Số pi – Bách khoa Toàn thư Việt Nam

Số pi là một số vô tỷ và đồng thời là một số siêu việt. Giá trị của số pi là tỷ lệ của chu vi đến đường kính của một đường tròn, thường được lấy gần đúng là 3,14.

Lịch sử[sửa]

Khái niệm về số pi từ buổi đầu gắn liền với hình học và đặc biệt quan trọng là với đường tròn. Đường tròn là một trong những đường kỷ hà thường được phát hiện trong tự nhiên ( hình dạng đóa hoa, khủng hoảng bong bóng, mống mắt, v.v. ) và những thiên thể thường có hình tròn trụ như mặt trời, mặt trăng, cầu vồng, v.v. Các đối tượng người dùng này từ thuở sơ khai đã định hình sự đặc biệt quan trọng của đường tròn so với con người. Các nền văn minh, văn hóa truyền thống trong lịch sử vẻ vang đã gắn liền đường tròn với quốc tế siêu nhiên .

• Thần Rê trong truyền thuyết thần thoại Ai Cập cổ đại với hình tượng mặt trời hình tròn trụ
• 

  Hình ảnh mặt trời trong văn minh Lưỡng Hà

  Bạn đang đọc: Số pi – Bách khoa Toàn thư Việt Nam

• Các đường tròn đồng tâm trong hoa văn trên mặt trống đồng Đông Sơn từ văn hóa truyền thống Đông Sơn

Với vai trò như vậy nên những đề cập về đường tròn trong những tài liệu cổ đã biểu lộ sự hiểu biết nhất định về số pi .

Văn minh Lưỡng Hà[sửa]

Một trong những đề cập đến số pi trong hình học sớm nhất là bài toán ” Mở rộng một ngôi làng hình tròn trụ “, được ghi chép dưới dạng chữ Cunéiforme trên một tấm đất sét nung từ khu vực Lưỡng Hà vào khoảng chừng năm 1600 TCN .
Mẫu đất sét nung BM 85194

Bài toán được đặt ra như sau : “Một ngôi làng. Một đường tròn có chu vi mà tôi đo được là khoảng 60 đơn vị (cho bán kính r). Từ đường tròn này, tôi di chuyển ra xa với 5 đơn vị và tôi đào một cái hào chạy xung quanh (nghĩa là vẽ một đường tròn đồng tâm với bán kính r+5). Hào sâu 6 đơn vị. Rồi từ hào đó, tôi lại di chuyển ra xa thêm 5 đơn vị nữa, tôi xây một bức lũy (vẽ tiếp một đường tròn đồng tâm với bán kính r+10). Người ta hỏi độ cao, độ sâu của móng và chu vi của bức lũy”.

Lời giải cho bài toán được ghi chép như sau : “Khi mà chu vi là một bộ 60 đơn vị (1 shush, người Lưỡng Hà dùng hệ lục thập phân), khoảng vượt (cg. đường kính) là bao nhiêu ? Một phần ba của 60, chu vi, giảm đi, ta thấy 20, 20 là khoảng vượt. 2 lần vòng tròn rộng thêm 5, ta thấy 10. 10 đến 20, khoảng vượt cộng thêm, ta thấy 30, đó là khoảng vượt. Gấp ba lần, ta thấy 1*30 (1 shush và 30 đơn vị, tức là 90 đơn vị), 1*30 là chu vi của lũy“.

Cách đặt yếu tố và giải thuật này là từ ghi chép rất cổ xưa, khi đó, văn phong và ngôn từ là còn chân phương dưới nhận thức tân tiến ; tuy nhiên, điểm đặc biệt quan trọng đáng chú ý quan tâm là, khi chu vi là 60 thì đường kính sẽ là 1/3 của chu vi, là 20, rồi cộng 2 lần 5 đơn vị chức năng cho đường kính 20, được đường kính 30, sau đó lại nhân 3 lần để được chu vi của đường tròn lớn nhất. Điều này hoàn toàn có thể được hiểu là, dân cư Lưỡng Hà hoàn toàn có thể đã cho rằng tỷ suất của chu vi đến đường kính của đường tròn là 3, trường hợp này đã được gặp trong nhiều ghi ghép khác. Nói thêm, 3 là tỷ suất đúng chuẩn của chu vi đến đường kính trong trường hợp lục giác đều, người Lưỡng Hà hoàn toàn có thể đã cho rằng diện tích quy hoạnh hình tròn trụ không lớn hơn diện tích quy hoạnh lục giác đều nhiều, và một tấm đất sét nung được tìm thấy vào năm 1936 ở Suse, nước Iran, có niên đại vào khoảng chừng năm 1680 TCN đã chỉ ra giá trị gần đúng hơn của tỷ suất này là 3 cộng với 1/8 ( 3,125 ) .

