Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

– Gọi ( Δ ) là tiếp tuyến cần tìm có thông số góc k .
– Giả sử M ( xo ; yo ) là tiếp điểm. Khi đó xo thỏa mãn nhu cầu : f ’ ( xo ) = k ( * )
– Giải ( * ) tìm xo. Suy ra yo = f ( xo )
– Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = k ( x – xo ) + yo
Chú ý : Đối với bài toán này ta cần quan tâm một số ít yếu tố sau :
+ Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f ’ ( x ) = k
+ Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 và d2 : y = k2x + b2. Khi đó

Nếu đường thẳng d cắt những trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan ( ∠ OAB ) = ± OA / OB, trong đó thông số góc của d được xác lập bởi y ’ ( x ) = tan ( ∠ OAB )

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc k = -9 ?

Hướng dẫn:

Tập xác lập : D = R
Đạo hàm : y ’ = x2 + 6 x
Ta có :
k = – 9 ⇔ y ’ ( xo ) = – 9
⇔ xo2 + 6 xo = – 9
⇔ ( xo + 3 ) 2 = 0
⇔ xo = – 3 ⇒ yo = 16
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là ( d ) : y = – 9 ( x + 3 ) + 16 = – 9 x – 11

Quảng cáo

Bài 2: 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = – x4 – x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

2. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng

Hướng dẫn:

1. Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi ( t ) là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số và ( t ) vuông góc với đường thẳng y = ( 1/6 ) x – 1, nên đường thẳng ( t ) có thông số góc bằng – 6
Cách 1 : Gọi M ( xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( t ) và đồ thị ( C ) của hàm số. Khi đó, ta có phương trình :
y ’ ( xo ) = – 6 ⇔ – 4 xo3 – 2 xo = – 6 ⇔ ( xo-1 ) ( 2 xo2 + 2 xo + 3 ) = 0 ( * ) .
Vì 2 xo2 + 2 xo + 3 > 0 ∀ xo ∈ R nên phương trình
( * ) ⇔ xo = 1 ⇒ yo = 4 ⇒ M ( 1 ; 4 )
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = – 6 ( x – 1 ) + 4 = – 6 x + 10
Cách 2 : Phương trình ( t ) có dạng y = – 6 x + m
( t ) tiếp xúc ( C ) tại điểm M ( xo ; yo ) khi hệ phương trình sau có nghiệm xo

có nghiệm xo ⇔

2. Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có : y ’ = x2 – 1

Gọi M(xo ; yo) ∈(C) ⇔

Tiếp tuyến Δ tại điểm M có thông số góc : y ’ ( xo ) = xo2 – 1
Đường thẳng d : y = ( – 1/3 ) x + 2/3 có thông số góc k = ( – 1/3 )

Vậy có 2 điểm M ( – 2 ; 0 ) hoặc M = ( 2 ; 4/3 ) là tọa độ cần tìm .

Bài 3: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2.

Hướng dẫn:

TXĐ : D = R \ { 1 }

Ta có

Gọi M ( xo ; yo ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ( 1/3 ) x + 2 nên ta có

+ Với M ( 0 ; – 1 ) thì phương trình tiếp tuyến là : y = – 3 x – 1
+ Với M ( 2 ; 5 ) thì phương trình tiếp tuyến là : y = – 3 ( x – 2 ) + 5 = – 3 x + 11

Bài 4: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3×2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Hướng dẫn:

Tập xác lập : D = R
Đạo hàm : y ’ = 3×2 – 6 x = 3 ( x-1 ) 2 – 3 ≥ – 3
Vậy trong những tiếp tuyến tại những điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có thông số góc nhỏ nhất bằng – 3

Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (H). Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = – x + 2 và tiếp xúc với (H).

Hướng dẫn:

Tập xác lập : D = R \ { 0 }
Đạo hàm : y ’ = 4 / ( x2 )
Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d : y = – x + 2 nên Δ có thông số góc bằng 1. Ta có phương trình :

Tại M ( 2 ; 0 ). Phương trình tiếp tuyến là y = 1. ( x – 2 ) = x – 2
Tại N ( – 2 ; 4 ). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 2 + 4 = x + 6

Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x3 + 3×2 – 8x + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017?

