phân thức
P (x)
hữu tỉ y =

khi và chỉ khi phương trình P (x) − Q(x).(kx + h) = 0 có nghiệm
Q(x)
bội x = x0 với Q(x0 ) = 0.
Hệ quả 2.1.6. Đường thẳng y = kx + h là tiếp tuyến với đồ thị hàm số
ax2 + bx + c
y=
khi và chỉ khi phương trình ax2 +bx+a−(mx+n).(kx+h) = 0
mx + n
có nghiệm kép (tức là khi biệt thức ∆ = 0).
Hệ quả 2.1.7. Đường thẳng y = kx + h là tiếp tuyến với đồ thị hàm phân thức
ax + b
hữu tỉ y =
khi và chỉ khi phương trình ax + b − (cx + d).(kx + h) = 0 có
cx + d
nghiệm kép (tức là khi biệt thức ∆ = 0).
Để chứng minh định lý ta cần đến bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.8. Đa thức f (x) có nghiệm bội x = x0 khi và chỉ khi F (x0 ) = f (x0 ) =
0

2.2

Nghiệm bội của phương trình

Trong khi giải tốn ta mới chỉ chú ý đén khái niệm nghiệm kép của phương
trình, tuy vậy nhiều bài tốn lại địi hỏi các kiến thức lien quan đến khái niệm
nghiệm bội (nói riêng là nghiệm kép) của phương trình. Ta xét bài tốn sau:
Ví dụ 2.2.1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số

y=

−m(x + 1) + x + 2
(m = 0)
m(x + 1) − 1

luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định.
Bài giải: Gọi d : y = a(x + 1) + b là đường thẳng cần tìm. Để d tiếp xúc với
đồ thị hàm số thì phương trình

−m(x + 1) + x + 2
= a(x + 1) + b.
m(x + 1) − 1

(2.2)

có nghiệm kép với m = 0, hay phương trình bậc hai

am(x + 1)2 + (m(1 + b) − 1 − a)(x + 1) − 1 − b = 0.

(2.3)

có nghiệm kép với m = 0.
Do đó cần phải hiểu thế nào là nghiệm kép của phương trình và các phép biến
đổi nào giữ ngun nghiệm kép của phương trình.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

10

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Định nghĩa nghiệm bội
Định nghĩa 2.2.2. Số u được gọi là nghiệm bội n (n là số tự nhiên, n ≥ 2) của
phương trình f (x) = g(x) nếu các hàm số f (x) và g(x) có đạo hàm đến cấp n − 1
tại u và số u là nghiệm của hệ phương trình:

f (x) = g(x)


f (x) = g (x)
(2.4)
…

 (n−1)
f
(x) = g (n−1) (x)
với đạo hàm cấp n của f (x), g(x) tại u hoặc không xác định, hoặc xác định nhưng

f (n) (u) = g (n) (u).

(2.5)

Khi n = 2 ta gọi nghiệm u là nghiệm kép.
Từ định nghĩa ta thấy: Nếu u là nghiệm bội k ≥ n của phương trình f (x) = g(x)
thì u sẽ thỏa mãn hệ 2.4.

Tính chất nghiệm bội
Ta có một số tính chất sau đây của nghiệm bội.
Tính chất 1. Giả sử hai hàm số y = f (x) và y = g(x) xác định trên tập D, khi
đó đồ thị của chúng tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ bằng u ∈ D khi và chỉ
khi số u là nghiệm bội n(n ≥ 2) của phương trình

f (x) = g(x).

(2.6)

Chứng minh. Thật vậy, nếu hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm M (u, v) thì u là
nghiệm của hệ
f (x) = g(x)
(2.7)
f (x) = g (x)
Vậy số u là nghiệm bội n với n ≥ 2 của 2.6.
Ngược lại, nếu u là nghiệm bội n với n ≥ 2 của 2.6 thì u là nghiệm của hệ 2.7
nhưng n − 1 ≥ 1 nên hệ 2.4 có ít nhất hai phương tình của hệ 2.7. Từ đó hai đồ
thị phải tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ u.
Khi tìm nghiệm bội của hương trình bất kì ta thường quy về tìm nghiệm bội
của đa thức vì vậy các tính chất sau rất có ích cho việc đó.
Tính chất 2. Số u là nghiệm của đa thức F (x) khi và chỉ khi

F (x) = (x − u)n .P (x)
với P (x) là đa thức khác 0 và khơng nhận u làm nghiệm.
Vậy khi đó số u là nghiệm bội của đa thức F (x) theo nghĩa đã biết (đa thức có
Số hóa bởi trung tâm học lieäu

11

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

đúng n nghiệm bằng u). Sử dụng tính chất 2 ta có
Tính chất 3. Giả sử b là số thực tùy ý, thì số u là nghiệm bội n của đa thức

am xm + am−1 xm−1 + … + a1 x + a0
khi và chỉ khi số u − b là nghiệm bội n của đa thức

am (x + b)m + am−1 (x + b)m−1 + … + a1 (x + b) + a0 .
Tính chất 4. Giả sử f (x), g(x), h(x), r(x) là các đa thức với (u) = 0, r(x) = 0
thì số u là nghiệm bội n của phương trình

f (x) h(x)
=
g(x)
r(x)

(2.8)

khi và chỉ khi số u là nghiệm bội n của phương trình

f (x).r(x) = g(x).h(x).
Theo các tính chất trên ta có thể thược hiện các phép biến đổi tương đương mà
không làm thay đổi nghiệm bội của phương trình, minh họa trong các ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số

y=

−m(x + 1) + x + 2
(m = 0)
m(x + 1) − 1

luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định.
Ta lấy lại ví dụ đặt vấn đề đã nêu ở trên. Ở đây sử dụng cách giải đơn thuần

nhất, mặc dù có nhiều cách giải khác. Chúng tơi bổ sung một vài chỗ để lời giải
chính xác, và đó chính là sự minh họa cho cách giải này bởi cơ sở lý thuyết trên.
Bài giải:
Giả sử đường thẳng y = a(x + 1) + b tiếp xúc với đồ thị hàm số nói trên với mọi
n = 0, khi đó hoành độ u của tiếp tuyến là nghiệm bội n của phương trình 2.2
với mọi m = 0. Tức là u là nghiệm bội n (với m(u + 1) = 0) của phương trình
2.3
am(x + 1)2 + (m(1 + b) − 1 − a)(x + 1) − 1 − b = 0.
với mọi m = 0.
Do tính chất 3, phương trình 2.3 có nghiệm bội n khi và chỉ khi

amx2 + (m(1 + b) − 1 − a)x − 1 − b = 0

(2.9)

có nghiệm bội n. Vì 2.9 là phương trình bậc hai nên nghiệm bội là nghiệm kép.
Ta giải hệ điều kiện
am = 0
∆=0
Số hóa bởi trung tâm học liệu