Văn minh Ai Cập cổ đại[sửa]

khet ở cuộn giấy cói RhindMinh họa cách tính diện tích quy hoạnh hình tròn trụ đường kính 9

Nền văn minh Ai Cập cổ đại cùng thời với văn minh Lưỡng Hà (bắt đầu vào khoảng năm 3100 TCN), cũng đã có những ghi chép về các bài toán có liên quan đến đường tròn trong các cuộn giấy cói (papyrus), đặc biệt là cuộn giấy cói Rhind (khoảng năm 1650 TCN). Trong đó có ghi chép về bài toán “Cánh đồng tròn với đường kính 9 khet“.

Mẫu giấy cói Rhind ghi lại bài toán đường tròn

Bài toán yêu cầu tính diện tích của một cánh đồng hình tròn với đường kính là 9 khet. Người Ai Cập cổ đại đã đưa ra cách giải như sau : Lấy ra 1/9 của đường kính, là 1. Phần còn lại là 8. Nhân 8 với 8, được 64. Vậy diện tích cánh đồng là 64 setat.

Thực chất, đây là một giải thuật ( algorithme ) tìm diện tích quy hoạnh hơn là công thức bình phương nửa đường kính nhân với một hằng số. Nhìn nhận giải thuật này dưới nhận thức toán học văn minh, thấy rằng, nó tương tự với việc nhân bình phương của đường kính ( D2 ) với bình phương của 8/9, hay còn là bình phương của nửa đường kính ( R2 ) với 256 / 81 ( 3,1604938272 ) .

Diện tích = 8×8 = 82 = 82×(9/9)2 = (8/9)2×D2 = (64/81)×D2 = (64/81)×(2×R)2 = (256/81)×R2 ≈ π×R2

Có thể hiểu, đằng sau giải thuật tìm diện tích quy hoạnh hình tròn trụ, người Ai Cập cổ đại đã hoàn toàn có thể có ý thức về một hằng số. Có nhiều giả thuyết lý giải cho việc người Ai Cập cổ đại tìm ra tỷ suất 256 / 81. Tỷ lệ này là một trong những cố gắng nỗ lực tiên phong trong việc tò mò thực chất của số pi .

Văn minh lưu vực sông Ấn[sửa]

Nền Văn minh lưu vực sông Ấn ( khoảng chừng năm 2600 TCN ) cũng đã để lại những ghi chép có tương quan đến số pi, trong đó có tập hướng dẫn Śulba-Sūtras vào khoảng chừng năm 700 TCN. Śulba-Sūtras ( Śulba : sợi dây, Sūtras : quy tắc ) là một tập hướng dẫn những quy cách thiết kế xây dựng bệ thờ trong tôn giáo Védisme thời Ấn Độ cổ đại. Do đây là một tập hướng dẫn trong thiết kế xây dựng hơn là một khu công trình nghiên cứu và điều tra toán học nên nó chú trọng về tính giao động hơn là giá trị đúng của số pi, do đó giá trị của số pi biến hóa từ phương pháp thiết kế xây dựng này sang phương pháp khác và thậm chí còn đổi khác trong cùng một phương pháp. Tuy vậy, tập hướng dẫn này cũng đã có những vận dụng rất đúng chuẩn trong trường hợp số √ 2 và trong 1 số ít giải pháp hình học khác .

Về số pi, vẫn như các tài liệu cổ của các nền văn minh cùng thời, được ẩn chứa trong các giải thuật để giải quyết các vấn đề về hình học và được thể hiện với văn phong cổ đại. Đầu tiên kể đến là hướng dẫn “Độ dài một sợi tóc” : “1/5 của đường kính được cộng thêm 3 lần đường kính cho ra chu vi của đường tròn. Không còn thừa lại cho dù là độ dài một sợi tóc“. Với hướng dẫn này, số pi đạt giá trị : 3 + 1/5 = 3,2, tuy vẫn còn khá xa giá trị thực của số pi nhưng khá hữu dụng trong công tác xây dựng. Một vài hướng dẫn khác có mang tính chất nghiên cứu như cách để chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn và cách ngược lại, tức là chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, phương pháp nhắc sau là một phiên bản của vấn đề “Cầu phương đường tròn” (tiếng Pháp : Quadrature du cercle).

