Tam giác đều.

Tam giác đều

Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau, và bằng 60°. Nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.

Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng

a

{\displaystyle a\,\!}

, dùng định lý Pytago chứng minh được:

• Diện tích:

  A
  =

  a

  2

  3

  4

  {\displaystyle A=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}

  Bạn đang đọc: Tam giác đều.

  

• Chu vi: p = 3 a { \ displaystyle p = 3 a \, \ ! }
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = a 3 3 { \ displaystyle R = a { \ frac { \ sqrt { 3 } } { 3 } } }
• Bán kính đường tròn nội tiếp r = a 3 6 { \ displaystyle r = a { \ frac { \ sqrt { 3 } } { 6 } } }
• Trọng tâm của tam giác cũng là trực tâm và tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
• Chiều cao của tam giác đều h = a 3 2 { \ displaystyle h = a { \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } } }

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ nó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t ta có:,[1]

3 ( p 4 + q 4 + t 4 + a 4 ) = ( p 2 + q 2 + t 2 + a 2 ) 2 { \ displaystyle 3 ( p ^ { 4 } + q ^ { 4 } + t ^ { 4 } + a ^ { 4 } ) = ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } + t ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } }

Với một điểm P bất kỳ nằm bên trong tam giác, khoảng cách từ nó đến các cạnh tam giác là d, e, và f, thì d+e+f = chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí P.[2]

Với điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác là p, q, và t, thì[1]

4 ( p 2 + q 2 + t 2 ) = 5 a 2 { \ displaystyle 4 ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } + t ^ { 2 } ) = 5 a ^ { 2 } }

và

16 ( p 4 + q 4 + t 4 ) = 11 a 4 { \ displaystyle 16 ( p ^ { 4 } + q ^ { 4 } + t ^ { 4 } ) = 11 a ^ { 4 } }

Nếu P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t, ta có:[1]

p = q + t { \ displaystyle p = q + t }

và

q 2 + q t + t 2 = a 2 ; { \ displaystyle q ^ { 2 } + qt + t ^ { 2 } = a ^ { 2 } ; }

hơn nữa nếu D là giao điểm của BC và PA, DA có độ dài z và PD có độ dài y, thì[3]

z = t 2 + t q + q 2 t + q, { \ displaystyle z = { \ frac { t ^ { 2 } + tq + q ^ { 2 } } { t + q } }, }

và cũng bằng

t

3

−

q

3

t

2

−

q

2

{\displaystyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

nếu t ≠ q; và

1
q

+

1
t

=

1
y

.

{\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}}.}

Xem thêm: 75+ STT Bầu Trời, Cap hay về bầu trời xanh mây trắng – Babelgraph

Dấu hiệu nhận biết.

1. ^ a b c

   De, Prithwijit, “Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle,” Mathematical Spectrum 41(1), 2008-2009, 32-35.

2. ^

   Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover Publ., 1996.

3. ^

   Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, second edition, Dover Publ. Co., 1996, pp. 170-172.

Liên kết ngoài.