Đặc điểm tam giác đều, tính chất, công thức và diện tích

Một tam giác đều nó là một đa giác có ba cạnh, trong đó tất cả đều bằng nhau; đó là họ có cùng một biện pháp Đối với đặc điểm đó, nó đã được đặt tên của bình đẳng (các cạnh bằng nhau).

Hình tam giác là đa giác được coi là đơn thuần nhất trong hình học, chính bới chúng được hình thành ba cạnh, ba góc và ba đỉnh. Trong trường hợp tam giác đều, bằng cách có những cạnh bằng nhau, ý niệm rằng ba góc của nó cũng sẽ là .

Chỉ số

• 1 Đặc điểm của hình tam giác đều
  • 1.1 Các mặt bằng nhau
  • 1.2 Linh kiện
• 2 thuộc tính
  • 2.1 Góc nội bộ
  • 2.2 Góc bên ngoài
  • 2.3 Tổng của các bên
  • 2.4 Các mặt đồng dạng
  • 2.5 góc đồng dạng
  • 2.6 Phép chia, trung tuyến và trung gian là trùng nhau
  • 2.7 Bộ chia và chiều cao là trùng khớp
  • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu trùng khớp
• 3 Cách tính chu vi?
• 4 Cách tính chiều cao?
• 5 Cách tính các cạnh?
• 6 Cách tính diện tích?
• 7 bài tập
  • 7.1 Bài tập đầu tiên
  • 7.2 Bài tập thứ hai
  • 7.3 Bài tập thứ ba
• 8 tài liệu tham khảo

Đặc điểm của tam giác đều

Hai bên bằng nhau

Các tam giác đều là những hình phẳng và đóng, gồm ba đoạn thẳng. Hình tam giác được phân loại theo đặc thù của chúng, tương quan đến những cạnh và góc của chúng ; những đẳng thức được phân loại bằng cách sử dụng thước đo những cạnh của nó làm tham số, vì chúng giống hệt nhau, nghĩa là chúng đồng dạng .Tam giác đều là một trường hợp đơn cử của tam giác cân vì hai cạnh của nó đồng dạng. Đó là nguyên do tại sao tổng thể những tam giác túc tắc là những cân đối, nhưng không phải toàn bộ những tam giác đều sẽ là những tam giác đều .Theo cách này, những tam giác đều có cùng tính chất của một tam giác cân .Các tam giác đều cũng hoàn toàn có thể được phân loại theo biên độ của những góc bên trong của chúng là tam giác góc bằng nhau, có ba cạnh và ba góc bên trong có cùng số đo. Các góc sẽ sắc nét, nghĩa là chúng sẽ nhỏ hơn 90 o .

Linh kiện

Tam giác nói chung có một số ít dòng và điểm tạo nên nó. Chúng được sử dụng để tính diện tích quy hoạnh, cạnh, góc, trung tuyến, đường phân giác, vuông góc và chiều cao .

• Trung vị: là một đường rời khỏi điểm giữa của một bên và chạm tới đỉnh đối diện. Ba trung vị đồng quy tại một điểm gọi là centroid hoặc centroid.
• Người chia sẻ: là một tia chia góc của các đỉnh thành hai góc có kích thước bằng nhau, đó là lý do tại sao nó được gọi là trục đối xứng. Tam giác đều có ba trục đối xứng.

Trong tam giác đều, bisector được vẽ từ đỉnh của một góc tới cạnh đối lập của nó, cắt nó tại điểm giữa của nó. Những điều này ưng ý ở điểm được gọi là sự khuyến khích .

• Các mediatrix: là một đoạn vuông góc với cạnh của tam giác bắt nguồn từ giữa này. Có ba trung gian trong một hình tam giác và chúng đồng quy ở một điểm gọi là Circuncentro.
• Chiều cao: là đường thẳng đi từ đỉnh sang cạnh đối diện và đường này cũng vuông góc với cạnh đó. Tất cả các tam giác đều có ba độ cao trùng khớp tại một điểm gọi là orthocenter.

Thuộc tính

Tính chất chính của những tam giác đều là chúng sẽ luôn là những tam giác cân, vì những cân đối được tạo bởi hai cạnh đồng dạng và ba cạnh bằng nhau .Theo cách đó, những tam giác đều được thừa kế toàn bộ những thuộc tính của tam giác cân :

Góc nội bộ

Tổng những góc bên trong luôn bằng 180 o, và vì tổng thể những góc của nó đều đồng dạng, nên mỗi góc sẽ đo 60 o .