√2

-1)/3AB = 2, OM = 1 + ( – 1 ) / 3 d, AB = d × 9785/11136AC =, AB = × 9785 / 11136

• Chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn : văn bản ghi chép như sau “Nếu người ta muốn chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn, một sợi dây có độ dài là phân nửa của đường xiên đa giác hình vuông, dây được căn từ tâm sang bên phải. Cộng thêm 1/3 độ dài còn lại nằm ngoài đa giác hình vuông; đường tròn mong muốn đã có“. Phương pháp được lý giải như sau : đa giác hình vuông ở đây có độ dài cạnh là 2, phân nửa đường xiên có giá trị là

  √2

  , bán kính của đường tròn cần tìm để cho diện tích của nó đạt 4 là 1 cộng với 1/3 của kết quả lấy căn 2 trừ 1. Số pi đạt được theo phương pháp này là xấp xỉ 3,0883. Thực tế, với giá trị đúng của π, diện tích hình tròn đạt gần 4.069.

• Chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông : phương pháp như sau “Để chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, đường kính được chia làm 8 phần bằng nhau; một phần trong số đó, sau khi được chia là 29 phần bằng nhau, được giảm đi 28 phần và sau đó, phần còn lại được tiếp tục giảm 1/6, đem trừ đi 1/8 của 1/6 đó“. Phương pháp được hiểu như sau, gọi d là đường kính của đường tròn cho trước, cạnh của đa giác hình vuông với độ dài a sẽ theo công thức sau : a = d – d/8 + d/(8×29) – (d/(8×29))(1/6 – 1/(6×8)) = d x 9785/11136. Với phương pháp này số pi đạt xấp xỉ 3,0883. Thực tế, diện tích hình vuông chỉ đạt khoảng 98,3% của hình tròn. Cách dựng đa giác hình vuông có độ dài cạnh là độ dài AB bằng các đường tròn trong hình minh họa cũng chính là phương pháp được miêu tả trong Śulba-Sūtras.

Giá trị của số pi bộc lộ sự giống hệt đáng chú ý quan tâm về mặt toán học của 2 chiêu thức này, tuy rằng giá trị của số pi vẫn còn chưa thực sự đúng chuẩn .

Văn minh Hy Lạp cổ đại[sửa]

Minh họa giải pháp truy đến cùng với những đa giác đều 6, 12, 24 cạnhTrước Archimède ( khoảng chừng thế kỷ thứ 3 TCN ), tại thời gian của Pythagore ( khoảng chừng thế kỷ thứ 6 TCN ), những điều tra và nghiên cứu về đường tròn xoay quanh đặc thù hình học hơn là số học, đặc biệt quan trọng là cách để chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông vắn ( cầu phương ). Một trong những tiếp cận sớm nhất đến nghiên cứu và điều tra đường tròn theo hướng số học là ” Phương pháp truy đến cùng ” ( tiếng Pháp : Méthode d’exhaustion ) được cho là của Eudoxe de Cnide ( khoảng chừng thế kỷ thứ 4 TCN ). Phương pháp này dùng những đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp một đường tròn, sau đó tăng dần số cạnh của đa giác đều. Tuy rằng, chiêu thức này khá cồng kềnh nhưng vẫn sống sót như thể một giải pháp minh họa cách tiếp cận những đường cong cho đến khi bộ môn Vi tích phân sinh ra ( được ghi nhận vào khoảng chừng thế kỷ 17 ). Những ứng dụng tiên phong của ” Phương pháp truy đến cùng ” đã được sử dụng trong tác phẩm Cơ sở ( tiếng Pháp : Éléments ) của Euclide ( khoảng chừng thế kỷ thứ 4 – thứ 3 TCN ), đặt biệt là trong việc chứng tỏ những đặc thù số học của đường tròn .