Hướng dẫn:

Tập xác lập : D = R
Đạo hàm : y ’ = 3×2 + 6 x – 8
Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng Δ : y = x + 2017 nên thông số góc của tiếp tuyến là 1
Ta có phương trình

Tại M ( 1 ; – 3 ). Phương trình tiếp tuyến là y = x – 1 – 3 = x – 4
Tại N ( – 3 ; 25 ). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 3 + 25 = x + 28

Bài 7: Cho hàm số y = -x3 + 3×2 – 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y = ( 1/9 ) x + 2017 có dạng Δ : y = – 9 x + c
Δ là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ hệ phương trình

có nghiệm

⇔

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn nhu cầu .

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :

A. 9 B. 1/9 C. – 9 D. – 1/9
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Chọn A
Tập xác lập : D = R \ { 1 }
Đạo hàm : y ‘ = 1 / ( x-1 ) 2
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A ( 2/3 ; 0 )
Hệ số góc của tiếp tuyến là y ’ ( 2/3 ) = 9

Bài 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung bằng:

A. – 2 B. 2 C. 1 D. – 1
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Chọn B
Tập xác lập : D = R \ { – 1 }
Đạo hàm : y ’ = 2 / ( x + 1 ) 2
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo = 0 ⇒ y ’ ( 0 ) = 2

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị (C) có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) song song đường thẳng y = 9x + 10

A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Chọn C
Tập xác lập : D = R

Đạo hàm: y’ = 3×2 – 6x.     k = 9 ⇒ 3xo2 – 6xo = 9

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán

Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x4 + x. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: x + 5y = 0 có phương trình là:

A. y = 5 x – 3
B. y = 3 x – 5
C. y = 2 x – 3
D. y = x + 4
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Chọn A
Ta có : y ’ = 4×3 + 1
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ( – 1/5 ) x nên tiếp tuyến có thông số góc là 5

Khi đó ta có :

4×3 + 1 = 5 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( 1 ; 2 ) có dạng
y = 5 ( x – 1 ) + 2 = 5 x – 3

Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số . Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó với (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 4

A. ( 1 + √ 3 ; 5 + 3 √ 3 ), ( 1 – √ 3 ; 5-3 √ 3 )
B. ( 2 ; 12 )
C. ( 0 ; 0 )
D. ( – 2 ; 0 )
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Chọn A
Tập xác lập : D = R \ { 1 }

Đạo hàm:

Giả sử a là hoành độ điểm thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán ⇒ y ’ ( a ) = – 1

Bài 6: Biết tiếp tuyến (d) của hàm số y = x3 – 2x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình (d) là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Chọn C.
Tập xác lập : D = R
y ’ = 3×2 – 2
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình Δ : x = y
⇒ ( d ) có thông số góc là – 1
3×2 – 2 = – 1 ⇔ x = ± 1 / √ 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

và

Bài 7: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π/4.

A. k = 1 B. k = 0,5 C. k = √ 2/2 D. 2
Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Chọn D

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π / 4 là k = y ’ ( π / 4 ) = 2

Bài 8: Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ xo = π là:

A. – √ 3/12 B. √ 3/12 C. – 1/12 D. 1/12
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Chọn C

Bài 9: Cho hàm số y = x3 – 6×2 + 7x + 5 (C). Tìm trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng -2?