Góc ngoài

Tổng những góc bên ngoài sẽ luôn bằng 360 o, do đó mỗi góc bên ngoài sẽ đo được 120 o. Điều này là do những góc bên trong và bên ngoài là bổ trợ, nghĩa là thêm chúng sẽ luôn bằng 180 o .

Tổng của các bên

Tổng những số đo của hai bên phải luôn luôn lớn hơn số đo của bên thứ ba, nghĩa là a + b > c, trong đó a, b và c là số đo của mỗi bên .

Bên đồng thuận

Tam giác đều có ba cạnh có cùng số đo hoặc độ dài ; nghĩa là chúng đồng dạng. Do đó, trong mục trước tất cả chúng ta có a = b = c .

Góc đồng dạng

Tam giác đều cũng được gọi là tam giác đều, chính bới ba góc bên trong của chúng đồng dạng với nhau. Điều này là do tổng thể những mặt của nó cũng có cùng một giải pháp .

Bisector, median và mediatrix là trùng khớp

Kẻ chia đôi cạnh của một hình tam giác thành hai phần. Trong những tam giác đều cạnh đó sẽ được chia thành hai phần đúng chuẩn bằng nhau, nghĩa là tam giác sẽ được chia thành hai tam giác vuông đồng dạng .Do đó, bisector được vẽ từ bất kể góc nào của một tam giác đều cạnh trùng với trung tuyến và bisector của cạnh đối lập của góc đó .

Ví dụ:

Hình dưới đây cho thấy tam giác ABC có trung điểm D chia một cạnh của nó thành hai đoạn AD và BD .

Khi bạn vẽ một đường thẳng từ điểm D đến đỉnh đối lập, theo định nghĩa, bạn nhận được CD trung vị, tương đối với đỉnh C và cạnh AB .Do đoạn CD chia tam giác ABC thành hai tam giác bằng CDB và CDA, điều đó có nghĩa là tất cả chúng ta sẽ có trường hợp đồng dạng : cạnh, góc, cạnh và do đó CD cũng sẽ là phân giác của BCD .Khi vẽ đoạn CD, chia góc đỉnh thành hai góc bằng nhau là 30 o, góc của đỉnh A liên tục đo 60 o và CD thẳng tạo thành một góc 90 o so với điểm giữa D .CD phân đoạn tạo thành những góc có cùng số đo cho những tam giác ADC và BDC, nghĩa là chúng bổ trợ theo cách mà phép đo của mỗi số sẽ là :Med. ( ADB ) + Med. ( ADC ) = 180 o 2 * Trung bình ( ADC ) = 180 oTrung bình ( ADC ) = 180 o 2Trung bình ( ADC ) = 90 o .Và do đó, bạn có rằng phân khúc CD cũng là phân loại của bên AB .

Các bisector và chiều cao là trùng hợp

Khi bạn vẽ đường phân giác từ đỉnh của một góc tới trung điểm của cạnh đối lập, nó sẽ chia tam giác đều thành hai tam giác đồng dạng .Theo cách mà một góc 90 được hình thànho ( thẳng ). Điều này chỉ ra rằng đoạn đường này trọn vẹn vuông góc với cạnh đó và theo định nghĩa, đường thẳng đó sẽ là chiều cao .Theo cách này, đường phân giác của bất kể góc nào của tam giác đều trùng với chiều cao tương đối ở phía đối lập của góc đó .

Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu trùng khớp

Khi chiều cao, trung vị, bisector và bisector được trình diễn cùng một lúc bởi cùng một phân đoạn, trong một tam giác đều, những điểm gặp gỡ của những phân đoạn này – the orthocenter, barycenter, incenter và cyclcenter -, sẽ ở cùng một điểm :

Cách tính chu vi?

Chu vi của một đa giác được tính bằng tổng của những cạnh. Vì trong trường hợp này, tam giác đều có tổng thể những cạnh của nó có cùng số đo, chu vi của nó được tính theo công thức sau :P. = 3 * bên .

Cách tính chiều cao?

Vì chiều cao là đường thẳng vuông góc với đáy, nên nó chia thành hai phần bằng nhau bằng cách lê dài tới đỉnh đối lập. Do đó, hai tam giác vuông bằng nhau được hình thành .Chiều cao ( h ) đại diện thay mặt cho phía đối lập ( a ), 50% của AC bên cạnh ( b ) và bên BC đại diện thay mặt cho cạnh huyền ( c ) .