Chỉ khi đến Archimède, với việc sử dụng phương pháp truy đến cùng với đa giác đều lên đến 96 cạnh, số pi mới thực sự được ghi nhận như là một hằng số toán học với mệnh đề thứ 3 trong tác phẩm “Đo lường đường tròn”. Mệnh đề phát biểu : “Chu vi của một đường tròn bất kì thì bằng với ba lần đường kính cộng với một phần nhỏ của đường kính, phần này thì nhỏ hơn 1/7 của đường kính và lớn hơn 10/71 của đường kính đó“, tức là :

3,1408 Các chiêu thức phi hình học để tìm kiếm số pi[sửa]

Trong quá khứ, tối thiểu là ở thời kỳ cổ đại, số pi đã được khám phá chỉ trải qua những giải pháp hình học trong khoảng trống Euclide. Về sau, người ta đã tìm kiếm ra một số ít chiêu thức để tìm số pi mà không phải phụ thuộc vào vào hình học .

Phương pháp số học[sửa]

Hình học đã giúp chúng ta thấy được một hằng số trong mối liên hệ giữa độ dài đường tròn và đường kính của nó, sự khẳng định nó là một hằng số (gọi là pi) là một bước tiến quan trọng, tuy nhiên sẽ không có nhiều ý nghĩa nếu như chúng ta không nêu ra được giá trị của hằng số đó. Bằng thực nghiệm, chúng ta có nhiều cách dựa trên hình học để xác định giá trị số pi, tuy nhiên, sẽ có rất nhiều sai số. Các phương pháp thực nghiệm cho ra kết quả của một số pi vật lý thay vì số pi toán học, đây là 2 định nghĩa không hoàn toàn giống nhau; nói là số pi vật lý không có nghĩa là nói đến sai số khách quan trong các phép đo thực nghiệm. Khi định nghĩa số pi theo hình học π = P/2r, với điều kiện phép đo được thực hiện trong không gian Euclide thuần toán học, tuy nhiên trong thực tế, không gian mà chúng ta đang sống không hoàn toàn Euclide theo thuyết tương đối rộng của Albert Einstein và chúng ta không thể tạo ra một không gian thực tế hoàn toàn Euclide để tiến hành phép đo số pi dựa trên cơ sở hình học. Phương pháp xác định giá trị của số pi dựa trên việc số học hóa định nghĩa hình học của nó giải quyết được vấn đề số pi vật lý và cho phép đạt số pi toán học.

Định nghĩa số pi theo diện tích quy hoạnh của một hình tròn trụ ( π = S / r2 ) được cho phép tất cả chúng ta tưởng tượng ra một giải pháp đơn thuần và trọn vẹn chỉ dựa vào việc giám sát với những số nguyên. Đầu tiên, vẽ một hình vuông vắn gồm ( 2 n + 1 ) x ( 2 n + 1 ) điểm, mỗi điểm cách nhau 1 / n ; sau đó, tất cả chúng ta đếm số điểm có khoảng cách đến điểm TT hình vuông vắn là nhỏ hơn 1 ; ở đầu cuối, với việc tính tỷ suất của tác dụng đếm được với tổng số điểm đã cho, tất cả chúng ta có một giá trị xê dịch π / 4 và sau khi nhân với 4 tất cả chúng ta sẽ có giá trị xê dịch của số pi .

Với n = 20 ta được π = 3.16, với n = 100 ta được π = 3.151 và với n = 200 ta được π = 3.146 (các số in đậm là các số thập phân chưa chính xác của pi).

Các số hạng của dãy số pi như trên là giá trị gần đúng của tỷ suất diện tích quy hoạnh hình tròn trụ và nửa đường kính 1 trong mặt phẳng toán học. Khi mà mặt phẳng toán học này là thuần Euclide một cách chắc như đinh, cách tính trên không còn dựa trên bất kể triết lý vật lý nào nữa, trọn vẹn đúng mực và chỉ thuần dựa trên những số nguyên .Việc đếm những điểm nằm trong đường tròn như trên hoàn toàn có thể được thực thi thủ công bằng tay hoặc với sự trợ giúp của máy tính, thế nhưng, để đạt được sự đúng mực đến p số thập phân, cần phải cho n = 10 p và thực thi thống kê giám sát đến 102 p những phép tính nhân giữa những những số trong khoảng chừng p, chưa kể những phép cộng và những phép so sánh giữa những số. Sự tăng phi mã những phép tính số lượng giới hạn tất cả chúng ta đạt tối đa khoảng chừng 20 số thập phân của số pi và những siêu máy tính lúc bấy giờ cũng không đạt được xa hơn với chiêu thức này .Suy cho cùng, định nghĩa số học này của số pi cũng quan trọng : nó cho thấy rằng, mặc dầu ở Lever cơ bản, tất cả chúng ta vẫn hoàn toàn có thể đưa ra một định nghĩa của số pi mà không cần dựa trên bất kể kim chỉ nan vật lý nào và nó được cho phép tất cả chúng ta, trên triết lý, tính được đúng mực giá trị của pi tùy tất cả chúng ta mong ước .