12

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

a=0
(m((1 + b) − 1 − a)2 − 4am(−1 − b) = 0
a=0
a = b = −1

vậy a = b = −1
Thử lại với a = b = −1 và m = 0 nghiệm kép của phương trình 2.3 thỏa mãn
1
điều kiện u =
− 1 (hay g(u) = 0 trong tính chất 4 nói trên).
m

2.3

Nghiệm kép của phương trình và vấn đề đường cong
tiếp xúc với trục hoành

Nghiệm bội của đa thức là gì?
Định nghĩa 2.3.1. Đa thức bậc n ≥ 1 có dạng

P (x) = an xn + an−1 xn−1 + … + a1 x + a0
nhận số thực α làm nghiệm bội k (k là số nguyên dương) nếu như

P (x) = (x − a)k Q(x)
trong đó Q(x) cũng là một đa thức với Q(α) = 0.
Trong trường hợp đặc biệt, nghiệm bội hai được gọi là nghiệm kép, còn nghiệm
bội k = 1 được gọi là nghiệm đơn.
Nếu kí hiệu P (i) (x) là đạo hàm cấp i của P (x) khi đó ta có các kết quả dưới đây
Mệnh đề 2.3.2. Điều kiện ắt có và đủ để đa thức P (x) nhận α làm nghiệm bội
k là P (α) = 0, P (i) (α) = 0 với k − 1 giá trị i = 1, 2, 3, …, k − 1 và P (k) (α) = 0.
Vậy thì có một câu hỏi được đặt ra

Khi nào đường cong tiếp xúc với trục hoành?
Mệnh đề 2.3.3. Đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hồnh khi và chỉ khi
hệ phương trình

f (x) = 0
f (x) = 0
có nghiệm
Do đó ta thấy: Nếu kết hợp mệnh đề 1 và mệnh đề 2, ta nhận được kết quả về
mối quan hệ giữa tính tiếp xúc với trục hoành của một đa thức và nghiệm bội.
Số hóa bởi trung tâm học liệu

13

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Mệnh đề 2.3.4. Đồ thị hàm đa thức

P (x) = an xn + an−1 xn−1 + … + a1 x + a0
có bậc cao hơn 1 tiếp xúc với trục hồnh khi và chỉ khi P (x) có nghiệm bội k (với
k ≥ 2) hay có ít nhất hai nghiệm trùng nhau.

Nhìn lại những sai lầm
Nếu cho rằng điều kiện để đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hồnh là
phương trình f (x) = 0 có nghiệm kép hoặc là nghiệm bội k (với k ≥ 2) thì sẽ ra
sao?
Sau đây chúng ta dẫn ra một số ví dụ minh họa cho sai lầm đó
Ví dụ 2.3.5. Đồ thị hàm số y = f (x) = sin x − x tiếp xúc với trục hoành khi
nào?
Đồ thị hàm số y = sin x − x tiếp xúc với trục hoành khi tại x = 0 vì y(0) =
y (0) = 0, nhưng có lẽ nào ta lại có phương trình sin x − x = 0 có nghiệm kép
hay nghiệm bội!
Một sai lầm khó phát hiện hơn, thực sự phải tinh tế thì mới phát hiện ra. Ta thấy
trong một số tài liệu ôn thi đại học của các trường đã lập luận như sau

Hàm số bậc ba
f (x) = (x − x0 )(ax2 + bx + c)
tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phương trình f (x) = 0 có nghiệm kép.
Điều đó tương đương với hai trường hợp
Trường hợp 1: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c nhận x0 làm nghiệm, tức là

⇔ ax20 + bx0 + c = 0.
Trường hợp 2: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm kép, tức là

∆ = b2 − 4ac = 0.
Sự tinh tế (tế nhị) là ở chỗ cả hai bước của lập luận trên đều sai nhưng lại cho
kết quả đúng.
Thật vậy, chúng ta cùng xem lại từng bước của lập luận này.
Đồ thị của hàm bậc ba

f (x) = (x − x0 )(ax2 + bx + c)
tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phương trình (x − x0 )(ax2 + bx + c) = 0
có ít nhất hai nghiệm trùng nhau (Mệnh đề 3), điều đó tương đương với

ax20 + bx0 + c = 0
∆ = b2 − 4ac = 0
Số hóa bởi trung tâm học liệu

14

(2.10)
http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Nếu cả hai điều kiện của 2.10 cùng xảy ra thì f (x) nhận x0 là nghiệm bội ba.

Ta cũng có thể dùng mệnh đề 2 để chứng minh kết quả này.
Bây giờ ta xem xét bước 2.
Phương trình bậc ba
(x − x0 )(ax2 + bx + c) = 0
có nghiệm kép thì nghiệm kép đó là x0 hoặc khác x0 .
Nếu nghiệm kép đó là x0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 phải có một nghiệm
x0 và một nghiệm khác x0 .
Nếu phương trình (x − x0 )(ax2 + bx + c) = 0 có nghiệm kép khác x0 thì nghiệm
đó chính là nghiệm kép của phương trình ax2 + bx + c = 0.
Vậy phương trình
(x − x0 )(ax2 + bx + c) = 0
có nghiệm kép khi và chỉ khi





ax20 + bx0 + c = 0
∆ = b2 − 4ac > 0
ax20 + bx0 + c = 0
∆ = b2 − 4ac = 0

(2.11)

Chúng ta hồn tồn có thể sử dụng mệnh đề 1 kiểm tra lại kết quả này. Điều kiện
đề đường cong y = f (x) tiếp xúc với trục hoành tương đương với phương trình
f (x) = 0 có nghiệm kép, chỉ có thể tin cậy được trên các hàm bậc hai, còn với
các đường cong khác cần phải xem xét lại cho chuẩn mực.

2.4

Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng phương pháp
nghiệm kép

Định lý 2.4.1. Đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với đồ thị hàm số của y = g(x)
khi và chỉ khi hệ phương trình sau

f (x) = g(x)
f (x) = g (x)
có nghiệm.
Ví dụ 2.4.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)

2×2 − 3x + 2
y=
x−1

(C),

biết tiếp tuyến đi qua A(4; 1).

