Tính số Pi bằng 5 bánh Pizza.
Mỗi năm vào ngày 14 tháng 3, chúng tôi kỷ niệm Ngày số Pi tại Uber Amsterdam. Năm nay, chúng tôi dự tính kỷ niệm Ngày số Pi vào thứ Sáu và xem xét một số ít thuật toán sử dụng http://pyalgoviz.appspot.com. Do COVID-19, lễ kỷ niệm Pi-Day trực tiếp đã bị hủy và thay vào đó chúng tôi đã thực thi một cuộc gọi điện video với toàn bộ Đội kỹ thuật Amsterdam tại Uber Amsterdam. Chúng tôi đã triển khai một vài lần chạy trực tiếp trên một ước tính và tác dụng hoàn toàn có thể được tìm thấy bên dưới .
Vào năm 2006, https://en.wikipedia.org/wiki/Akira_Haraguchi đọc 100.000 chữ số Pi từ bộ nhớ, mất 16 giờ. Bạn hoàn toàn có thể đọc bao nhiêu ?
Trong bài viết này, tôi sẽ chỉ ra những cách tính số Pi khác nhau, bằng hình ảnh .

Ước lượng của Archimedes

Tính gần đúng số Pi bằng cách ước lượng chu vi hình tròn. Xem PyAlgoViz.

Thuật toán đầu tiên có trước máy tính và dựa trên sự hiểu biết hàng nghìn năm tuổi rằng tỷ lệ đường kính và chu vi của một vòng tròn dường như là không đổi, cụ thể là C = 2πr. Các ước tính cũ đưa ra giá trị cho Pi là 3 hoặc 256/81 (= 3.1604…) và điều đó đã ổn trong một thời gian dài.

Năm 1850, William Shanks mất 15 năm để ước tính số Pi có tới 707 chữ số. Hóa ra anh ấy đã mắc lỗi ở số lượng 527. Khiến toàn bộ thời hạn ” tiêu tốn lãng phí ” vào game show điện tử có vẻ như không có gì .
Archimedes là người tiên phong biến ước tính thành một quá trình lặp đi lặp lại, trong đó mỗi bước đưa ra một phép gần đúng tốt hơn bước trước đó. Thuật toán do Archimedes trình làng là một ví dụ phát minh sáng tạo của phép tính tái diễn, được ra mắt bởi những nhà Toán học Hy Lạp vào thời gian 2200 năm trước. Kể từ đó, người ta đã tìm ra nhiều cách khác để tính số Pi, tất yếu .

Ước lượng số Pi bằng cách sử dụng đa giác nội tiếp và ngoại tiếp.
Một tưởng tượng đơn thuần về chiêu thức ước đạt của Archimedes mà tôi tự nghĩ ra được đưa ra tại http://pyalgoviz.appspot.com/show?name=Geometry%20-%20Pi%20Archimedes, một website dành riêng cho hình ảnh hóa của nhiều thuật toán Khoa học Máy tính. Ước lượng chạy trong N bước, mỗi lần nhân đôi số tam giác nội tiếp trong vòng tròn. Đối với mỗi tam giác, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể tính độ dài của cạnh ngắn, điều này tương quan đến việc tính một căn bậc hai, tất yếu vẫn không dễ thực thi cách đây 2.200 năm nếu không có máy tính .

Ước tính chu vi của một hình tam giác bằng cách viết nó bằng các hình tam giác. Xem PyAlgoViz.
Hình trên cho thấy bước 2, sử dụng 8 hình chữ nhật, dẫn đến ước tính cho Pi là 3,12144515226. Càng thêm nhiều hình tam giác, tất cả chúng ta càng gần nhau hơn. Ở bước 6, chỉ với 128 hình tam giác, ước tính hiệu quả là 3,14127725093. Khá gần rồi. Sau 28 bước, chúng tôi đạt đến độ đúng chuẩn 15 chữ số, đủ để điều hướng hành tinh .