Các giải pháp thực nghiệm để tìm số pi[sửa]

Trước khi Open những công thức giải tích và những thế hệ máy móc, máy tính, việc tìm kiếm thêm những số thập phân của số pi được triển khai một cách thủ công bằng tay trải qua những giải pháp thực nghiệm dựa trên những công thức hình học có tương quan đến số pi. Việc phải tìm kiếm thêm những số thập phân của số pi là thiết yếu cho những đo lường và thống kê ngày càng cần độ đúng mực cao. Các giải pháp thực nghiệm đó thuận tiện được nghĩ ra, ví dụ điển hình như :

• Tìm pi thông qua công thức chu vi đường tròn; căng một sợi dây hình tròn với đường kính đã cho, sau đó cắt sợi đây, kéo thẳng ra và đo độ dài, cuối cùng là chia cho đường kính đã biết.
• Tìm pi thông qua công thức diện tích hình tròn S = 4πR2; sơn một hình vuông có độ dài cạnh là 1 mét, sau đó sơn một hình tròn có bán kính 1 mét, cuối cùng tính tỷ lệ các khối lượng nước sơn đã dùng.
• Tìm pi thông qua công thức thể tích hình cầu V = 4πR3/3; cân một quả cầu rỗng có bán kính 1 mét, sau đó cân quả cầu đã bơm đầy nước vào, chia hiệu khối lượng cho 1000 (khối lượng riêng của nước) rồi cuối cùng là nhân với 3/4.

Các chiêu thức thực nghiệm trên tuy thuận tiện nghĩ ra và thuận tiện triển khai nhưng thực sự không hiệu suất cao cho việc tìm thêm những số thập phân của số pi, hơn thế nữa sai số sẽ là rất lớn và tác dụng sẽ độc lạ giữa những đơn vị chức năng làm phép đo thực nghiệm. Hiện nay, với sự trợ giúp của máy tính, tất cả chúng ta đã tìm ra hàng tỷ số thập phân của số pi, chúng được ghi chép lại, kiểm chứng giữa nhiều đơn vị chức năng thực thi và công bố thoáng rộng, những tác dụng này vẫn liên tục được update khi những kỷ lục liên tục bị thay thế sửa chữa .

Có một số phương pháp thực nghiệm thú vị không dựa trên các công thức dễ hiểu của số pi cũng đã được nghĩ đến, chẳng hạn như phương pháp với những chiếc kim của Buffon.

Tác giả của chiêu thức này là một nhà tự nhiên học người Pháp tên là Georges Louis Leclerc ( 1707 – 1788 ), bá tước ở xã Buffon ( Pháp ). Ông ta chỉ ra rằng khi một chiếc kim có độ dài L ( tức là một đoạn thẳng có độ dài L ) rơi ngẫu nhiên xuống một sàn gỗ lát mà mỗi lát gỗ có độ rộng là L ( tức là những đường thẳng song song với khoảng cách L ), Xác Suất chiếc kim sẽ cắt cạnh của lát gỗ là 2 / π. Trong trường hợp đại khái hơn, Phần Trăm để một chiếc kim có độ dài a rơi ngẫu nhiên và cắt cạnh lát gỗ có độ rộng b là 2 a / bπ. Có nhiều thực thi thực nghiệm đã dẫn chứng cho kim chỉ nan này :

• Vào năm 1850, một người tên Wolf đã thả 5000 chiếc kim với tỷ lệ a/b là 0.8 và đếm được 2532 giao điểm, tính ra được π = 3.1596
• Vào năm 1855, một người tên Smith vùng Aberdeen (Scotland) đã thả 3204 chiếc kim với tỷ lệ a/b là 0.6, 1218.5 giao điểm (nửa giao điểm ở đây là một trường hợp báo cáo khó hiểu), tính ra được π = 3.1553
• Vào năm 1860, Augustus De Morgan, 600 chiếc kim, a/b = 1; 382.5 giao điểm, π = 3.137
• Vào năm 1864, một người tên Fox, 1030 chiếc kim, a/b = 0.75; 489 giao điểm, π = 3.1595
• Vào năm 1901, một người tên Lozzerini, 3408 chiếc kim, a/b = 0.83; 1808 giao điểm, π = 3.1415929 (kết quả hoàn hảo một cách đáng nghi ngờ)
• Vào năm 1925, một người tên Reina, 2520 chiếc kim, a/b = 0.5419; 859 giao điểm, π = 3.1795

