Viết Phương Trình Đường Tròn Biết Tâm Và Bán Kính, Đường Kính

Viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính là bài toán ngược của bài toán tìm tâm và bán kính của đường tròn khi biết trước phương trình của nó. Đối với dạng này thì có thể bài toán cho trước tâm và bán kính, cũng có thể cho gián tiếp tâm và bán kính, tức là chúng ta có thể tìm được tâm và bán kính qua một số dữ kiện nào đó của đề bài.

Đang xem : Viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính
Phương trình đường tròn như những bạn đã biết có hai dạng phương trình đường tròn trong chương trình học, tuy nhiên ở trong bài giảng này vì tất cả chúng ta đã biết tâm và bán kính nên sẽ sử dụng dạng : USD ( x-a ) ^ 2 + ( y-b ) ^ 2 = R ^ 2 USD. Nếu bạn nào không biết cách nhận dạng của phương trình đường tròn thì xem bài giảng này nhé. Giờ tất cả chúng ta cùng tìm hiểu và khám phá 1 số ít bài tập viết phương trình đường tròn .

Bài tập viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính

Bài tập 1: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau đây:

a. ( C ) có tâm là USD I ( – 2 ; 3 ) USD và bán kính USD R = 2 USD
b. ( C ) có tâm là USD I ( – 2 ; 3 ) USD và đi qua điểm USD M ( 2 ; – 3 ) USD .
c. ( C ) có đường kính là $ AB $ với $ A ( 1 ; 1 ) USD và $ B ( 7 ; 5 ) USD

Hướng dẫn giải:

a. Với ý (a) này các bạn thấy quá đơn giản rồi, chỉ việc lắp vào phương trình đường tròn là có ngay thôi.

Ta có phương trình đường tròn có tâm là USD I ( – 2 ; 3 ) USD và bán kính USD R = 2 USD là :
USD ( x + 2 ) ^ 2 + ( y-3 ) ^ 2 = 4 USD

b. Ý (b) này ta đã biết tâm của đường tròn, chúng ta phải đi tìm bán kính. Vì đường tròn đi qua điểm $M$ nên độ dài đoạn $IM = R$ .

Ta có : USD vec { IM } = ( 4 ; – 6 ) Rightarrow R = IM = sqrt { 4 ^ 2 + ( – 6 ) ^ 2 } = sqrt { 52 } = 2 sqrt { 13 } $
Phương trình đường tròn có tâm USD I $ và đi qua điểm USD M $ là : USD ( x + 2 ) ^ 2 + ( y-3 ) ^ 2 = 52 USD

c.

Xem thêm : Soạn Bài Ôn Tập Văn Nghị Luận Lớp 8, Soạn Văn 8 Vnen Bài 32 : Ôn Tập Văn Nghị Luận
( C ) có đường kính là $ AB $ với $ A ( 1 ; 1 ) USD và $ B ( 7 ; 5 ) USD
Đường tròn ( C ) có đường kính là đoạn $ AB $ nên trung điểm của $ AB $ chính là tâm của đường tròn đường kính USD AB $ .
Gọi USD I ( a ; b ) USD là trung điểm của $ AB $ thì tọa độ của USD I $ là :

$left{egin{array}{ll}a=frac{x_A+x_B}{2}\b=frac{y_A+y_B}{2}end{array}
ight.Leftrightarrowleft{egin{array}{ll}a=frac{1+7}{2}\b=frac{1+5}{2}end{array}
ight.Leftrightarrowleft{egin{array}{ll}a=4\b=3end{array}
ight.$

Vậy tọa độ điểm USD I $ là : USD I ( 4 ; 3 ) USD
Bán kính của đường tròn chính là đoạn USD IA USD. Ta có USD vec { IA } = ( – 3 ; – 2 ) Rightarrow R = IA = sqrt { 13 } $

Phương trình đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện trên là: $(x-4)^2+(y-3)^2=13$

 Bài tập 2: Tìm phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. Biết tâm của đường tròn là điểm USD I $ là giao điểm của hai đường thẳng USD d_1 USD và USD d_2 USD có phương trình : USD x + y = 2 $ và USD 2 x – y = 1 $ và bán kính USD R = 3 $ .
b. Biết tâm là trung điểm của đoạn $ AB $ và đường kính đường tròn bằng khoảng cách từ điểm $ A $ tới đường thẳng USD Delta : 4 x – 3 y + 11 = 0 USD. Với tọa độ của 2 điểm $ A, B $ là : $ A ( 2 ; 3 ) USD và $ B ( 4 ; 1 ) USD .