A. ( – 1 ; – 9 ) ; ( 3 ; – 1 )
B. ( 1 ; 7 ) ; ( 3 ; – 1 )
C. ( 1 ; 7 ) ; ( – 3 ; – 97 )
D. ( 1 ; 7 ) ; ( – 1 ; – 9 )
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Chọn B
Gọi M ( xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y ’ = 3×2 – 12 x + 7
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 2

⇒ y’(xo) = -2 ⇔ 3xo2 – 12xo + 7 = -2 ⇔

Bài 10: Cho hàm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d: 3y – x + 6 = 0 là

A. y = – 3 x – 3 ; y = – 3 x – 11
B. y = – 3 x – 3 ; y = – 3 x + 11
C. y = – 3 x + 3 ; y = – 3 x – 11
D. y = – 3 x – 3 ; y = 3 x – 11
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Chọn A
d : 3 y – x + 6 = 0 ⇔ y = ( 1/3 ) x – 2

Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có

Tiếp tuyến vuông góc với d nên thông số góc của tiếp tuyến là – 3 nên y ’ ( xo ) = – 3

Với xo = – 3/2 ⇒ yo = 3/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến : y = – 3 ( x + 3/2 ) + 3/2 = – 3 x – 3
Với xo = – 5/2 ⇒ yo = ( – 7 ) / 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến : y = – 3 ( x + 5/2 ) – 7/2 = – 3 x – 11

Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = – 1 vuông góc với đường thẳng d : y = 2x – y – 3 = 0

A. 3/4 B. 1/4 C. 7/16 D. 9/16
Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Chọn D
d : y = 2 x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2 x – 3, thông số góc của đường thẳng d là 2
y ’ = 4 ( 2 m – 1 ) x3
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = ( 2 m – 1 ) x4 – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = – 1 là y ’ ( – 1 ) = – 4 ( 2 m – 1 )
Ta có 2. – 4 ( 2 m – 1 ) = – 1 ⇔ m = 9/16

Bài 12: Cho hàm số có đồ thị cắt trục tung tại A(0 ; -1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = -3. Các giá trị của a, b là

A. a = 1, b = 1
B. a = 2, b = 1
C. a = 1, b = 2
D. a = 2, b = 2
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Chọn B
A ( 0 ; – 1 ) ∈ ( C ) nên ta có : – 1 = b / ( – 1 ) ⇔ b = 1

Ta có Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là:

k = y ’ ( 0 ) = – a – b = – 3 ⇔ a = 3 – b = 2 .

Bài 13: Điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 – 3×2 – 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là

A. M ( 1 ; – 3 ), k = – 3
B. M ( 1 ; 3 ), k = – 3
C. M ( 1 ; – 3 ), k = 3
D. M ( – 1 ; – 3 ), k = – 3
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Chọn A .
Gọi M ( xo ; yo ). Ta có y ’ = 3×2 – 6 x
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là :
k = y ’ ( xo ) = 3 xo2 – 6 xo = 3 ( xo – 1 ) 2 – 3 ≥ – 3
Vậy k bé nhất bằng – 3 khi xo = 1, yo = – 3

Bài 14: Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 6x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1

A. y = 18 x + 8 và y = 18 x – 27
B. y = 18 x + 8 và y = 18 x – 2
C. y = 18 x + 81 và y = 18 x – 2
D. y = 18 x + 81 và y = 18 x – 27
Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Chọn D.
Gọi M ( xo ; yo ) là tiếp điểm
Ta có : y ’ = 3×2 + 6 x – 6
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ( – 1/18 ) x + 1 nên ta có :
y ‘ ( xo ) = 18 ⇔ 3 xo2 + 6 xo – 6 = 18 ⇔
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến : y = 18 x + 81 và y = 18 x – 27

Bài 15: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

A. y = 9 x – 1 hay y = 9 x + 17
B. y = 9 x – 1 hay y = 9 x + 1
C. y = 9 x – 13 hay y = 9 x + 1
D. y = 9 x – 15 hay y = 9 x + 17
Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Chọn D
Ta có : y ’ = 3×2 – 3. Gọi M ( xo ; yo ) là tiếp điểm
Ta có : y ’ ( xo ) = 9 ⇔ 3 xo2 – 3 = 9 ⇔ xo = ± 2
xo = 2 ⇒ yo = 3. Phương trình tiếp tuyến : y = 9 ( x – 2 ) + 3 = 9 x – 15
xo = – 2 ⇒ yo = – 1. Phương trình tiếp tuyến : y = 9 ( x + 2 ) – 1 = 9 x + 17
Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

dao-ham.jsp