Hệ phương trình tuyến tính – Wikipedia tiếng Việt

Một hệ phương trình tuyến tính ba ẩn hoàn toàn có thể được xem là tập hợp những mặt phẳng giao nhau. Giao điểm là nghiệm của hệ .

Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số. Ví dụ:

3 x + 2 y − z = 1 2 x − 2 y + 4 z = − 2 − x + 1 2 y − z = 0 { \ displaystyle { \ begin { alignedat } { 7 } 3 x và và \ ; + \ ; và và 2 y và và \ ; – \ ; và và z và và \ ; = \ ; và và 1 và \ \ 2 x và và \ ; – \ ; và và 2 y và và \ ; + \ ; và và 4 z và và \ ; = \ ; và và – 2 và \ \ – x và và \ ; + \ ; và và { \ tfrac { 1 } { 2 } } y và và \ ; – \ ; và và z và và \ ; = \ ; và và 0 và \ end { alignedat } } }

là hệ gồm ba phương trình với ba biến số

x

{\displaystyle x}

,

y

{\displaystyle y}

,

z

{\displaystyle z}

. Một nghiệm của hệ là một hệ thống tuyến tính thỏa mãn các phương trình đã cho. Một nghiệm của hệ trên là

x = 1 y = − 2 z = − 2 { \ displaystyle { \ begin { alignedat } { 2 } x và = và 1 \ \ y và = và – 2 \ \ z và = và – 2 \ end { alignedat } } }

nó làm cho ba phương trình bắt đầu thỏa mãn nhu cầu .

Ví dụ cơ bản.

Một dạng phương trình tuyến tính đơn thuần nhất là hệ gồm hai phương trình với hai ẩn :

2 x + 3 y = 6 4 x + 9 y = 15. { \ displaystyle { \ begin { alignedat } { 5 } 2 x và và \ ; + \ ; và và 3 y và và \ ; = \ ; và và 6 và \ \ 4 x và và \ ; + \ ; và và 9 y và và \ ; = \ ; và và 15 và. \ end { alignedat } } }

Một giải pháp giải cho hệ trên là giải pháp thế. Trước hết, biến hóa phương trình tiên phong để được phương trình tính ẩn x { \ displaystyle x } theo y { \ displaystyle y } :

x = 3 − 3 2 y. { \ displaystyle x = 3 – { \ frac { 3 } { 2 } } y. }

Sau đó thế hệ thức này vào phương trình dưới :

4 ( 3 − 3 2 y ) + 9 y = 15. { \ displaystyle 4 \ left ( 3 – { \ frac { 3 } { 2 } } y \ right ) + 9 y = 15. }

Ta được một phương trình bật nhất theo

y

{\displaystyle y}

. Giải ra, ta được

y
=
1

{\displaystyle y=1}

, và tính lại

x

{\displaystyle x}

được

x
=
3

/

2

{\displaystyle x=3/2}

.

Hình thức tổng quát.

Hệ phương trình trên hoàn toàn có thể được viết theo dạng phương trình ma trận :

Ax=b

Với A là ma trận chứa các hệ số ai, j (ai, j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x là vector chứa các biến xj; b là vector chứa các hằng số bi. Tức là:

[ a 1, 1 a 1, 2 ⋯ a 1, k a 2, 1 a 2, 2 ⋯ a 2, k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n, 1 a n, 2 ⋯ a n, k ] [ x 1 x 2 ⋮ x k ] = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } a_ { 1,1 } và a_ { 1,2 } và \ cdots và a_ { 1, k } \ \ a_ { 2,1 } và a_ { 2,2 } và \ cdots và a_ { 2, k } \ \ \ vdots và \ vdots và \ ddots và \ vdots \ \ a_ { n, 1 } và a_ { n, 2 } và \ cdots và a_ { n, k } \ end { bmatrix } } { \ begin { bmatrix } x_ { 1 } \ \ x_ { 2 } \ \ \ vdots \ \ x_ { k } \ end { bmatrix } } = { \ begin { bmatrix } b_ { 1 } \ \ b_ { 2 } \ \ \ vdots \ \ b_ { n } \ end { bmatrix } } }

Nếu những biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong những trường đại số vô hạn ( ví dụ số thực hay số phức ), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra :

• hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
• hệ có duy nhất một nghiệm
• hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học .

Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quát.

Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải A’ .