Hướng dẫn giải:

Đọc bài 2 này những bạn thấy khác bài 1 rất nhiều, việc viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính không ở dạng trực tiếp nữa mà tất cả chúng ta phải tìm tâm và bán kính qua dữ kiện trung gian. Đòi hỏi phải có nhiều bước biến hóa hơn .

a. Với ý này bán kính của đường tròn đã biết, chúng ta cần tìm tọa độ của tâm đường tròn. Việc tìm tâm của đường tròn khá đơn giản. Tọa độ tâm của đường tròn chính là nghiệm của hệ phương trình được lập bởi phương trình đường thẳng $d_1$ và $d_2$.

Gọi $I(a;b)$ là tâm của đường tròn (C), tọa độ của $I$ sẽ thỏa mãn hệ:

$left{egin{array}{ll}x+y=2\2x-y=1end{array}
ight.Leftrightarrowleft{egin{array}{ll}3x=3\y=2x-1end{array}
ight.Leftrightarrowleft{egin{array}{ll}x=1\y=1end{array}
ight.$

Do đó tọa độ của tâm USD I $ là : USD I ( 1 ; 1 ) USD
Phương trình đường tròn tâm USD I $ bán kính USD R = 3 $ là : USD ( x-1 ) ^ 2 + ( y-1 ) ^ 2 = 9 USD

 b. Việc tìm tâm ở ý này cũng không có gì khó, tuy nhiên để tìm được bán kính thì lại đòi hỏi phải tư duy hơn một chút. Các bạn cần phải nhớ cách tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong mặt phẳng.

Xem thêm : Các Phương Trình Hóa Học Vô Cơ Lớp 9, Cách Viết Phương Trình Hóa Học Hay, Chi Tiết

Tìm tâm của đường tròn (C):

Tọa độ tâm USD I ( a ; b ) USD của đường tròn là trung điểm của $ AB $ nên ta có :

$left{egin{array}{ll}a=frac{2+4}{2}\b=frac{3+1}{2}end{array}
ight.Leftrightarrowleft{egin{array}{ll}a=3\b=2end{array}
ight.$ $Rightarrow I(3;2)$

Tìm bán kính của đường tròn (C):

Khoảng cách từ điểm $ A ( 2 ; 3 ) USD tới đường thẳng USD Delta : 4 x – 3 y + 11 = 0 $ là :
USD d_ { ( A, Delta ) } = frac { | 4.2 – 3.3 + 11 | } { sqrt { 4 ^ 2 + 3 ^ 2 } } = frac { 10 } { 5 } = 2 USD

Vì khoảng cách từ điểm $A$ tới đường thẳng $Delta$ là đường kính của đường tròn $(C)$ nên bán kính $R$ của đường tròn $(C)$ là: $R=frac{d_{(A,Delta)}}{2}=frac{2}{2}=1$

Phương trình đường tròn cần tìm là : USD ( x-3 ) ^ 2 + ( y-2 ) ^ 2 = 1 USD

Lời kết

Trong bài giảng trên thầy đã nỗ lực lựa chọn 2 bài tập tương thích nhất để những bạn hoàn toàn có thể hiểu được cách tìm phương trình đường tròn biết tâm và bán kính. Còn nhiều dạng viết phương trình đường tròn nữa, thầy sẽ gửi tới những bạn trong những bài giảng sau. Các bạn hãy chờ đón nhé .

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình

Điều hướng bài viết