Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu cực hay

Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu cực hay

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu – dạng bài cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

+ Phương trình ( S ) : ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 + ( z-c ) 2 = R2 là phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ; c ), bán kính R
+ Phương trình ( S ) : x2 + y2 + z2-2ax-2by-2cz+d = 0 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo a2 + b2 + c2-d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I ( a ; b ; c ) ; bán kính

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

a ) ( x-2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + z2 = 5
b ) x2 + y2 + z2-2x+4y-6z+1 = 0
c ) 3×2 + 3 y2 + 3 z2 – 6 x + 3 y + 21 = 0

Hướng dẫn:

a ) Phương trình ( x-2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + z2 = 5 có dạng
( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 + ( z-c ) 2 = R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm
I ( 2 ; – 3 ; 0 ) và bán kính R = √ 5 .
b ) Phương trình x2 + y2 + z2-2x+4y-6z+1 = 0 có dạng
x2 + y2 + z2-2ax-2by-2cz+d = 0 với a = 1 ; b = – 2 ; c = 3, d = 1
⇒ a2 + b2 + c2-d = 13 > 0
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I ( 1 ; – 2 ; 3 ) và bán kính R = √ 13 .
c ) Phương trình 3×2 + 3 y2 + 3 z2 – 6 x + 3 y + 21 = 0
⇔ x2 + y2 + z2-2x+y+7 = 0
Phương trình có dạng x2 + y2 + z2-2ax-2by-2cz+d = 0 với
a = 1 ; b = ( – 1 ) / 2 ; c = 0 ; d = 7 ⇒ a2 + b2 + c2-d = ( – 23 ) / 4 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a ) x2 + y2 + z2-2mx+2 ( m + 1 ) y-4z+1 = 0
b ) x2 + y2 + z2-2 ( m-3 ) x-4mz+8 = 0

Hướng dẫn:

a ) Phương trình x2 + y2 + z2-2mx+2 ( m + 1 ) y-4z+1 = 0 có
a = m ; b = – ( m + 1 ) ; c = 2 ; d = 1 .
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2 + b2 + c2-d > 0
⇔ mét vuông + ( m + 1 ) 2 + 22-1 > 0 ⇔ 2 mét vuông + 2 m + 3 > 0 ⇔ m ∈ R .
b ) Phương trình x2 + y2 + z2-2 ( m-3 ) x-4mz+8 = 0 có a = m-3 ;
b = 0 ; c = 2 m ; d = 8
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2 + b2 + c2-d > 0
⇔ ( m-3 ) 2 + 4 mét vuông – 8 > 0 ⇔ 5 mét vuông – 6 m + 1 > 0

Quảng cáo

Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình x2 + y2 + z2 + 2 ( m + 2 ) x-2 ( m-3 ) z + m2-1 = 0 có :
a = – ( m + 2 ) ; b = 0 ; c = m-3 ; d = m2-1
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2 + b2 + c2-d > 0
⇔ ( m + 2 ) 2 + ( m-3 ) 2 – mét vuông + 1 > 0 ⇔ m2-2m+14 > 0 ⇔ m ∈ R .
Khi đó, bán kính mặt cầu là :

Dấu bằng xảy ra khi m = 1 .
Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R = √ 13 .

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

   A. x2+y2+z2-2x=0

   B. x2+y2 – z2+2x-y+1=0

   C. 2×2+2y2 = (x+y)2 – z2+2x-1

   D. (x+y)2 = 2xy – z2 – 1

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình x2 + y2 + z2-2ax-2by-2cz+d = 0 là phương trình mặt cầu ⇔ a2 + b2 + c2-d > 0

Bài 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?

   A. x2 + y2 + z2 + 2x – 2y + 1 = 0.

   B. x2 + y2 + z2 – 2x = 0.

   C. 2×2 + 2y2 = (x + y)2 – z2 + 2x – 1.

   D. ( x + y)2 = 2xy – z2 + 1 – 4x.

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Quảng cáo

Bài 3: Cho các phương trình sau:

( x – 1 ) 2 + y2 + z2 = 1
x2 + ( 2 y – 1 ) 2 + z2 = 4
x2 + y2 + z2 + 1 = 0
( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y – 1 ) 2 + 4 z2 = 16
Số phương trình là phương trình mặt cầu là :

   A. 1   B. 3

   C. 4   D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Các phương trình mặt cầu là :
( x – 1 ) 2 + y2 + z2 = 1
x2 + ( 2 y – 1 ) 2 + z2 = 4

Bài 4: Mặt cầu ( S ): x2+ y2+ z2- 2x + 10y + 3z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

   A. (3; – 2; – 4)   B. ( 2;1;9)

   C. ( 4; – 1;0)   D.(- 1;3; – 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Thử trực tiếp đáp án, điểm ( 2 ; 1 ; 9 ) thỏa mãn nhu cầu phương trình mặt cầu .