Dòng Gregory-Leibniz

Với những tân tiến gần đây hơn trong Toán học, cách tiếp cận Archimedes lặp đi lặp lại hoàn toàn có thể được chuyển thành một chuỗi xen kẽ như sau :

Chuỗi số này tiếp cận với số Pi khá chậm, thế cho nên tất cả chúng ta cần nhiều phép toán để ước tính tốt. Tuy nhiên, những kỹ thuật tối ưu hóa đã biết là https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80 .
Hình ảnh ngày càng tăng về mức độ mà mỗi bước tiến gần đến số Pi gần đúng được đưa ra trên http://pyalgoviz.appspot.com/show?name=Geometry%20-%20Pi%20Gregory-Leibniz%20Series. Hãy tự mình thử và sử dụng thanh cuộn ở trên cùng bên phải để “ từng bước qua thời hạn ” để xem đúng chuẩn cách tính gần đúng hoạt động giải trí :

Ước tính Pi bằng cách sử dụng Dòng Leibniz xen kẽ. Xem PyAlgoViz.
Trong cuốn tiểu thuyết “ Liên hệ ” của Carl Sagan, khi liệt kê số Pi trong cơ số 11, hoàn toàn có thể thấy một vòng tròn bên trong những chữ số của số Pi. Đây là một tin nhắn từ Người ngoài hành tinh. Bằng cách nào đó, phần này của https://math.stackexchange.com/questions/1104660/patterns-in-pi-in-contact chưa khi nào Open trong phiên bản điện ảnh .
Hình ảnh động mà tôi tạo ở trên cho thấy làm thế nào với mỗi bước, ước tính số Pi ngày càng gần hơn, đồng thời nhấn mạnh vấn đề góc nhìn xen kẽ của chuỗi .
Để hiển thị cách giảm lỗi theo từng bước theo thời hạn, tôi cũng tạo http://pyalgoviz.appspot.com/show?name=Geometry%20-%20Pi%20Gregory-Leibniz%20Series%20(Graph) tóm tắt những lần lặp lại theo thời hạn :

Tính gần đúng số Pi bằng chuỗi Gregory-Leibniz. Xem PyAlgoViz.

Mô phỏng Monte Carlo

Trước đó, tôi đã đề cập đến tỷ suất giữa chu vi và nửa đường kính là cố định và thắt chặt. Điều này cũng đúng với diện tích quy hoạnh mặt phẳng của một hình tròn trụ và hình vuông vắn mà nó nằm gọn bên trong. Đây là tiền đề của giải pháp Mô phỏng Monte Carlo để ước đạt số Pi .

Tính số Pi bằng cách ném phi tiêu ngẫu nhiên vào bảng. Xem PyAlgoViz.
Thuật toán còn được gọi là ” ném phi tiêu để tính số Pi “. Tôi đã tự động hóa thuật toán trong http://pyalgoviz.appspot.com/show?name=Geometry%20-%20Pi%20Monte%20Carlo, bằng cách chọn những điểm ngẫu nhiên bên trong hình vuông vắn, tô màu chúng, rồi đếm chúng. Trong hình trên, chúng tôi đã ném 5.000 phi tiêu vào bảng, có 3.942 phi tiêu tiếp đất bên trong vòng tròn và 1.058 phi tiêu bên ngoài nó. Điều này tạo ra ước tính Pi là 4 * 3,942 / 5.000 = 3,1536. Tất nhiên, bạn càng sắp xếp ngẫu nhiên những lần ném và ném càng nhiều phi tiêu thì bạn càng gần với ước tính đúng mực .

Monte Carlo tại Uber Amsterdam

Kết quả của cuộc thử nghiệm thực tế đầu tiên mà tôi dự định thực hiện với các đồng nghiệp của mình tại Uber Amsterdam là sử dụng một mảnh bìa cứng lớn và để các đồng nghiệp của tôi ném phi tiêu vào bảng một cách ngẫu nhiên.

Tính số Pi bằng cách ném phi tiêu ngẫu nhiên của Cô gái Vật lý.
Để tránh bất kể thành kiến ​ ​ nào về tiềm năng, những hình vuông vắn và hình tròn trụ sẽ được vẽ ở mặt sau và đôi lúc tôi cũng sẽ xoay bàn cờ. Về cơ bản, tôi đã định làm theo công thức được đưa ra trong https://www.youtube.com/watch?v=M34TO71SKGk hiển thị ở trên .
Do chủ trương thao tác tại nhà của toàn công ty do Covid-19 thực thi, chúng tôi chưa khi nào phải tự mình thử nghiệm này trong đời sống thực. Chúng tôi sẽ tự mình thử nghiệm này vào cuối năm nay và chắc như đinh là vào khoảng chừng Pi-Day 2021 .
Năm ngoái, Người ủng hộ nhà tăng trưởng đám mây của Google https://www.linkedin.com/in/yuryu/ bộ https://www.seattletimes.com/business/technology/google-employee-breaks-guinness-world-record-calculating-31-4-trillion-digits-of-pi/ bằng cách tính toán số Pi tới 31,4 nghìn tỷ chữ số .