Nếu những thực nghiệm trên là có thực, triết lý của Leclerc quả thực đáng chú ý quan tâm ; với phong phú những tham số thực nghiệm, triển khai độc lập với nhau nhưng cùng đưa về hiệu quả tiệm cận với số pi. Bằng cách toán học hóa những điều kiện kèm theo thực nghiệm và sự tương hỗ của công cụ vi tích phân, triết lý trên là khả dĩ để tìm pi chứ không phải là sự trùng hợp một cách ngẫu nhiên .

Quá trình chinh phục số pi[sửa]

Từ sau khi Archimède đưa ra định nghĩa về số pi, những thế hệ những nhà toán học trên khắp quốc tế mở màn con đường chinh phục hằng số này, và quy trình vẫn còn tiếp nối sau hơn 23 thế kỷ .

Các ứng dụng của giải pháp truy đến cùng[sửa]

Phương pháp truy đến cùng trong một thời hạn dài gần như là giải pháp duy nhất để tiếp cận số pi, và gần như được dùng trên khắp quốc tế. Archimède đã đưa ra ước tính tiên phong với đa giác đều lên đến 96 cạnh, sau khi nhân đôi số cạnh 4 lần liên tục từ một lục giác đều. Và từ đây, những chữ số thập phân của số pi liên tục được tìm ra chỉ với việc tăng số cạnh của đa giác đều : Vào năm 263, nhà toán học Lưu Huy của Trung Quốc đã đạt đến 4 chữ số thập phân của số pi với đa giác 3072 cạnh, π = 3,1416 = 3927 / 1250 ; hai thế kỷ sau, nhà toán học Trung Quốc Tổ Xung Chi đã tìm ra đến 7 chữ số thập phân đúng chuẩn của số pi, 3,1415926 Các công thức giải tích[sửa]

Nhà toán học Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 )Đến thế kỷ 17 – 18 với bộ môn vi tích phân, việc tính toán số pi đã chấm hết với những giải pháp hình học và thay vào đó là sử dụng những công thức giải tích. Trong những công thức đó, kể đến là công thức cho số pi của Gottfried Wilhelm Leibniz :π / 4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + 1/13 − 1/15 + … + ( – 1 ) n / ( 2 n + 1 ) + … ; ( n là số tự nhiên ) ( 1 )Công thức ( 1 ) được thấy là việc cộng dồn 4 vào mẫu số mở màn từ 1/1 ( 1/5, 1/9, 1/13, … ) và tương tự như cho – 1/3 ( – 1/7, – 1/11, – 1/15, … ). Và rằng, công thức này có thừa kế từ nhiều nghiên cứu và điều tra toán học trước đó về những hàm lượng giác ngược .
Nhà toán học Johann Lambert ( 1728 – 1777 )Công thức số pi của Leibniz là một bước tiến toán học của thời kỳ với gợi ý về sự vô tận của những chữ số thập phân của số pi ; và rằng, chúng vẫn hoàn toàn có thể được lặp lại theo một quy luật nào đó và trở thành một số hữu tỷ vô hạn tuần hoàn, và sẽ màn biểu diễn được dưới dạng a / b ( a, b là số nguyên, b khác 0 ). Tuy nhiên, vào năm 1761, nhà toán học Johann Lambert, người Thụy Sỹ, đã chứng tỏ rằng số pi là một số vô tỷ .