Bài 5: Mặt cầu ( S ): x2+ y2 + z2 – 4x + 1 = 0 có tọa độ tâm và bán kính R là:

   A. I(-2;0;0), R = √3

   B. I(2;0;0), R = √3

   C. I(0;2;0), R = √3

   D. I(2;0;0), R = 3

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

( S ) : x2 + y2 + z2 – 4 x + 1 = 0
⇔ ( x-2 ) 2 + y2 + z2 = 3
Phương trình có tâm I ( 2 ; 0 ; 0 ), bán kính R = √ 3

Bài 6: Phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;3), bán kình R=3 là:

   A. (x + 1)2+ ( y – 2)2 + ( z + 3)2 = 9

   B. ( x + 1)2+ ( y – 2)2+ ( z + 3)2 = 3

   C. ( x – 1)2+ ( y + 2)2 + ( z – 3)2 = 9

   D. ( x + 1)2+ ( y – 2)2+ ( z + 3)2 = 9

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình mặt cầu tâm I ( a ; b ; c ), bán kính R là :
( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 + ( z-c ) 2 = R2

Bài 7: Mặt cầu ( S ): ( x + y)2= 2xy – z2 + 1 – 4x có tâm là:

   A. I(2;0;0)   B. I(4;0;0)

   C. I(-4;0;0)   D. I(-2;0;0)

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

( x + y ) 2 = 2 xy – z2 + 1-4 x ⇔ x2 + y2 + z2 + 4 x = 1
Phương trình có a = – 2 ; b = 0 ; c = 0 ⇒ I ( – 2 ; 0 ; 0 )

Bài 8: Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I(-1;1;0) ?

   A. x2+ y2 + z2+ 2x – 2y + 1 = 0.

   B. x2 + y2+ z2 – 2x + 2y = 0.

   C. 2×2 + 2y2 = ( x + y)2 – z2+ 2x – 1 – 2xy.

   D. ( x + y)2 = 2xy – z2+ 1 – 4x.

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

A. x2+ y2 + z2 + 2x – 2y + 1 = 0.

⇔ ( x + 1 ) 2 + ( y-1 ) 2 + z2 = 1
Phương trình có tâm I ( – 1 ; 1 ; 0 ), bán kính R = 1

B. x2 + y2 + z2 – 2x + 2y = 0.

⇔ ( x-1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + z2 = 2
Phương trình có tâm I ( 1 ; – 1 ; 0 ), bán kính R = √ 2

C.2×2+ 2y2= ( x + y )2 – z2 + 2x – 1 – 2xy.

⇔ x2 + y2 + z2-2x+1 = 0
⇔ ( x-1 ) 2 + y2 + z2 = 0
Đây không phải là phương trình mặt cầu .

D. (x + y)2= 2xy – z2+ 1 – 4x.

⇔ x2 + y2 + z2 + 4 x – 1 = 0
⇔ ( x + 2 ) 2 + y2 + z2 = 5
Phương trình có tâm I ( – 2 ; 0 ; 0 ), bán kính R = √ 5

Bài 9: Gọi I là tâm mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z – 2)2= 4. Độ dài OI→ (O là gốc tọa độ) bằng?

   A. 1   B. 4

   C. 2   D. √2

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Mặt cầu ( S ) : x2 + y2 + ( z – 2 ) 2 = 4 có tâm I ( 0 ; 0 ; 2 ) ⇒ OI = 2

Bài 10: Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ ?

   A. x2+ y2 + z2 – 6x = 0.

   B. x2 + y2 + z2 – 6y = 0.

   C. x2 + y2 + z2 – 6z = 0.

   D. x2 + y2 + z2 = 9.

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Giao điểm của 3 trục tọa độ là điểm O ( 0 ; 0 ; 0 )
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm O ( 0 ; 0 ; 0 ) và bán kính R = 3 là
x2 + y2 + z2 = 9

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu – dạng bài nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp