Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Đi Qua 1 Điểm Cực Hay, Các Dạng Toán Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm thuộc đồ thịBài toán 1B ài toán 2D ạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết thông số góc cho trước. Phương pháp giảiDạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trướcBài toán 4

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, bao gồm các dạng bài: viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm rõ được bản chất cũng như phương pháp giải của chủ đề này.

Đang xem : Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm

TẢI XUỐNG ↓

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm thuộc đồ thị

Bài toán 1

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) .
Phương pháp giải
+ Tiếp tuyến tại một điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ C có thông số góc là f ” ( x0 ) + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) có dạng : y – y0 = f ′ ( x0 ) ( x – x0 ). hay y – f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ( x – x0 ) .

Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị y = f(x) có đồ thị C và điểm M0(x0;y0) ∈ C. Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) ∈ C Ta có: y’= 3x²– 12x + 9

Với : x = 2 y = 2 y ′ ( 2 ) = − 3. Phương trình tiếp tuyến tại đồ thị ( C ) A ( 2 ; 2 ) là
y = – 3 ( x – 2 ) + 2 hay y = – 3 x + 8 .
Ta có : y ′ = 3 – 3 x². y ” = – 6 x. y ” = 0 ⇔ x = 0 .
Suy ra toạ độ điểm uốn là ( 0 ; 2 )
y ′ ( 0 ) = 3. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là : y = 3 ( x – 0 ) + 2 hay y = 3 x + 2 .

Bài toán 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = x0 ( hoặc y = y0 ) .
Phương pháp giải :
+ Với x = x0 ⇒ y = f ( x0 ) + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = x0 có dạng :
y = f ′ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0
Áp dụng tương tự như với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y = y0. Ví dụ 3 : Cho hàm số y = x³ + 3 x² – 1 có đồ thị ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ – 1
Hoành độ tiếp điểm là x = – 1 nên tung độ tiếp điểm là y = 1
y ′ = 3 x² + 6 x ⇒ y ′ ( – 1 ) = – 3 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ( – 1 ; 1 ) là :
y = – 3 ( x + 1 ) + 1 hay y = – 3 x – 2 .
Xem thêm : Các Bài Tập Cho Người Mới Tập Gym, Hướng Dẫn Tập Gym Cho Người Mới Bắt Đầu

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước.

Phương pháp giải

Cách 1:

Phương pháp tìm tiếp điểm : + Giả sử tiếp tuyến có thông số góc k tiếp xúc với tại điểm ( C ) có hoành độ xi ⇒ f ′ ( xi ) = k ⇒ x = xi là nghiệm của phương trình f ′ ( x ) = k. + Giải phương trình f ′ ( x ) = k., suy ra nghiệm x = { x0, x1, … xn }, n ∈ Z +. + Phương trình tiếp tuyến tại xi là : xi y = k ( x – xi ) + f ( xi ) .

Cách 2

Phương pháp điều kiện kèm theo kép : Xét đường thẳng có thông số góc k có phương trình y = kx + m ( m là ẩn ) tiếp xúc với đồ thị ( C ) y = f ( x ) : Khi đó ta có phương trình kx + m = f ( x ) có nghiệm kép. Áp dụng điều kiện kèm theo để phương trình có nghiệm kép, suy ra được m. Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm. Nhận xét : Vì điều kiện kèm theo ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) và tiếp xúc nhau là hệ điều kiện kèm theo f ( x ) = g ( x ) và f ′ ( x ) = g ′ ( x ) có nghiệm kép chứ không phải điều kiện kèm theo f ( x ) = g ( x ) phương trình có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho những dạng hàm số y = f ( x ) mà phương trình tương giao hoàn toàn có thể đổi khác tương tự về một phương trình bậc 2 ( khi đó điều kiện kèm theo để có nghiệm kép là Δm = 0 ) .

