Góc ở tâm [edit]

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm \(O\) và các điểm như hình vẽ:

\(\widehat{AOB}\)

là góc ở tâm vì có đỉnh \ ( O \ ) trùng với tâm \ ( O \ ) của đường tròn.+ ) Góclà góc ở tâm vì có đỉnhtrùng với tâmcủa đường tròn .+ ) Các góc \ ( \ widehat { FEK }, \ \ widehat { OME } \ ) không phải là góc ở tâm vì đỉnh \ ( E, \ M \ ) không trùng với tâm \ ( O. \ )Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn ở hai điểm, hai điểm này chia đường tròn thành hai cung. Do đó hoàn toàn có thể xảy ra hai trường hợp :+ ) Nếu \ ( 0 ^ { \ circ } < \ alpha < 180 ^ { \ circ } \ ) thì có một cung nhỏ ( là cung nằm bên trong góc ) và một cung lớn ( cung nằm bên ngoài góc ) .+ ) Nếu \ ( \ alpha = 180 ^ { \ circ } \ ) thì hai cung đều bằng nửa đường tròn .

Cung tròn là một phần của đường tròn được giới hạn bởi hai điểm.

Cung \ ( AB \ ) được kí hiệu là \ ( \ stackrel \ frown { AB } \ ) hoặc \ ( \ stackrel \ frown { BA } \ ) với \ ( A, \ B \ ) là hai đầu mút .Thường dùng những vần âm in thường viết cạnh cung để phân biệt cung lớn và cung nhỏ .

Khi viết \ ( \ stackrel \ frown { AB } \ ) nếu không lý giải gì thêm thì ta hiểu đó là cung nhỏ \ ( AB. \ )

Cung bị chắn [edit]

Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc.

Ở hình trên, \ ( \ stackrel \ frown { AnB } \ ) là cung bị chắn bởi góc \ ( \ widehat { AOB } \ ). Ta còn nói góc \ ( \ widehat { AOB } \ ) chắn cung nhỏ \ ( AnB. \ )Như vậy, cung nhỏ gọi là cung bị chắn .

Số đo của cung [edit]

Số đo của cung \ ( AB \ ) được xác lập như sau :+ ) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó .+ ) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \ ( 360 ^ { \ circ } \ ) và số đo của cung nhỏ ( có chung hai đầu mút với cung lớn ) .+ ) Số đo của nửa đường tròn bằng \ ( 180 ^ { \ circ }. \ )Số đo của cung \ ( AB \ ) được kí hiệu là sđ \ ( \ stackrel \ frown { AB }. \ )

Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm \(O\) và các điểm như hình vẽ:

\ ( \ widehat { AOB } = 60 ^ { \ circ } \ ) nên số đo của cung nhỏ \ ( AnB \ ) là sđ \ ( \ stackrel \ frown { AnB } = 60 ^ { \ circ }. \ )+ ) Vì gócnên số đo của cung nhỏlà sđ+ ) Vì cung \ ( \ stackrel \ frown { AmB } \ ) là cung lớn nên số đo cung là sđ \ ( \ stackrel \ frown { AmB } = 360 ^ { \ circ } – 60 ^ { \ circ } = 300 ^ { \ circ }. \ )

Chú ý:

+ ) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn \ ( 180 ^ { \ circ }. \ )+ ) Cung lớn có số đo lớn hơn \ ( 180 ^ { \ circ }. \ )+ ) Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có ” cung không ” với số đo \ ( 0 ^ { \ circ } \ ) và cung cả đường tròn với số đo \ ( 360 ^ { \ circ }. \ )

So sánh hai cung [edit]

Xét hai đường
tròn bằng nhau \((O;R)\) và \((O’; R)\) và hai cung tròn như hình vẽ:

Kí hiệu \ ( l_ { AB } \ ) và \ ( l_ { CD } \ ) là độ dài cung \ ( AB \ ) và \ ( CD. \ ) Để so sánh \ ( l_ { AB } \ ) và \ ( l_ { CD } \ ) ta xét hiệu \ ( l_ { AB } – l_ { CD }. \ )
Độ dài cung thực ra là một phần chu vi của đường tròn .
Đường tròn nửa đường kính \ ( R \ ) \ ( ( \ ) ứng với \ ( 360 ^ { \ circ } ) \ ) có độ dài là : \ ( C = 2 \ pi R. \ )
Vậy cung tròn \ ( 1 ^ { \ circ }, \ ) nửa đường kính \ ( R \ ) có độ dài là : \ ( \ dfrac { 1. 2 \ pi R } { 360 }. \ )
Do đó cung tròn \ ( a ^ { \ circ } \ ) nửa đường kính \ ( R \ ) có độ dài là : \ ( l_ { AB } = \ dfrac { a. 2 \ pi R } { 360 }. \ )
Tương tự, cung tròn \ ( b ^ { \ circ } \ ) nửa đường kính \ ( R \ ) có độ dài là : \ ( l_ { CD } = \ dfrac { b. 2 \ pi R } { 360 }. \ )
Xét hiệu :
\ ( l_ { AB } – l_ { CD } = \ dfrac { a. 2 \ pi R } { 360 } – \ dfrac { b. 2 \ pi R } { 360 } = \ dfrac { 2 \ pi R } { 360 } ( a-b ). \ )
Ta có những trường hợp sau :
+ ) Nếu \ ( a-b > 0 \ Leftrightarrow a > b \ ) thì \ ( l_ { AB } > l_ { CD }, \ )

+) Nếu \(a-b<0 \Leftrightarrow a+ ) Nếu \ ( a-b = 0 \ Leftrightarrow a = b \ ) thì \ ( l_ { AB } = l_ { CD }. \ )Vậy để so sánh độ dài hai cung ta đi so sánh số đo góc chắn những cung đó, tức là so sánh số đo cung .

Tổng quát

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau :+ ) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau .+ ) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì được gọi là cung lớn hơn .

Một số kí hiệu:

+ ) Cung \ ( \ stackrel \ frown { AB } \ ) bằng cung \ ( \ stackrel \ frown { CD } \ ) kí hiệu là \ ( \ stackrel \ frown { AB } = \ stackrel \ frown { CD }. \ )+ ) Cung \ ( \ stackrel \ frown { AB } \ ) nhỏ hơn cung \ ( \ stackrel \ frown { CD } \ ) kí hiệu là \ ( \ stackrel \ frown { AB } < \ stackrel \ frown { CD }. \ )+ ) Cung \ ( \ stackrel \ frown { AB } \ ) lớn hơn cung \ ( \ stackrel \ frown { CD } \ ) kí hiệu là \ ( \ stackrel \ frown { AB } > \ stackrel \ frown { CD }. \ )

Điểm nằm trên cung [edit]

Xét đường tròn \ ( ( O ) \ ) với \ ( A, \ B \ ) thuộc đường tròn .+ ) Trên cung nhỏ \ ( \ stackrel \ frown { AnB } : \ )

Nếu điểm \ ( C \ in ( O ) \ ) và \ ( C \ ) nằm giữa hai điểm \ ( A \ ) và \ ( B \ ) thì ta có :\ ( OC \ ) là tia nằm giữa hai tia \ ( OA \ ) và \ ( OB \ )\ ( \ Rightarrow \ widehat { AOB } = \ widehat { AOC } + \ widehat { COB } \ )\ ( \ Rightarrow \ ) sđ \ ( \ stackrel \ frown { AB } = \ ) sđ \ ( \ stackrel \ frown { AC } \ ) + sđ \ ( \ stackrel \ frown { CB }. \ \ square \ )+ ) Trên cung lớn \ ( \ stackrel \ frown { AmB } : \ )

Nếu điểm \ ( C \ in ( O ) \ ) thì cung lớn \ ( \ stackrel \ frown { AmB } \ ) được chia thành hai cung nhỏ là \ ( \ stackrel \ frown { AC } \ ) và \ ( \ stackrel \ frown { CB }. \ ) Ta có :Vì \ ( \ stackrel \ frown { AmB } \ ) là cung lớn nên :sđ \ ( \ stackrel \ frown { AmB } = 360 ^ { \ circ } – \ ) sđ \ ( \ stackrel \ frown { AnB } \ \ ( 1 ) \ )Lại có :\ ( \ widehat { AOC } + \ widehat { COB } + \ widehat { AOB } = 360 ^ { \ circ } \ )\ ( \ Rightarrow \ widehat { AOC } + \ widehat { COB } = 360 ^ { \ circ } – \ widehat { AOB } \ )\ ( \ Rightarrow \ ) sđ \ ( \ stackrel \ frown { AC } + \ ) sđ \ ( \ stackrel \ frown { CB } = 360 ^ { \ circ } – \ ) sđ \ ( \ stackrel \ frown { AB } \ \ ( 2 ) \ )Từ \ ( ( 1 ) \ ) và \ ( ( 2 ) \ ) suy ra :

sđ \(\stackrel\frown{AmB}=\) sđ \(\stackrel\frown{AC}+\) sđ \(\stackrel\frown{CB}.\ \square\) 

Tổng quát:

Điểm \ ( C \ ) nằm trên cung \ ( AB \ ) và chia cung này thành hai cung kí hiệu là \ ( \ stackrel \ frown { AC } \ ) và \ ( \ stackrel \ frown { CB } \ ) thì ta có :sđ \ ( \ stackrel \ frown { AB } = \ ) sđ \ ( \ stackrel \ frown { AC } + \ ) sđ \ ( \ stackrel \ frown { CB } \ )