Số hóa bởi trung tâm học liệu

15

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Bài giải:
Đường thẳng d đi qua A(4; 1) với hệ số góc k có phương trình

y =⇔ y = kx + 1 − 4k.
Để d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

2×2 − 3x + 2



= k(x − 4) + 1
x−1
2×2 − 4x + 1


=k

(x − 1)2

1

 2x − 1 +
= k(x − 1) + 1 − 3k
(∗)
x−1
⇔
1


2−
=k
(x − 1)2


1
1

 2x − 1 +
= 2(x − 1) −
+ 1 − 3k
x
−
1
x
−
1
⇔
1


k =2−
(x − 1)2

1
3k


=−
x−1
2
⇔
2
9k


 k =2−
4

1
3k

=−
⇔
1
2
 9kx2 −
+ 4k − 8 = 0

1
3k


=−
x−1
√2
⇔
−2
±
76

k=
9
Vậy ta tìm được hai tiếp tuyến (d1 ), (d2 ) có phương trình:
√
−2 ± 76

y=(
)(x − 4) + 1.
9
Nhận xét: Cần chú ý thủ thuật viết y = k(x−4)+1 về dạng y = k(x−1)+(1−3k).
1
Khi thay k = 2 −
vào (*), ta chỉ thay vào k(x − 1) và không thay vào
(x − 1)2
(1 − 3k).

Số hóa bởi trung tâm học liệu

16

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

2.5

Bài tốn nghiệm kép viết phương trình tiếp tuyến

Ta biết, bài toán tiếp tuyến được giải bằng hai cách nhờ mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.5.1. Đường thẳng y = ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x)
khi và chỉ khi thảo mãn một trong hai điều kiện sau:

•

f (x0 ) = ax0 + b
(Cách 1)
f (x0 ) = a

• Phương trình f (x) = ax + b có nghiệm bội x = x0. (Cách 2)
Ta sẽ nghiên cứu cơ sở lý thuyết của cách 2 trong mệnh đề 2.5.1, tức là phương
pháp nghiệm kép đối với các hàm số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ mà chứng
minh phù hợp hơn với toán phổ thông.
Xét đa thức
P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + … + an .
Ta nói x = x0 là nghiệm bội k của đa thức P (x) nếu

P (x) = (x − x0 )k .Q(x),
trong đó k > 1, k ∈ N và Q(x) là đa thức thỏa mãn Q(x0 ) = 0 (Q(x) có thể là
hằng số).
Ta gọi x0 là nghiệm bội của P (x) khi không cần chỉ rõ số k. Nghiệm bội k = 2
được gọi là nghiệm kép của đa thức.
Mệnh đề 2.5.2. Đa thức P (x) có nghiệm bộ x0 khi và chỉ khi P (x0 ) = 0 và
P (x0 ) = 0.
Mệnh đề 2.5.3. Đường thẳng d với phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của
đồ thị (C1 ) của hàm số y = P (x) tại điểm x = x0 khi và chỉ khi phương trình

P (x) − (ax + b) = 0,
có nghiệm bội x = x0 .
Đối với đồ thị hàm phân thức hữu tỉ có dạng y =

U (x)
, ta có
V (x)

Mệnh đề 2.5.4. Đường thẳng d với phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của
U (x)
đồ thị (C2 ) của hàm số y =

tại điểm x = x0 khi và chỉ khi phương trình
V (x)

U (x) − (ax + b)V (x) = 0,
với V (x0 ) = 0 có nghiệm bội x = x0 .
Số hóa bởi trung tâm học lieäu

17

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Áp dụng mệnh đề 2.5.4 vào xét các hàm số có dạng

ax2 + bx + c
f (x) =
,
ax+b
và

f (x) =

ax + b
.
ax+b

(2.12)

(2.13)

Ta được
Mệnh đề 2.5.5. Đường thẳng y = ax+b là tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x)
tại điểm x = x0 với f (x) có dạng ?? hoặc 2.12 khi và chỉ khi phương trình

f (x) − (ax + b) = 0
là phương trình bậc hai có nghiệm kép x = x0 .

x2 + 1
Ví dụ 2.5.6. Cho hàm số =
có đồ thị (C).
x
Tìm tập hợp các điểm M mà từ dó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) mà hai tiếp
tuyến đó vng góc với nhau.
Bài giải: Giả sử điểm M (x0 ; y0 ) là điểm bất kì trên mặt phẳng tọa độ Oxy,
phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc a là

(d) : y = a(x − x0 ) + y0 .
Để tìm tọa độ giao điểm giữa (C) và (d) ta xét phương trình

⇔

x2 + 1
= a(x − x0 ) + y0
x
x=0
2
(a − 1)x − (ax0 − y0 )x − 1 = 0

(2.14)

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình 2.14 có nghiệm
kép khác 0
⇔ a = 1 và x = 0
∆=0
(với a = 1 thì hệ số a là hệ số góc của tiệm cận xiên y = x)
Ta có
∆ = (ax0 − y0 )2 + 4(a − 1)

⇔ ∆ = x0 a2 − 2(x0 y0 − 2)a + y02 + 4.
Để qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) vng góc với nhau khi và chỉ khi phương
trình ∆ = 0 có hai nghiệm a1, a2 thỏa mãn a1 .a2 = −1

x0 = 0

2
y +4
⇔
= −1
 0
x0
Số hóa bởi trung tâm học liệu

18

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

⇔

x20

x0 = 0
.
+ y02 = 4

Vậy tập hợp điểm M phải tìm là đường trịn x2 + y 2 = 4, trừ đi các giao điểm
của đường trịn đó với hai đường tiệm cận (do các điều kiện x0 = 0 và a = 1).

2.6

Bài toán nghiệm kép xét sự tiếp xúc của hai đồ thị

Nếu bỏ phương pháp nghiệm kép thì việc giải một số bài tốn trước đây có
thể khơng giải được.
Trong chun đề này chúng ta xét một số bài tốn mang tính điển hình để thấy
được ứng dụng của phương pháp nghiệm kép trong bài toán tiếp xúc của hai đồ
thị hàm số.
Ví dụ 2.6.1. Tìm m để đồ thị hàm số

y = (x + 2)(x2 − mx + m2 − 3)
tiếp xúc với trục hoành.
Bài giải: Đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với truch hoành y = 0 khi và chỉ
khi hệ phương trình ẩn x sau có nghiệm

(I)

f (x) = 0
f (x) = 0

Do đó, để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox thì điều kiện cần và đủ là

(x + 2)(x2 − mx + m2 − 3) = 0
(x2 − mx + m2 − 3) + (x + 2)(2x − m) = 0

x+2=0
 (II) x2 − mx + m2 − 3 = 0
⇔

x2 − mx + m2 − 3 = 0
(III)
(x + 2)(2x − m) = 0
Nếu t(x) = x2 − mx + m2 − 3 thì hệ (I) có nghiệm ⇔ Hệ (II) hoặc hệ (III) có
nghiệm, điều đó tương đương với

⇔

m2 + 2m + 1 = 0
3 2
m −3=0
4

t(−2) = 0
m
t( = 0 ⇔
2
⇔

m = −1
m = ±2

m
) = 0 cũng chính là điều kiện để t(x) có nghiệm kép
2
thì lời giải trên chúng ta đã giải trước đây.
Nhạn xét. Điều kiện t(

Số hóa bởi trung tâm học liệu

19

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

2.6.1

Nghiệm của đa thức bậc hai và bất đẳng thức

Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c,

a = 0.

