Số hoàn hảo (hay còn gọi là số hoàn chỉnh, số hoàn thiện hoặc số hoàn thành) là một số nguyên dương mà tổng các ước nguyên dương chính thức của nó (số nguyên dương bị nó chia hết ngoại trừ nó) bằng chính nó.

Định nghĩa số hoàn hảo.

Số hoàn hảo là những số nguyên dương n sao cho :

n = s(n)

trong đó, s ( n ) là hàm tổng những ước của n, không gồm có n. Ví dụ :

6: 1 + 2 + 3 = 6

28 : 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28496 : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 4968128 : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128Hoặc :

σ(n) = 2n

trong đó, σ ( n ) là hàm tổng những ước của n, gồm có cả n ) .

Các số hoàn hảo chẵn.

Euclid đã mày mò ra 4 số hoàn hảo nhỏ nhất dưới dạng : 2 p − 1 ( 2 p − 1 ) :

p = 2: 21(22 − 1) = 2 × 3 = 6

p = 3: 22(23 − 1) = 4 × 7 = 28

p = 5: 24(25 − 1) = 16 × 31 = 496

p = 7: 26(27 − 1) = 64 × 127 = 8128

Chú ý rằng : 2 p − 1 đều là số nguyên tố trong mỗi ví dụ trên, Euclid chứng tỏ rằng công thức : 2 p − 1 ( 2 p − 1 ) sẽ cho ta 1 số ít hoàn hảo chẵn khi và chỉ khi 2 p − 1 là số nguyên tố ( số nguyên tố Mersenne ) .Các nhà toán học cổ đại đồng ý đây là 4 số hoàn hảo nhỏ nhất mà họ biết, nhưng đa phần những giả định trên đây đã không được chứng tỏ là đúng. Một trong số đó là nếu 2, 3, 5, 7 là bốn số nguyên tố tiên phong thì nhất định sẽ có số hoàn thành xong thứ năm khi p = 11, số nguyên tố thứ năm. Nhưng 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là hợp số, và thế là p = 11 không thu được số hoàn hảo. 2 sai lầm đáng tiếc khác của họ là :Số hoàn hảo thứ năm phải có năm chữ số theo hệ cơ số 10 vì bốn số hoàn hảo tiên phong có lần lượt 1, 2, 3, 4 chữ sốChữ số hàng đơn vị chức năng của số hoàn hảo phải là 6, 8, 6, 8 và cứ thế lặp lại .

Số hoàn hảo thứ năm là

33.550.336
=

2

12

(

2

13

−
1
)

{\displaystyle 33.550.336=2^{12}(2^{13}-1)}

bao gồm 8 chữ số, vậy nhận định 1 đã sai, về nhận định thứ 2 thì số này tận cùng là 6. Tuy nhiên đến số hoàn hảo thứ sáu là

8.589.869.056
=

2

16

(

2

17

−
1
)

{\displaystyle 8.589.869.056=2^{16}(2^{17}-1)}

thì cũng tận cùng là 6. Nói cách khác bất cứ số hoàn hảo chẵn nào cũng phải có chữ số tận cùng là 6 hoặc 8.

Để

2

p

−
1

{\displaystyle 2^{p}-1}

là số nguyên tố thì điều kiện cần nhưng chưa đủ là p là số nguyên tố. Số nguyên tố có dạng 2p − 1 được gọi là Số nguyên tố Mersenne sau khi được 1 nhà tu vào thế kỷ 17 là Marin Mersenne, người học lý thuyết số và số hoàn hảo tìm ra.

Hơn 1000 năm sau Euclid, Ibn al-Haytham ( Alhazen ) circa 1000 AD nhận ra rằng mọi số hoàn hảo chẵn đều phải có dạng 2 p − 1 ( 2 p − 1 ) khi 2 p − 1 là số nguyên tố, nhưng ông ta không hề chứng tỏ được hiệu quả này. [ 1 ] Mãi tới thế kỷ 18 là Leonhard Euler đã chứng tỏ công thức 2 p − 1 ( 2 p − 1 ) là sẽ tìm ra những số hoàn hảo chẵn. Đó là nguyên do dẫn tới sự liên hệ giữa số hoàn hảo và số nguyên tố Mersenne. Kết quả này thường được gọi là thuyết Euclid-Euler. Cho tới tháng 9 năm 2008, mới chỉ có 46 số Mersenne được tìm ra, [ 2 ] có nghĩa đây là số hoàn hảo thứ 46 được biết, số lớn nhất là 243.112.608 × ( 243.112.609 − 1 ) với 25.956.377 chữ số .39 số hoàn hảo chẵn tiên phong có dạng 2 p − 1 ( 2 p − 1 ) khi

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (dãy số A000043OEIS)

7 số khác được biết là khi p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Chưa ai biết là có để sót số nào giữa chúng hay khôngCũng chưa ai biết chắc như đinh là có vô hạn số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo hay không. Việc tìm ra những số nguyên tố Mersenne mới được thực thi bởi những siêu máy tínhCác số hoàn hảo đều là số tam giác thứ 2 p − 1 ( là tổng của toàn bộ những số tự nhiên từ 1 đến 2 p − 1 ) :

p = 2: 6 = 1 + 2 + 3 { \ displaystyle 6 = 1 + 2 + 3 \, }

p = 3:

28
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7

{\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}

Xem thêm: Ý nghĩa các con số từ 00 đến 99 trong kết quả xổ số

p = 5: 496 = 1 + 2 + 3 +. .. + 29 + 30 + 31 { \ displaystyle 496 = 1 + 2 + 3 + … + 29 + 30 + 31 }

p = 7: 8128 = 1 + 2 + 3 +. .. + 125 + 126 + 127 { \ displaystyle 8128 = 1 + 2 + 3 + … + 125 + 126 + 127 }

Các số hoàn hảo đều là tổng hợp chập 2 của 2 p :

p = 2: 6 = C 4 2 { \ displaystyle 6 = C_ { 4 } ^ { 2 } }

p = 3: 28 = C 8 2 { \ displaystyle 28 = C_ { 8 } ^ { 2 } }

p = 5: 496 = C 32 2 { \ displaystyle 496 = C_ { 32 } ^ { 2 } }

p = 7: 8128 = C 128 2 { \ displaystyle 8128 = C_ { 128 } ^ { 2 } }

Các số hoàn hảo đều có tổng những nghịch đảo của những ước ( kể cả chính nó ) đúng bằng 2 :

6: 1 + 1 2 + 1 3 + 1 6 = 2 { \ displaystyle 1 + { \ frac { 1 } { 2 } } + { \ frac { 1 } { 3 } } + { \ frac { 1 } { 6 } } = 2 }

28: 1 + 1 2 + 1 4 + 1 7 + 1 14 + 1 28 = 2 { \ displaystyle 1 + { \ frac { 1 } { 2 } } + { \ frac { 1 } { 4 } } + { \ frac { 1 } { 7 } } + { \ frac { 1 } { 14 } } + { \ frac { 1 } { 28 } } = 2 }

496: 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 31 + 1 62 + 1 124 + 1 248 + 1 496 = 2 { \ displaystyle 1 + { \ frac { 1 } { 2 } } + { \ frac { 1 } { 4 } } + { \ frac { 1 } { 8 } } + { \ frac { 1 } { 16 } } + { \ frac { 1 } { 31 } } + { \ frac { 1 } { 62 } } + { \ frac { 1 } { 124 } } + { \ frac { 1 } { 248 } } + { \ frac { 1 } { 496 } } = 2 }

8128: 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 127 + 1 254 + 1 508 + 1 1016 + 1 2032 + 1 4064 + 1 8128 = 2 { \ displaystyle 1 + { \ frac { 1 } { 2 } } + { \ frac { 1 } { 4 } } + { \ frac { 1 } { 8 } } + { \ frac { 1 } { 16 } } + { \ frac { 1 } { 32 } } + { \ frac { 1 } { 64 } } + { \ frac { 1 } { 127 } } + { \ frac { 1 } { 254 } } + { \ frac { 1 } { 508 } } + { \ frac { 1 } { 1016 } } + { \ frac { 1 } { 2032 } } + { \ frac { 1 } { 4064 } } + { \ frac { 1 } { 8128 } } = 2 }

Số 6 là số tự nhiên duy nhất có tổng những ước bằng tích những ước ( không kể chính nó ) :

6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3 { \ displaystyle 6 = 1 + 2 + 3 = 1 \ times 2 \ times 3 }

Trừ số 6, mọi số hoàn hảo đều là tổng của 2 ( p − 1 ) / 2 số lập phương lẻ liên tục từ 13 đến ( 2 ( p + 1 ) / 2 − 1 ) 3 :

p = 3: 28 = 1 3 + 3 3 { \ displaystyle 28 = 1 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } \, }

p = 5: 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 { \ displaystyle 496 = 1 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 5 ^ { 3 } + 7 ^ { 3 } \, }

p = 7: 8128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 { \ displaystyle 8128 = 1 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 5 ^ { 3 } + 7 ^ { 3 } + 9 ^ { 3 } + 11 ^ { 3 } + 13 ^ { 3 } + 15 ^ { 3 } \, }

Trừ số 6, mọi số hoàn hảo khi chia 9 thì đều thu được thương là số tam giác thứ (2p − 2)/3 và số dư là 1:

p = 3: 28 = 9 × ( 1 + 2 ) + 1 { \ displaystyle 28 = 9 \ times ( 1 + 2 ) + 1 }

p = 5: 496 = 9 × ( 1 + 2 + 3 +. .. + 8 + 9 + 10 ) + 1 { \ displaystyle 496 = 9 \ times ( 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10 ) + 1 }

p = 7: 8128 = 9 × ( 1 + 2 + 3 +. .. + 40 + 41 + 42 ) + 1 { \ displaystyle 8128 = 9 \ times ( 1 + 2 + 3 + … + 40 + 41 + 42 ) + 1 }

Liên kết ngoài.

Source: http://139.180.218.5
Category: Thuật ngữ đời thường