Một trong những vấn đề toán học nhận được nhiều quan tâm trong thời kì của Lambert là việc cầu phương đường tròn (tiếng Pháp : quadrature du cercle). Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã cố gắng tìm ra cách giải cho vấn đề này, sau đó họ sẽ gửi về các viện hàn lâm có uy tín trên thế giới để chứng nhận; nhiều đến mức viện Hàn lâm Khoa học Paris đã công bố không nhận kiểm chứng thêm bất cứ lời giải nào. Lambert, lúc này đang là thành viên của viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Phổ, đã công bố tác phẩm “Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques” (1767) như là một minh họa để hạn chế các nhà toán học cầu phương, và việc chứng minh được số pi là một số vô tỷ chỉ vô tình là một trường hợp đặc biệt của kết quả mà Lambert công bố trong tác phẩm. Trên thực tế, Lambert chứng minh rằng, để một cung tròn có tỷ lệ hữu tỷ với bán kính, khi và chỉ khi giá trị lượng giác tang của góc tạo bởi cung tròn đó là một số vô tỷ. Vậy là, một cách ngược lại, do giá trị lượng giác tang của góc π/4 là 1, π/4 sẽ là một số vô tỷ, kéo theo sự vô tỷ của số pi.

• Tỷ lệ liên tục của giá trị lượng giác tang trong tác phẩm của Lambert
• Minh họa hiệu quả của Lambert

Số pi, một số ít vô tỷ[sửa]

Với việc ý thức được rằng số pi là một số ít vô tỷ, tâm lý về số pi đã có sự đổi khác, thay vì cố gắng nỗ lực tìm giá trị đúng mực của số pi, thì từ đây, một cuộc đua cho việc tìm ra được nhiều chữ số thập phân của số pi đã mở màn. Cùng với việc Open thêm nhiều công thức, chiêu thức để tìm số pi ; những công cụ, máy móc cũng được kêu gọi và tăng trưởng cho cuộc đua này. Và lúc bấy giờ, nhờ vào những văn minh vượt bậc về công nghệ tiên tiến, tất cả chúng ta đã hoàn toàn có thể đạt đến hàng tỷ chữ số thập phân của số pi .Trước cuộc chiến tranh quốc tế lần thứ 2, những thống kê giám sát được triển khai một cách thủ công bằng tay. William Shanks, một nhà toán học nghiệp dư người Anh, đã bỏ ra gần 20 năm để giám sát và công bố vào năm 1874, 707 chữ số thập phân tiên phong của số pi ; nhờ vào lượng lớn những chữ số thập phân này, những tìm hiểu và khám phá về sự điều phối đã được thực thi, người ta nhận thấy rằng, những số tự nhiên từ 0 đến 9 được Open với tần suất khoảng chừng 1/10, trừ số 7 ít được Open hơn, và từ đó sự hoài nghi không thiết yếu về việc hiếm có của số 7 đã lê dài hơn 70 năm, cho đến khi D. F. Ferguson, với sự tương hỗ của máy tính, vào năm 1946, đã tìm ra được 710 số thập phân tiên phong của số pi, và hiệu quả này chỉ ra rằng, đo lường và thống kê thủ công bằng tay của William Shanks đã sai ngay từ số thập phân thứ 528 trở đi .
Biểu đồ sự tăng trưởng của việc tìm những số thập phân của số piKể từ năm 1946, những thống kê giám sát đã được thực thi bởi máy móc. Các máy tính cơ học tìm được 1120 chữ số thập phân vào năm 1948, rồi đến máy tính điện tử là 2037 số vào năm 1949. Với sự tương hỗ của máy tính điện tử, quy trình chinh phục số pi được tăng cường : 1973, Jean Guilloud và Martine Bouyer công bố 1 triệu số ; 1989, đồng đội David và Gregory Chudnovsky với 1 tỷ số ; năm 2002, Yasumada Kanada, 1200 tỷ số ; tháng 4 năm 2009, Daisuke Takahashi, 2600 tỷ số ; tháng 12 năm 2009, Fabrice Bellard, 2700 tỷ số, …Việc chạy đua tìm ra càng nhiều chữ số thập phân của số pi không hẳn là không có ý nghĩa, mặc dầu, trong những công tác làm việc của đời sống, tất cả chúng ta không thiết yếu một mức độ đúng chuẩn đến vậy. Tuy nhiên, mức độ đúng chuẩn này là thiết yếu cho những đo lường và thống kê vĩ mô như trong thiên văn, sóng mê hoặc, xác định toàn thế giới ( GPS ) … ; hay như ở Lever vi mô của nguyên tử, điều tra và nghiên cứu vật lý lượng tử, … Thêm nữa, số lượng lớn những số thập phân của số pi thôi thúc tất cả chúng ta nghiên cứu và điều tra về mẫu lặp của số pi. Phần lớn những nhà toán học tin rằng những số thập phân của số pi Open một cách ngẫu nhiên, tuy nhiên, hoàn toàn có thể không phải là sự ngẫu nhiên tuyệt đối, kể từ khi số pi là một định nghĩa rất đúng mực ; những triển khai thống kê giám sát tần suất Open của những số tự nhiên cho thấy mỗi số tự nhiên có tần suất gần 1/10, và cặp 2 số có tần suất gần 1/100, … tuy nhiên, mặc dầu tất cả chúng ta đã có hàng tỷ chữ số thập phân của số pi, nhưng vẫn gần như là 0 % của một chuỗi vô tận của những số lượng .Hơn hết, một trong những động lực của việc tìm kiếm những số thập phân của số pi là để tăng trưởng, kiểm tra tính đúng chuẩn, độ nhanh gọn của những thế hệ máy tính điện tử ; tăng trưởng những triết lý toán học và công nghệ thông tin, … để từ đó có những tác dụng ship hàng cho những nghành khác .