Mệnh đề 2.6.2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của f (x) = 0. Khi đó có kết quả:

f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )



b
x1 + x2 = −


c a


x1 x2 =
a
Mệnh đề 2.6.3. Giả sử f (x) ∈ R[x] và ∆ = b2 − 4ac. Khi đó có các kết quả sau:
(i) f (x) > 0 với mọi giá trị của x khi và chỉ khi
(ii) f (x) ≥ 0 với mọi giá trị của x khi và chỉ khi

a>0
∆a>0
∆ ≤ 0. (iii) f (x) ∆∆≤0.

(v) f (x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 và số thực α sao cho x1 chỉ khi a.f (α) Mệnh đề 2.6.4. Giả sử dãy hữu hạn các số thực (ai ); (bi ); (ti ) thỏa mãn 0 ai ≤ A, 0 n

1
(i) [Polya] (
4

ab
+
AB

AB 2
) ≥
ab

i=1

a2i .

n
i=1

b2i

n

(

ai bi

.

)2

i=1

(ii) [Cantorovic]

2.6.2

n
n t
(a + A)2 n
i
( ti )2 ≥ ( ti ai )(
).
aA
a
i
i=1
i=1
i=1

Nghiệm của đa thức bậc n và bất đẳng thức

Bổ đề 2.6.5 (Rolle).
Nếu hàm số y = g(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b], a g(a) = g(b) thì tồn tại x0 ∈ (a; b) để g (x0 ) = 0.
Hàm tiếp theo được xét đến là một đa thức bậc n > 2 với n nghiệm sau đây:

f (x) = (x − a1 )(x − a2 )…(x − an ) = xn σ1 xn−1 − σ2 xn−2 − … − (−1)n σn .
Số hóa bởi trung tâm học liệu

20

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Mệnh đề 2.6.6. Nếu các ai > 0; i = 1, …, n, thì ta có các bất đẳng thức

σ1
n
1

σ2
n
2

≥

σk
n
k

≥ … ≥
k

σn−1
n
n−1

≥ … ≥
n−1

σn
.
n
n

≥
n

Hệ quả 2.6.7 (APMO 1990).
Nếu các ai, i = 1, …, n thì ta có

n
i

δi δn−i ≥

Chứng minh. Do

δi

n
i

i

đề 2.6.6 nên

Vậy δi δn−i ≥

2.6.3

≥

δi
n
i
n
i

n

≥

n
n−i

δn
n
n
n

,

n−i

δi
n
n−i

δn−i ,

δn =

2

n
i

δn .
δn−i
n
n−i
≥

≥

n

n

δn
n
n

theo mệnh

δnn−i .

2

δn .

Các ví dụ

Ví dụ 2.6.8. Giả sử ba số a, b, c > 0 là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng
minh rằng nếu các số thực x, y, z thỏa mãn hệ thức ax + by + cz = 0 thì

ayz + bzx + cxy ≤ 0 và yz + zx + xy ≤ 0.
Chứng minh. Từ giả thiết ax + by + cz = 0 suy ra cz = −ax − by. Vì c > 0 nên

ayz + bzx + cxy ≤ 0
⇔ aycz + bczx + c2 xy ≤ 0.
Vậy ta phải chỉ ra

ay(−ax − by) + bx(−ax − by) + c2 xy ≤ 0
hay

abx2 + (a2 + b2 − c2 )xy + aby 2 ≥ 0.
Xét hàm số f (x, y) = abx2 + (a2 + b2 − c2 )xy + aby 2 với ab > 0. Có biệt thức

∆ = −(a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c)y 2 ≤ 0,
Số hóa bởi trung tâm học liệu

21

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

nên với f (x, y) ≥ 0 với mọi x, y .

+ by
Vì z = −
nên yz + zx + xy ≤ 0 tương đương
c

ax2 + (a + b − c)xy + by 2 ≥ 0.
Dễ dàng thấy ∆ ≤ 0. Vậy

yz + zx + xy ≤ 0.

Ví dụ 2.6.9. Chứng minh rằng, nếu f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d ∈ R[x] có
bốn nghiệm thực dương thì

ac ≥ 16d và b2 ≥ 36d.
Từ đó suy ra phương trình x4 + ax3 + 10×2 + cx + 3 = 0 khơng thể có bốn nghiệm
dương với mọi a, c ∈ R.
Chứng minh. Giả sử bốn nghiệm của f (x) = 0 là x1, x2, x3, x4 > 0. Từ bất đẳng
thức
1
1
1
1
(x1 + x2 + x3 + x4 )( +
+
+ ) ≥ 16
x1 x2 x3 x4
suy ra bất đẳng thức

(−a)(−c) ≥ 16d hay ac ≥ 16d.
Vì

b
4
2

≥

4

d
4
2

nên b2 ≥ 36d.

Do 102 = 100 nghiệm dương.
Ví dụ 2.6.10 (VMO 2004). Giả sử x, y, z là những số thực dương thỏa mãn
(x + y + z)3 = 32xyz. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x4 + y 4 + z 4
T =
.
(x + y + z)4
Chứng minh. Ta thấy ngay, với mọi số thực dương α ln có

T (x; y; z) = T (αx, αy; αz).
Vậy, không làm mất tính chất tổng qt có thể giả thiết x + y + z = 4. Khi đó
x + y + z = 4, xyz = 2, ở đó x, y, z > 0. Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức

x4 + y 4 + z 4
T =
.
256
Số hóa bởi trung tâm học liệu

22

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Dễ thấy x, y, z đều là nghiệm của phương trình t3 − 4t2 + at − 2 = 0, ở đó
a = xy + yz + zx.
Do tính bình đẳng của x, y, z nên có thể coi x ≥ y, z. Biểu diễn

x4 + y 4 + z 4 = [x2 + y 2 + z 2 ]2 − 2[x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 ] = 2[a2 − 32] + 288.
2
2
Từ a = xy + yzz x = x(y + z) + yz = x(4 − x) + suy ra a = x(4 − x) + hay
x
x
4
x≥ .
3
8
4
Từ (4 − x)2 = (y + z)2 ≥ 4yz = hay (x − 2)(x2 − 6x + 4) ≥ 0, và x ≥ suy
x
3
4