Buffon’s Needles

Hàng trăm chiếc kim được ném ngẫu nhiên trên một bàn xấp xỉ số Pi. Xem PyAlgoViz.
Tương tự như mô phỏng Monte Carlo, ý tưởng sáng tạo tính số Pi của Buffon cũng dựa trên thời cơ. Thuật toán diễn ra như sau :

1. Đo L = Chiều dài của kim được sử dụng trong thí nghiệm này
2. Vẽ các đường thẳng song song trên bàn ở khoảng cách 2 * L
3. Đếm N = Số kim ném ngẫu nhiên
4. Đếm T = Số kim chạm vào bất kỳ đường nào

Dưới đây là hai hình ảnh về thiết lập mà chúng tôi đã sử dụng cho Pi-Day, tại Uber Amsterdam :

Tính số Pi bằng cách ném ngẫu nhiên 200 que tính vào một hộp. Huyền diệu!
Kết quả chúng tôi nhận được từ những thử nghiệm bằng tay thủ công dẫn đến ước tính cho Pi là 3,12, 3,12, 3,27 và 4,0. Nguyên nhân ở đầu cuối là do ném một bó que gần nhau trong hộp, tất yếu là cản trở sự ngẫu nhiên .

Tóm lại, những thí nghiệm bằng tay thủ công của chúng tôi về việc tính số Pi bằng kim của Buffon với vị trí đặt kim ngẫu nhiên độc lạ đã mang lại tác dụng 100 / 31, 200 / 62 và 200 / 61. Điều này làm cho ( 3,12 + 3,12 + 3,27 ) / 3 = 3,17. Không xấu cả !
Nếu bạn thử tưởng tượng tại http://pyalgoviz.appspot.com/show?name=Geometry%20-%20Pi%20Buffon, bạn sẽ nhận thấy rằng bạn cần rất nhiều kim để đến gần ước tính tốt của Pi. Trên trong thực tiễn, bạn cần một bộ ngẫu nhiên tốt và nhiều kim hơn PyAlgoViz hoàn toàn có thể tương hỗ để có câu vấn đáp hài hòa và hợp lý .
Tại vị trí 17.387.594.880 của Pi bạn sẽ tìm thấy dãy số 0123456789 .

Kết luận

Pi là một số lượng kỳ diệu và hoàn toàn có thể được tìm thấy trên quốc tế theo những cách đáng kinh ngạc. Bằng cách nào đó, 1 số ít người nhận thấy điều quan trọng là phải ghi nhớ số Pi đến hàng trăm nghìn chữ số hoặc tính số Pi đến hàng nghìn tỷ chữ số. Tính hữu dụng của rất nhiều chữ số hoàn toàn có thể được tranh luận .
Các thống kê giám sát có độ đúng chuẩn cao nhất của Phòng thí nghiệm sức đẩy phản lực của NASA, được sử dụng để đưa tất cả chúng ta lên mặt trăng và sao Hỏa, https://www.jpl.nasa.gov/edu/news/2016/3/16/how-many-decimals-of-pi-do-we-really-need/, tức là, 3,141592653589793. BTW, đây là độ đúng mực mà bạn nhận được khi chạy “ print ( math.pi ) ” trong Python. Vì vậy, Python thực sự hoàn toàn có thể đưa bạn đến sao Hỏa một cách đáng đáng tin cậy. Trên thực tiễn, để thống kê giám sát chu vi của hàng loạt thiên hà một cách đúng chuẩn, bạn vẫn sẽ chỉ cần 39 hoặc 40 chữ số thập phân .

Chúc mừng sinh nhật Pi-eh-

Ngày 14 tháng 3 là Ngày số Pi, nhưng cũng là ngày sinh của những người nổi tiếng như Albert Einstein, Johann Strauss, Michael Caine, Stephen Curry, Nicolas Anelka, Billy Crystal, và Quincy Jones.

Ngày sinh của tôi, không phải ở Mỹ mà theo ký hiệu châu Âu, xảy ra ở vị trí 95.062.032 của Pi. Ở đâu https://www.angio.net/pi/piquery ?
Chúc mọi người ngày niềm hạnh phúc .