Chú ý

Ta có những dạng trình diễn của thông số góc k như sau : + Dạng trực tiếp. + Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α khi đó thông số góc k = tanα + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b, khi đó thông số góc k = a + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b, khi đó ka = – 1 ⇒ k = – 1 / a + Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b một góc α, khi đó : I ( k-a ) / ( 1 + ka ) I = tanα

Ví dụ 5

Cho hàm số y = x³ – 3 x² có đồ thị ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) biết thông số góc của tiếp tuyến k = – 3. Ta có : y ′ = 3 x² – 6 x .
Do thông số góc k = – 3 của tiếp tuyến là nên : 3 x² – 6 x = – 3 ⇔ x = 1. Với Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : x = 1 ⇒ y = − 2. y = − 3 ( x – 1 ) – 2 ⇔ y = − 3 x + 1 .
Ta có : y ′ = 3 x² – 6 x .
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9 x + 2009 nên tiếp tuyến có thông số góc k = 9 ⇔ 3 x² – 6 x = 9 ⇔ x = − 1 hoặc x = 3
+ Với x = − 1 ⇒ y = − 3 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại x = − 1 là y = 9 ( x + 1 ) – 3 ⇔ y = 9 x + 6. + Với x = 3 ⇒ y = 1. . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại x = 3 là : y = 9 ( x – 3 ) + 1 ⇔ y = 9 x – 26V ậy ( C ) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9 x + 2009 là y = 9 x + 6 và y = 9 x – 26. Ví dụ 7 : Cho hàm số y = x³ – 3 x + 2 có đồ thị ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = ( – 1/9 ) xTa có : y ’ = 3 x² – 3D o tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y = ( – 1/9 ) x nên thông số góc của tiếp tuyến k = 9 ⇔ 3 x² – 3 = 9 ⇔ x = ± 2. + Với x = 2 ⇒ y = 4. Phương trình tiếp tuyến tại x = 2 là y = 9 ( x – 2 ) + 4 ⇔ y = 9 x – 14 + Với x = − 2 ⇒ y = 0. Phương trình tiếp tuyến tại x = − 2 là y = 9 ( x + 2 ) + 0 ⇔ y = 9 x + 18. Vậy ( C ) có hai tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ( – 1/9 ) x là : y = 9 x – 14 và y = 9 x + 18

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Bài toán 4

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và điểm cho trước A ( xA ; yA ). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) qua A đến đồ thị ( C )
Phương pháp giải :

Cách 1: Thực hiện theo các bước:+ Đường thẳng d đi qua điểm A( xA; yA) có phương trình: d : y = k(x– xA) + yA.+ d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 

f ( x ) = k ( x – xA ) + yAf ′ ( x ) = k
⇔ f ( x ) = f ′ ( x ) ( x – xA ) + yA và f ′ ( x ) = k ⇒ k .
+ Kết luận về tiếp tuyến d

Cách 2: Thực hiện theo các bước: 

Ví dụ 8: Cho hàm số y = (1/3)x³ – 2x² : Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)Ta có: y’= x² – 2xGọi đường thẳng qua A(3;0)có hệ số góc k → Phương trình có dạng: y = k.(x– 3) + 0.Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì: x³– x² = k(x– 3) và k = x²– 2x có nghiệm.Thay (2) vào (1) ta có: (1/3)x³ – x² = (x²– 2x)(x-3) ⇔ x = 0 và x = 3. + Với x =0 ⇒ k=0 Phương trình tiếp tuyến: y= 0+ Với x =3 ⇒ k=3 Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x– 3) = 3x– 9.Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là: y=0 và y= 3x-9.

Xem thêm:

Tổng hợp chi tiết các bài tập viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm

Trên đây là các dạng bài về viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm, các phương pháp giải cặn kẽ, chi tiết, dễ hiểu sẽ giúp các em nắm vững chủ đề này. Đây là một chủ đề không quá khó, do đó, việc làm bài tập sẽ giúp các em tích lũy được rất nhiều kiến thức cũng như kĩ năng phản xạ. Chúc các em học tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình

Điều hướng bài viết