ra ≤ x ≤ 2.
3
2
4
Khảo sát a = x(4 − x) + với ≤ x ≤ 2. Ta có
x
3
a =
với

−2x − 1)(x2 − x − 1)
,
x2

4
≤ x ≤ 2. Từ đây suy ra
3
√
5 5−1
5≤a≤
.
2

√
5
5−1
Xét x4 + y 4 + z 4 = 2[a2 − 32a] + 288 với 5 ≤ a ≤
. Ta được
2
Tmax =

Và

Tmin

9
khi x = 2, y = z = 1.
128

√
√
√
383 − 165 5
1+ 5
=
khi x = 3 − 5, y = z =
.
256
2

Số hóa bởi trung tâm học liệu

23

http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Ngày … tháng … năm 2013C ó thể tìm hiểu và khám phá luận văn tại thư viện Đại học Thái NgunSố hóa bởi TT học liệuhttp : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Mục lục1 Nghiệm của đa thức – Nghiệm của phương trình1. 1 Nghiệm của đa thức. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.2 Nghiệm bội và đặc thù của nghiệm bội. .. .. . 1.3 Công thức Viet. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1.4 Nghiệm của đa thức với thông số nguyên. .. .. .. . 1.5 Tính chặn nghiệm trên C. .. .. .. .. .. .. . 2 Phương pháp nghiệm kép2. 1 Cơ sở của chiêu thức nghiệm kép. .. .. .. .. .. .. . 2.2 Nghiệm bội của phương trình. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2.3 Nghiệm kép của phương trình và yếu tố đường cong tiếp xúctrục hoành. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2.4 Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng chiêu thức nghiệm kép2. 5 Bài tốn nghiệm kép viết phương trình tiếp tuyến. .. .. . 2.6 Bài toán nghiệm kép xét sự tiếp xúc của hai đồ thị. .. .. . 2.6.1 Nghiệm của đa thức bậc hai và bất đẳng thức. .. .. 2.6.2 Nghiệm của đa thức bậc n và bất đẳng thức. .. .. . 2.6.3 Các ví dụ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. … . 9. .. 10 với. .. 13. .. 15. .. 17. .. 19. .. 20. .. 20. .. 21K ết luận24Tài liệu tham khảo25Số hóa bởi TT học liệuhttp : / / www.lrc.tnu.edu.vn/MỞ ĐẦUNghiệm của đa thức là một phần rất quan trọng trong nhiều nghành nghề dịch vụ củaToán hoc, ví dụ điển hình : Đại số, Giải tích, Hình học, Tốn rời rạc … vv. Trong chươngtrình tốn phổ thơng, phần đa thức và nghiệm của đa thức đa phần được đưavào bộ môn Đại số và Giải tích. Đặc biệt trong những kỳ thi ĐH, học viên giỏiquốc gia và quốc tế đều có những bài tốn tương quan đến nghiệm bội của đa thức. Chính thế cho nên mà chuyên đề về nghiệm bội của đa thức rất thiết thực với nhữngai muốn khám phá sâu về toán sơ cấp. Từ những tác dụng đạt được trong giải pháp nghiệm bội của đa thức chúng tacó thể vận dụng giải 1 số ít bài tốn về hình học rất phức tạp, giải hệ phươngtrình và kiến thiết xây dựng một số ít tác dụng về Tổ hợp, chứng tỏ bất đẳng thức. Khi xétđa thức ta thường chăm sóc đến nghiệm, nghiệm bội của đa thức. Nội dung củaluận văn nhằm mục đích xử lý hai yếu tố chính : Vấn đề 1 : Chứng minh lại, một số ít tác dụng cơ bản về nghiệm và nghiệm bội củaphương trình mà những hiệu quả ấy gắn liền với tên tuổi của những nhà toán học lỗilạc. Vận dụng những tác dụng đạt được để xử lý 1 số ít bài toán đã được đặt ra. Vấn đề 2 : Đưa ra cơ sở của giải pháp nghiệm kép, vận dụng phương phápnghiệm kép giải : Bài toán tiếp xúc với trục hồnh ; bài tốn tiếp xúc của hai đồthị ; Bài tốn tiế tuyến ; Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng chiêu thức nghiệmkép. Luận văn này được chia làm hai chương. Chương I : Nghiệm của đa thức. ( 1 ) Nội dung chương I trình diễn một số ít khái niệm về vành đa thức, nghiệm củađa thức, nghiệm của phương trình. Chương II : Phương pháp nghiệm kép. ( 2 ) Nội dung chương II trình diễn về cơ sở của phuwownbg pháp nghiệm kép, vận dụng giải pháp nghiệm kép giải những bài tốn : Bài tốn tiếp xúc với trụchồnh ; bài toán tiếp xúc của hai đồ thị ; Bài toán tiế tuyến ; Bài tốn tiếp tuyếnkhi khơng dùng giải pháp nghiệm kép, bài toán nghiệm kép vận dụng giải bấtđẳng thức. Dù đã rất cố gắng nỗ lực, nhưng chắc như đinh nội dung được trình diễn trong luận vănkhơng tránh khỏi thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ý của cácthầy cơ giáo và những bạn. Số hóa bởi TT học liệuhttp : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Luận văn này được hoàn thành xong dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS NôngQuốc Chinh. Em xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy về sự giúp đỡnhiệt tình từ khi kiến thiết xây dựng đề cương, viết và hoàn thành xong luận văn. Tiếp theo emxin chân thành cảm ơn những thầy cô giáo phản biện đã đọc và góp ý để em hồnthiện luận văn của mình. Em xin được cảm ơn chân thành nhất tới Trường Đạihọc Khoa học – Đại học Thái Nguyên, nơi em đã nhận được một học vấn sau đạihọc cơ bản. Xin cảm ơn mái ấm gia đình, đồng nghiệp đã cảm thơng, san sẻ, ủng hộ vàgiúp đỡ trong thời hạn em học cao học và viết luận văn. Lời cuối em xin chúcsức khỏe những thầy cô giáo và đồng nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn ! Thái Nguyên, ngày … tháng … năm 2013N gười thực hiệnBàn Vàng PaoSố hóa bởi TT học liệuhttp : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Chương 1N ghiệm của đa thức – Nghiệm củaphương trình1. 1N ghiệm của đa thức. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử K là một trường số nào đó, A là trường con của K. Một thành phần α ∈ Kgọi là nghiệm của đa thức f ( x ) ∈ A [ x ] nếu và chỉ nếu f ( α ) = 0. Ta cũng nói α lànghiệm của phương trình đại số f ( x ) = 0. Nếu degf ( x ) = n gọi là phương trìnhđại số bậc n ( n ≥ 1 ). Định lý 1.1.2 ( Định lý Bezout ). Cho vành đa thức A [ x ], f ( x ) ∈ A [ x ], α ∈ A. Dư trong phép chia f ( x ) cho x − α làf ( α ). Hệ quả 1.1.3. Phần tử α ∈ A là nghiệm của đa thức f ( x ) ∈ A [ x ], nếu và chỉ nếu f ( x ) chia hếtcho x − α trong A [ x ]. f ( α ) = 0 ⇔ f ( x ) = ( x − α ). q ( x ) tức f ( α ) .. ( x − α ). Định lý 1.1.4. Mọi đa thứcf ( x ) = a0 xn + a1 xn − 1 + … + an − 1 x + an ∈ A [ x ], a0 = 0 hoàn toàn có thể viết dưới dạng f ( x ) = a0 ( x − α1 ) ( x − α2 ) … ( x − αn ) trong vành K [ x ]. Ởđây α1, α2, …, αn là những nghiệm của đa thức f ( x ) trong trường lan rộng ra K củaA. 1.2 Nghiệm bội và đặc thù của nghiệm bội. Định nghĩa 1.2.1. Giả sử k là 1 số ít tự nhiên khác 0. Một thành phần α ∈ A gọi là nghiệm bội cấp kSố hóa bởi TT học liệuhttp : / / www.lrc.tnu.edu.vn/của đa thức f ( x ) ∈ A [ x ] nếu và chỉ nếu f ( x ) chia hết cho ( x − pα ) k đồng thờikhông chia hết cho ( x − α ) k + 1. f ( x ) = ( x − α ) k q ( x ) ( q ( α ) = 0 ), k = 1 thì α gọi là nghiệm đơn. k = 2 thì α gọi là nghiệm kép. Định lý 1.2.2 ( Định lí cơ bản của đại số cổ xưa ). Mọi đa thức f ( x ) với hệ số phức, deg f ( x ) ≥ 1 có đúng n nghiệm phức, kể cả sốbội của mỗi nghiệm. 1.3 Công thức Viet. Định lý 1.3.1. Cho f ( x ) = a0 xn + a1 xn − 1 + … + an − 1 x + an ∈ A [ x ], a0 = 0 làmột đa thức bất kỳ và f ( x ) = a0 ( x − α1 ) ( x − α2 ) … ( x − αn ). Ở đây, α1, α2, …, αnlà những nghiệm của đa thức f ( x ). Khi đó, a1α1 + α2 + … + αn = − a0a2α1 α2 + α2 α3 + … + αn − 1 αn = a0 ………………….. ( 1.1 ) k ak … α …… α ( − 1 ) n − k + 1 n − k + 2 a0 ………………….. anα1 α2 … αn = ( − 1 ) na01. 1 Gọi là công thức Viet. 1.4 Nghiệm của đa thức với thông số nguyên. Với mọi f ( x ) ∈ Q [ x ] ln tìm được số ngun m = 0 để mf ( x ) = g ( x ), g ( x ) ∈ Z [ x ] ( m-mẫu số chung những thông số của f ( x ) ). ∀ α ∈ Q, f ( α ) = 0 ⇔ g ( α ) = 0. Do đó, để xét nghiệm của đa thức trên Q., ta chỉ cần xét nghiệm của đa thức trênZ. Định lý 1.4.1. Nếu u và v là những số nguyên tố cùng nhau và nếu số hữu tỉα = là nghiệm của đa thức với thông số nguyênp ( x ) = a0 xn + a1 xn − 1 + … + an − 1 x + an, thì a0 .. v và an .. u. Số hóa bởi TT học liệuhttp : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Hệ quả 1.4.2. • Mọi nghiệm nguyên của đa thức với hệ số nguyên đều là ước của hạng tử tự do. • Mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức với thông số nguyên có thông số cao nhất bằng 1 đềulà nghiệm nguyên. Bài toánCho đa thức với thông số nguyênf ( x ) = a0 xn + a1 xn − 1 + … + an − 1 x + an. Chứng minh rằng nếu α là 1 nghiệm nguyên của đa thứcn − 1 ϕ ( x ) = y n + a1 y n − 1 + an − 20 an − 1 y + a0 an, thìcũng là nghiệm của đa thức đã cho. a0Định lý 1.4.3. Nếu số hữu tỉ α = ( ( u, v ) = 1 ) là nghiệm của đa thức vớihệ số nguyênp ( x ) = a0 xn + a1 xn − 1 + … + an − 1 x + an = 0, thì với mọi số nguyên m, số p ( m ) .. ( mv − u ). Trong trường hợp đặc biệt quan trọng ( u + v ) là ước của p ( − 1 ) còn ( u − v ) là ước của p ( 1 ). Hệ quả 1.4.4. Nếu α = ± 1 là nghiệm của của đa thứcf ( x ) = a0 xn + a1 xn − 1 + … + an − 1 x + anthìf ( 1 ) f ( − 1 ) vàđều nguyên. 1 − α1 + αBây giờ ta sẽ chỉ ra rằng, mọi đa thức bậc dương thuộc C [ x ] đều có nghiệm trongC. Đó chính là nội dung Định lý cơ bản của đại số. Người tiên phong chứng minhĐịnh lý này là nhà toán học C. Gauss ( 1777 – 1855 ). Định nghĩa 1.4.5. Trường K được gọi là một trường đóng đại số nếu mọi đathức bậc dương thuộc K [ x ] đều có nghiệm trong K.Như vậy, trong K [ x ] mọi đa thức bậc dương đều nghiên cứu và phân tích được thành tích cácnhân tử tuyến tính khi K là một trường đóng đại số. Bổ đề 1.4.6. Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R [ x ] đều có tối thiểu một nghiệm thực thuộcR. Bổ đề 1.4.7. Mỗi đa thức bậc hai thuộc C [ x ] đều có hai nghiệm thuộc C.Số hóa bởi TT học liệuhttp : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Định lý 1.4.8. [ D’Alembert – Gauss, Định lý cơ bản của đại số ] Mọi đathức bậc dương thuộc C [ x ] đều có tối thiểu một nghiệm thuộc C.Hệ quả 1.4.9. Mọi đa thức thuộc C [ x ] với bậc n > 0 đều có n nghiệm trong Cvà những đa thức bất khả quy trong C [ x ] là những đa thức bậc nhất. Bổ đề 1.4.10. Cho f ( x ) ∈ R [ x ] \ R. f ( x ) là đa thức bất khả quy khi và chỉ khihoặc f ( x ) = ax + b với a = 0 hoặc f ( x ) = ax2 + bx + c với a = 0 và b2 − 4 ac 0 đều có n nghiệm trong Cvà những đa thức bất khả quy trong C [ x ] là những đa thức bậc nhất. Bổ đề 1.5.6. Cho