A
=

[

a

1
,
1

a

1
,
2

⋯

a

1
,
k

a

2
,
1

a

2
,
2

⋯

a

2
,
k

⋅

⋅

⋯

⋅

a

n
,
1

a

n
,
2

⋯

a

n
,
k

]

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}}

Xem thêm: Ý nghĩa các con số từ 00 đến 99 trong kết quả xổ số

A ′ = [ a 1, 1 a 1, 2 ⋯ a 1, k b 1 a 2, 1 a 2, 2 ⋯ a 2, k b 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a n, 1 a n, 2 ⋯ a n, k b n ] { \ displaystyle A ‘ = { \ begin { bmatrix } a_ { 1,1 } và a_ { 1,2 } và \ cdots và a_ { 1, k } và b_ { 1 } \ \ a_ { 2,1 } và a_ { 2,2 } và \ cdots và a_ { 2, k } và b_ { 2 } \ \ \ cdot và \ cdot và \ cdot và \ cdot và \ cdot \ \ a_ { n, 1 } và a_ { n, 2 } và \ cdots và a_ { n, k } và b_ { n } \ end { bmatrix } } }

Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau .

r a n k ( A ) = r a n k ( A ′ ) = r { \ displaystyle rank ( A ) = rank ( A ‘ ) = r }

Chi tiết hơn ta có :

1. Nếu

   r
   =
   r
   a
   n
   (
   A
   )
   

2. Nếu r a n ( A ) = r a n ( A ′ ) = r { \ displaystyle ran ( A ) = ran ( A ‘ ) = r }
   1. Nếu r a n k ( A ) = r a n k ( A ′ ) = r = k { \ displaystyle rank ( A ) = rank ( A ‘ ) = r = k }
   2. Nếu

      r
      a
      n
      k
      (
      A
      )
      =
      r
      a
      n
      k
      (

      A
      ′

      )
      =
      r
      

      k–r ẩn tự do.

(không xảy ra trường hợp

r
=
r
a
n
k
(
A
)
>
r
a
n
k
(

A
′

)

{\displaystyle r=rank(A)>rank(A’)}

n}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b16f92c7b6b4f2211d114823f2a6b774f04a96″/>)

• Ví dụ:
  • Hệ

{ x + y = 2 x − y = 0 x − 3 y = − 2 { \ displaystyle \ left \ { { \ begin { matrix } x và + và y và = và 2 \ \ x và – và y và = và 0 \ \ x và – và 3 y và = và – 2 \ \ \ end { matrix } } \ right. }{ x = 1 y = 1 { \ displaystyle \ left \ { { \ begin { matrix } x và = và 1 \ \ y và = và 1 \ \ \ end { matrix } } \ right. }

• • Hệ

{ x + y + 2 z = 3 y − z = 5 { \ displaystyle \ left \ { { \ begin { matrix } x và + và y và + và 2 z và = và 3 \ \ \ ; và \ ; và y và – và z và = và 5 \ \ \ end { matrix } } \ right. }

có vô số nghiệm phụ thuộc một ẩn tự do z:

{ x = − 2 − 3 z y = 5 + z z ∈ R { \ displaystyle \ left \ { { \ begin { matrix } x và = và – 2 và – và 3 z \ \ y và = và 5 và + và z \ \ z và \ in và \ mathbb { R } \ \ \ end { matrix } } \ right. }

• • Hệ

{ x + y = 2 x − y = 0 x − 3 y = 3 { \ displaystyle \ left \ { { \ begin { matrix } x và + và y và = và 2 \ \ x và – và y và = và 0 \ \ x và – và 3 y và = và 3 \ \ \ end { matrix } } \ right. }

vô nghiệm.

Các trường hợp đặc biệt quan trọng.

• Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch (hay định thức của ma trận A khác không) thì hệ có nghiệm duy nhất:

x = A−1 b

với A−1 là ma trận nghịch đảo của A.

• Nếu b=0 (mọi bi bằng 0), hệ được gọi là hệ thuần nhất. Tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất lập thành một không gian vecter con của R n { \ displaystyle \ mathbb { R } ^ { n } }hạt nhân của ma trận A, viết là Ker(A).(Cũng là hạt nhân của phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận A). Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có k=n và ma trận A khả nghịch thì nó có nghiệm duy nhất là nghiệm không.

Các chiêu thức giải.

Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

Liên kết ngoài.