Số pi, 1 số ít siêu việt[sửa]

Trong lịch sử toán học, có nhiều bài toán được đặt ra mà không tìm được lời giải sau rất nhiều nỗ lực và thời gian đã bỏ ra. Trong số đó, có ba bài toán lớn thời cổ đại của các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đặt ra, đó là :

1. Gấp đôi một khối lập phương : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể dựng được một khối lập phương mà gấp đôi thể tích khối lập phương đã cho ?
2. Chia làm ba một góc phẳng : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể chia được một góc phẳng bất kì thành 3 góc trong bằng nhau ?
3. Cầu phương đường tròn : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể dựng được một hình vuông mà có diện tích bằng với diện tích một hình tròn cho trước ?

Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939)

Minh họa cho việc cầu phương đường tròn

Vấn đề cầu phương đường tròn nhận được rất nhiều quan tâm của rất nhiều các nhà toán học và cả nghiệp dư trên khắp thế giới. Vấn đề nổi tiếng với mức độ đơn giản của nó nhưng lại là một thách thức cho rất nhiều nhà toán học hàng đầu trên thế giới trong một thời gian dài; nó tạo ra một sự ám ảnh tới mức đã có một thuật ngữ dành riêng cho nó “morbus cyclometricus” (tiếng Latin ; morbus : bệnh; cyclo : đường tròn, metricus : đo lường) nghĩa là “căn bệnh cầu phương đường tròn”; thuật ngữ “morbus cyclometricus” còn được mở rộng để chỉ những cá nhân hạn chế về kiến thức nhưng bị thúc đẩy bởi sự quan trọng của vấn đề và không ý thức được ý nghĩa của sự không thể.

Nhìn chung, ” cách giải ” của bài toán cầu phương rất đơn thuần. Giả sử, đường tròn cho trước có nửa đường kính là 1, khi đó diện tích quy hoạnh hình tròn trụ là π, do đó, diện tích quy hoạnh hình vuông vắn cần dựng sẽ là π và bằng với bình phương của cạnh đa giác hình vuông vắn đó, vậy là, độ dài cạnh đa giác hình vuông vắn sẽ là căn bậc 2 của số pi. Tuy vậy, số pi đã được chứng tỏ là không hề khai căn bậc hai, và đặc thù này được gọi là tính siêu việt của số pi ( nombre transcendant ). Tính chất siêu việt của số pi đã được chứng tỏ bởi Ferdinand von Lindemann, một nhà toán học người Đức, vào năm 1982 .

Tham khảo[sửa]

1. Bernard Ycart. La mesure du cercle, préhistoire de pi. Hist-math.fr
2. Jean-Paul Delahaye. Le fascinant nombre pi. ISBN : 978-2-410-01445-7
3. Sykorova. Charles University, Faculty of Mathematics and Physics, Prague, Czech Republic. ISBN 978-80-7378-139-2
4. John F. Price. School of Mathematics University of New South Wales, Sydney, NSW 2052, Australia. Applied Geometry of the Śulba-Sūtras.
5. François Gramain. Les décimales de pi. Images des Mathématiques, CNRS, 2021
6. Jean Brette. Promenade mathématique en Mésopotamie. Images des Mathématiques, CNRS, 2013
7. Bernard Ycart. La fin du suspense, démontrer une impossibilité. Hist-math.fr
8. Joaquín Navarro. Les secrets du nombre pi. Images des Mathématiques, CNRS, 2019