f ( x ) ∈ R [ x ] \ R. f ( x ) là đa thức bất khả quy khi và chỉ khihoặc f ( x ) = ax + b với a = 0 hoặc f ( x ) = ax2 + bx + c với a = 0 và b2 − 4 ac 0 ax20 + bx0 + c = 0 ∆ = b2 − 4 ac = 0 ( 2.11 ) Chúng ta hồn tồn hoàn toàn có thể sử dụng mệnh đề 1 kiểm tra lại tác dụng này. Điều kiệnđề đường cong y = f ( x ) tiếp xúc với trục hoành tương tự với phương trìnhf ( x ) = 0 có nghiệm kép, chỉ hoàn toàn có thể đáng tin cậy được trên những hàm bậc hai, còn vớicác đường cong khác cần phải xem xét lại cho chuẩn mực. 2.4 Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng phương phápnghiệm képĐịnh lý 2.4.1. Đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với đồ thị hàm số của y = g ( x ) khi và chỉ khi hệ phương trình sauf ( x ) = g ( x ) f ( x ) = g ( x ) có nghiệm. Ví dụ 2.4.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) 2×2 − 3 x + 2 y = x − 1 ( C ), biết tiếp tuyến đi qua A ( 4 ; 1 ). Số hóa bởi TT học liệu15http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Bài giải : Đường thẳng d đi qua A ( 4 ; 1 ) với thông số góc k có phương trìnhy = ⇔ y = kx + 1 − 4 k. Để d tiếp xúc với ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm2x2 − 3 x + 2 = k ( x − 4 ) + 1 x − 12×2 − 4 x + 1 = k ( x − 1 ) 2  2 x − 1 + = k ( x − 1 ) + 1 − 3 k ( ∗ ) x − 12 − = k ( x − 1 ) 2  2 x − 1 + = 2 ( x − 1 ) − + 1 − 3 kk = 2 − ( x − 1 ) 23 k = − x − 19 k  k = 2 − 3 k = −  9 kx2 − + 4 k − 8 = 03 k = − x − 1 √ 2 − 276  k = Vậy ta tìm được hai tiếp tuyến ( d1 ), ( d2 ) có phương trình : − 2 ± 76 y = ( ) ( x − 4 ) + 1. Nhận xét : Cần quan tâm thủ pháp viết y = k ( x − 4 ) + 1 về dạng y = k ( x − 1 ) + ( 1 − 3 k ). Khi thay k = 2 − vào ( * ), ta chỉ thay vào k ( x − 1 ) và không thay vào ( x − 1 ) 2 ( 1 − 3 k ). Số hóa bởi TT học liệu16http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/2.5Bài tốn nghiệm kép viết phương trình tiếp tuyếnTa biết, bài toán tiếp tuyến được giải bằng hai cách nhờ mệnh đề sau : Mệnh đề 2.5.1. Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) khi và chỉ khi thảo mãn một trong hai điều kiện kèm theo sau : f ( x0 ) = ax0 + b ( Cách 1 ) f ( x0 ) = a • Phương trình f ( x ) = ax + b có nghiệm bội x = x0. ( Cách 2 ) Ta sẽ nghiên cứu cơ sở triết lý của cách 2 trong mệnh đề 2.5.1, tức là phươngpháp nghiệm kép so với những hàm số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ mà chứngminh tương thích hơn với toán đại trà phổ thông. Xét đa thứcP ( x ) = a0 xn + a1 xn − 1 + … + an. Ta nói x = x0 là nghiệm bội k của đa thức P ( x ) nếuP ( x ) = ( x − x0 ) k. Q ( x ), trong đó k > 1, k ∈ N và Q. ( x ) là đa thức thỏa mãn nhu cầu Q. ( x0 ) = 0 ( Q. ( x ) hoàn toàn có thể làhằng số ). Ta gọi x0 là nghiệm bội của P ( x ) khi không cần chỉ rõ số k. Nghiệm bội k = 2 được gọi là nghiệm kép của đa thức. Mệnh đề 2.5.2. Đa thức P ( x ) có nghiệm bộ x0 khi và chỉ khi P ( x0 ) = 0 vàP ( x0 ) = 0. Mệnh đề 2.5.3. Đường thẳng d với phương trình y = ax + b là tiếp tuyến củađồ thị ( C1 ) của hàm số y = P ( x ) tại điểm x = x0 khi và chỉ khi phương trìnhP ( x ) − ( ax + b ) = 0, có nghiệm bội x = x0. Đối với đồ thị hàm phân thức hữu tỉ có dạng y = U ( x ), ta cóV ( x ) Mệnh đề 2.5.4. Đường thẳng d với phương trình y = ax + b là tiếp tuyến củaU ( x ) đồ thị ( C2 ) của hàm số y = tại điểm x = x0 khi và chỉ khi phương trìnhV ( x ) U ( x ) − ( ax + b ) V ( x ) = 0, với V ( x0 ) = 0 có nghiệm bội x = x0. Số hóa bởi TT học lieäu17http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Áp dụng mệnh đề 2.5.4 vào xét những hàm số có dạngax2 + bx + cf ( x ) = ax + bvàf ( x ) = ax + bax + b ( 2.12 ) ( 2.13 ) Ta đượcMệnh đề 2.5.5. Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm x = x0 với f ( x ) có dạng ? ? hoặc 2.12 khi và chỉ khi phương trìnhf ( x ) − ( ax + b ) = 0 là phương trình bậc hai có nghiệm kép x = x0. x2 + 1V í dụ 2.5.6. Cho hàm số = có đồ thị ( C ). Tìm tập hợp những điểm M mà từ dó kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) mà hai tiếptuyến đó vng góc với nhau. Bài giải : Giả sử điểm M ( x0 ; y0 ) là điểm bất kỳ trên mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d qua M có thông số góc a là ( d ) : y = a ( x − x0 ) + y0. Để tìm tọa độ giao điểm giữa ( C ) và ( d ) ta xét phương trìnhx2 + 1 = a ( x − x0 ) + y0x = 0 ( a − 1 ) x − ( ax0 − y0 ) x − 1 = 0 ( 2.14 ) Đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi phương trình 2.14 có nghiệmkép khác 0 ⇔ a = 1 và x = 0 ∆ = 0 ( với a = 1 thì thông số a là thông số góc của tiệm cận xiên y = x ) Ta có ∆ = ( ax0 − y0 ) 2 + 4 ( a − 1 ) ⇔ ∆ = x0 a2 − 2 ( x0 y0 − 2 ) a + y02 + 4. Để qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới ( C ) vng góc với nhau khi và chỉ khi phươngtrình ∆ = 0 có hai nghiệm a1, a2 thỏa mãn nhu cầu a1. a2 = − 1×0 = 0 y + 4 = − 1  0x0 Số hóa bởi TT học liệu18http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/x20x0 = 0 + y02 = 4V ậy tập hợp điểm M phải tìm là đường trịn x2 + y 2 = 4, trừ đi những giao điểmcủa đường trịn đó với hai đường tiệm cận ( do những điều kiện kèm theo x0 = 0 và a = 1 ). 