Số ảo – Wikipedia tiếng Việt

Số ảo hay số thuần ảo là một số phức mà khi bình phương lên được kết quả là một số nguyên không dương. Số ảo là tích của một số thực x với i, trong đó i2=–1.[1]

Được đặt ra vào thế kỷ 17 như thể một thuật ngữ mang tính chế giễu và được coi là hư cấu hoặc vô dụng, khái niệm số ảo đã được gật đầu thoáng đãng sau khi những khu công trình của Leonhard Euler và Carl Friedrich Gauss được công bố .

Một số ảo bi có thể được thêm vào một số thực a để tạo thành một số phức a + bi, trong đó a và b được gọi là phần thực và phần phức của số ảo trên.

Số ảo được biểu diễn như là một đơn thức

b
i

{\displaystyle bi}

trong đó

b

{\displaystyle b}

là số thực khác 0,

i

{\displaystyle i}

là đơn vị ảo có giá trị thỏa mãn phương trình đại số

i

2

=
−
1

{\displaystyle i^{2}=-1}

.Kết hợp với một số thực

a

{\displaystyle a}

, nó tạo thành “phần ảo”

b

{\displaystyle b}

và “phần thực”

a

{\displaystyle a}

của số phức

a
+
b
i

{\displaystyle a+bi}

.

i = − 1 { \ displaystyle i = { \ sqrt { – } } 1 }

j = − 1 { \ displaystyle j = { \ sqrt { – } } 1 }

[ 2 ]

Hero xứ Alexandria là người đầu tiên đề cập đến số ảo này vào khoảng thế kỷ I trước công nguyên trong khi tính toán khối hình lượng kim tự tháp[3], tuy nhiên, việc nghiên cứu số ảo chỉ thực sự bắt đầu bởi nhà toán học người Ý Rafael Bombelli (1526-1572) trong cuốn sách đại số L’Algebra viết năm 1569. Rafael Bombelli là người đưa ra ký hiệu đơn vị ảo

i

{\displaystyle i}

và mô tả các tính chất của nó.

Hình học giải tích.

Ứng dụng của số ảo.

Lấy bình phương, lập phương… của hai vế của đẳng thức

i
=

−
1

{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}

, ta có:

i 2 = − 1 { \ displaystyle i ^ { 2 } = – 1 }

i

3

=
−
i

{\displaystyle i^{3}=-i}

i

4

=
1

{\displaystyle i^{4}=1}

i

5

=
i

{\displaystyle i^{5}=i}

i

6

=
−
1

{\displaystyle i^{6}=-1}

…

Vì vậy với

n
∈

N

{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

, ta có thể viết như sau:

i

4
n

=
1

{\displaystyle i^{4n}=1}

i

4
n
+
1

=
i

{\displaystyle i^{4n+1}=i}

i

4
n
+
2

=
−
1

{\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i

4
n
+
3

=
−
i

{\displaystyle i^{4n+3}=-i}

Phương trình bậc hai với b2 – 4ac .

Do công thức nghiệm tại đẳng thức này,

x

1
;
2

=

−
1
±

−
3

2

{\displaystyle x_{1;2}={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}

Tuy nhiên, ta được đơn thuần hơn do số ảo .

x

1
;
2

=

−
1
±

3.
−
1

2

=

−
1
±

3

−
1

2

=

−
1
±

3

i

2

{\displaystyle x_{1;2}={\frac {-1\pm {\sqrt {3.-1}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}{\sqrt {-1}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}

Nói chung, đa thức như

x

2

+

a

2

{\displaystyle x^{2}+a^{2}}

không có thừa số.

Tuy nhiên ta được viết như sau ( Tại – ( – a ) = + a )

x

2

−
(
−

a

2

)

{\displaystyle x^{2}-(-a^{2})}

Vì vậy ta hoàn toàn có thể viết với số ảo như sau :

x

2

−
(
−

a

2

)
=

x

2

−
(
(
a
i

)

2

)
=
(
x
+
a
i
)
(
x
−
a
i
)
.

{\displaystyle x^{2}-(-a^{2})=x^{2}-((ai)^{2})=(x+ai)(x-ai).}

Căn của số ảo.

Sử dụng Công thức Euler ở x = π ,

e

i
π

=
cos
⁡
(
π
)
+
i
sin
⁡
(
π
)
=
−
1
+
0
i
=
−
1

{\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+0i=-1}

Tiếp theo lấy căn bậc bốn của hai vế .

e

i
π

4

=

−
1

4

=

i

{\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}}={\sqrt[{4}]{-1}}={\sqrt {i}}}

Do Công thức Euler ta có :

e

i
π

4

=
cos
⁡

(

π
4

)

+
i
sin
⁡

(

π
4

)

=

1

2

+

1

2

i

{\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}}=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i}

Vì vậy :

i

=

1
+
i

2

{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}

Căn bậc ba của số ảo.

Lấy căn bậc sáu của hai vế của Công thức Euler ở x=π.

e

i
π

6

=

i

3

=
cos
⁡

(

π
6

)

+
i
sin
⁡

(

π
6

)

=

3

2

+

1
2

i

{\displaystyle e^{\frac {i\pi }{6}}={\sqrt[{3}]{i}}=\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}

Do đó

i

3

=

3

+
i

2

.

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\frac {{\sqrt {3}}+i}{2}}.}

Người ta ứng dụng số ảo vào để thống kê giám sát tương quan đến mạch điện xoay chiều để việc làm thống kê giám sát thuận tiện hơn .

Liên kết ngoài.