2.6 Bài toán nghiệm kép xét sự tiếp xúc của hai đồ thịNếu bỏ giải pháp nghiệm kép thì việc giải 1 số ít bài tốn trước đây cóthể khơng giải được. Trong chun đề này tất cả chúng ta xét 1 số ít bài tốn mang tính nổi bật để thấyđược ứng dụng của chiêu thức nghiệm kép trong bài toán tiếp xúc của hai đồthị hàm số. Ví dụ 2.6.1. Tìm m để đồ thị hàm sốy = ( x + 2 ) ( x2 − mx + mét vuông − 3 ) tiếp xúc với trục hoành. Bài giải : Đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với truch hoành y = 0 khi và chỉkhi hệ phương trình ẩn x sau có nghiệm ( I ) f ( x ) = 0 f ( x ) = 0D o đó, để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox thì điều kiện kèm theo cần và đủ là ( x + 2 ) ( x2 − mx + mét vuông − 3 ) = 0 ( x2 − mx + mét vuông − 3 ) + ( x + 2 ) ( 2 x − m ) = 0 x + 2 = 0  ( II ) x2 − mx + mét vuông − 3 = 0 ⇔  x2 − mx + mét vuông − 3 = 0 ( III ) ( x + 2 ) ( 2 x − m ) = 0N ếu t ( x ) = x2 − mx + mét vuông − 3 thì hệ ( I ) có nghiệm ⇔ Hệ ( II ) hoặc hệ ( III ) cónghiệm, điều đó tương tự vớim2 + 2 m + 1 = 03 2 m − 3 = 0 t ( − 2 ) = 0 t ( = 0 ⇔ m = − 1 m = ± 2 ) = 0 cũng chính là điều kiện kèm theo để t ( x ) có nghiệm képthì giải thuật trên tất cả chúng ta đã giải trước đây. Nhạn xét. Điều kiện t ( Số hóa bởi TT học liệu19http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/2.6.1Nghiệm của đa thức bậc hai và bất đẳng thứcXét tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c, a = 0. Mệnh đề 2.6.2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của f ( x ) = 0. Khi đó có hiệu quả : f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) x1 + x2 = − c ax1 x2 = Mệnh đề 2.6.3. Giả sử f ( x ) ∈ R [ x ] và ∆ = b2 − 4 ac. Khi đó có những tác dụng sau : ( i ) f ( x ) > 0 với mọi giá trị của x khi và chỉ khi ( ii ) f ( x ) ≥ 0 với mọi giá trị của x khi và chỉ khia > 0 ∆ 0 ∆ ≤ 0. ( iii ) f ( x ) 2 với n nghiệm sau đây : f ( x ) = ( x − a1 ) ( x − a2 ) … ( x − an ) = xn σ1 xn − 1 − σ2 xn − 2 − … − ( − 1 ) n σn. Số hóa bởi TT học liệu20http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Mệnh đề 2.6.6. Nếu những ai > 0 ; i = 1, …, n, thì ta có những bất đẳng thứcσ1σ2σk ≥ … ≥ σn − 1 n − 1 ≥ … ≥ n − 1 σnHệ quả 2.6.7 ( APMO 1990 ). Nếu những ai, i = 1, …, n thì ta cóδi δn − i ≥ Chứng minh. Doδiđề 2.6.6 nênVậy δi δn − i ≥ 2.6.3 δin − iδnn − iδin − iδn − i, δn = δn. δn − in − iδntheo mệnhδnn − i. δn. Các ví dụVí dụ 2.6.8. Giả sử ba số a, b, c > 0 là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứngminh rằng nếu những số thực x, y, z thỏa mãn nhu cầu hệ thức ax + by + cz = 0 thìayz + bzx + cxy ≤ 0 và yz + zx + xy ≤ 0. Chứng minh. Từ giả thiết ax + by + cz = 0 suy ra cz = − ax − by. Vì c > 0 nênayz + bzx + cxy ≤ 0 ⇔ aycz + bczx + c2 xy ≤ 0. Vậy ta phải chỉ raay ( − ax − by ) + bx ( − ax − by ) + c2 xy ≤ 0 hayabx2 + ( a2 + b2 − c2 ) xy + aby 2 ≥ 0. Xét hàm số f ( x, y ) = abx2 + ( a2 + b2 − c2 ) xy + aby 2 với ab > 0. Có biệt thức ∆ = − ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( − a + b + c ) y 2 ≤ 0, Số hóa bởi TT học liệu21http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/nên với f ( x, y ) ≥ 0 với mọi x, y. + byVì z = − nên yz + zx + xy ≤ 0 tương đươngax2 + ( a + b − c ) xy + by 2 ≥ 0. Dễ dàng thấy ∆ ≤ 0. Vậyyz + zx + xy ≤ 0. Ví dụ 2.6.9. Chứng minh rằng, nếu f ( x ) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d ∈ R [ x ] cóbốn nghiệm thực dương thìac ≥ 16 d và b2 ≥ 36 d. Từ đó suy ra phương trình x4 + ax3 + 10×2 + cx + 3 = 0 khơng thể có bốn nghiệmdương với mọi a, c ∈ R.Chứng minh. Giả sử bốn nghiệm của f ( x ) = 0 là x1, x2, x3, x4 > 0. Từ bất đẳngthức ( x1 + x2 + x3 + x4 ) ( + + ) ≥ 16×1 x2 x3 x4suy ra bất đẳng thức ( − a ) ( − c ) ≥ 16 d hay ac ≥ 16 d. Vìnên b2 ≥ 36 d. Do 102 = 100 0. Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của biểu thứcx4 + y 4 + z 4T = 256S ố hóa bởi TT học liệu22http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/Dễ thấy x, y, z đều là nghiệm của phương trình t3 − 4 t2 + at − 2 = 0, ở đóa = xy + yz + zx. Do tính bình đẳng của x, y, z nên hoàn toàn có thể coi x ≥ y, z. Biểu diễnx4 + y 4 + z 4 = [ x2 + y 2 + z 2 ] 2 − 2 [ x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 ] = 2 [ a2 − 32 ] + 288. Từ a = xy + yzz x = x ( y + z ) + yz = x ( 4 − x ) + suy ra a = x ( 4 − x ) + hayx ≥. Từ ( 4 − x ) 2 = ( y + z ) 2 ≥ 4 yz = hay ( x − 2 ) ( x2 − 6 x + 4 ) ≥ 0, và x ≥ suyra ≤ x ≤ 2. Khảo sát a = x ( 4 − x ) + với ≤ x ≤ 2. Ta cóa = với − 2 x − 1 ) ( x2 − x − 1 ) x2 ≤ x ≤ 2. Từ đây suy ra5 5 − 15 ≤ a ≤ 5 − 1X ét x4 + y 4 + z 4 = 2 [ a2 − 32 a ] + 288 với 5 ≤ a ≤. Ta đượcTmax = VàTminkhi x = 2, y = z = 1.128383 − 165 51 + 5 khi x = 3 − 5, y = z = 256S ố hóa bởi TT học liệu23http : / / www.lrc.tnu.edu.vn/