Sử dụng định lý Pythagore, bạn hoàn toàn có thể xác lập giá trị của chiều cao :một2 + b2 = c2Ở đâu :một2 = độ cao ( h ) .b2 = bên b / 2 .c2 = bên a .Thay thế những giá trị này trong định lý Pythagore và xóa chiều cao tất cả chúng ta có :h2 + ( l / 2 ) 2 = = tôi2h2 + tôi2 / 4 = tôi2h2 = = tôi2 – tôi2 / 4h2 = ( 4 * tôi2 – tôi2 ) / 4h2 = = 3 * tôi2 / 4√ h2 = √ ( 3 * tôi2 / 4 )

Nếu đã biết góc tạo bởi những cạnh đồng dạng, độ cao ( được bộc lộ bằng một chân ) hoàn toàn có thể được tính bằng cách vận dụng những tỷ suất lượng giác .Các chân được gọi là đối lập hoặc liền kề tùy thuộc vào góc được lấy làm tham chiếu .Ví dụ, trong hình trước, cathetus h sẽ đối lập với góc C, nhưng tiếp giáp với góc B :Do đó, chiều cao hoàn toàn có thể được tính bằng :

Cách tính các mặt?

Có những trường hợp không biết những số đo của những cạnh của tam giác, nhưng chiều cao của chúng và những góc được tạo thành trong những đỉnh .Để xác lập diện tích quy hoạnh trong những trường hợp này, cần vận dụng những tỷ suất lượng giác .Biết góc của một trong những đỉnh của nó, những chân được xác lập và tỷ suất lượng giác tương ứng được sử dụng :

Do đó, chân AB, sẽ đối lập với góc C, nhưng tiếp giáp với góc A. Tùy thuộc vào cạnh hoặc chân tương ứng với độ cao, phía bên kia bị xóa để lấy giá trị này, biết rằng trong một tam giác đều ba cạnh những bên sẽ luôn có cùng kích cỡ .

Cách tính diện tích?

Diện tích của những hình tam giác luôn được tính theo cùng một công thức, nhân số cơ sở theo chiều cao và chia cho hai :Diện tích = ( b * h ) ÷ 2

Biết rằng chiều cao được cho bởi công thức:

Bài tập

Bài tập đầu tiên

Các cạnh của một tam giác đều cạnh ABC đo 20 cm mỗi cạnh. Tính độ cao và diện tích quy hoạnh của đa giác đó .

Giải pháp

Để xác lập diện tích quy hoạnh của tam giác đều đó cần tính độ cao, biết rằng khi vẽ nó, nó chia tam giác thành hai tam giác vuông bằng nhau .Theo cách đó, định lý Pythagore hoàn toàn có thể được sử dụng để tìm ra nó :một2 + b2 = c2Ở đâu :a = 20/2 = 10 cm .b = chiều cao .c = 20 cm .Dữ liệu trong định lý được sửa chữa thay thế :102 + b2 = 202100 cm + b2 = 400 cm b2 = ( 400 – 100 ) cmb2 = 300 cmb = √ 300 cmb = 17,32 cm .Nghĩa là chiều cao của tam giác bằng 17,32 cm. Bây giờ hoàn toàn có thể tính diện tích quy hoạnh của tam giác đã cho bằng cách thay thế sửa chữa trong công thức :Diện tích = ( b * h ) ÷ 2Diện tích = ( 20 cm * 17,32 cm ) ÷ 2Diện tích = 346,40 cm2 2Diện tích = 173,20 cm2 .Một cách đơn thuần khác để giải bài tập là thay thế sửa chữa tài liệu theo công thức trực tiếp của khu vực, trong đó giá trị của chiều cao cũng được ngầm định :

Bài tập thứ hai

Ở một vùng đất có hình tam giác đều, hoa sẽ được trồng. Nếu chu vi của mảnh đất đó bằng 450 m, hãy tính số mét vuông bị chiếm bởi những bông hoa .

Giải pháp

Biết rằng chu vi của một tam giác tương ứng với tổng ba cạnh của nó và vì địa hình có hình dạng của một tam giác đều, ba cạnh của tam giác này sẽ có cùng số đo hoặc độ dài :P. = bên + bên + bên = 3 * tôi3 * tôi = 450 m .l = 450 m ÷ 3l = 150 m .Bây giờ chỉ cần tính độ cao của tam giác đó .Chiều cao chia tam giác thành hai tam giác vuông đồng dạng, trong đó một chân đại diện thay mặt cho chiều cao và nửa kia của chân đế. Theo định lý Pythagore, chiều cao hoàn toàn có thể được xác lập :một2 + b2 = c2Ở đâu :một = 150 m 2 = 75 m .c = 150 m .b = chiều caoDữ liệu trong định lý được sửa chữa thay thế 🙁 75 m ) 2 + b2 = ( 150 m ) 25.625 m + b2 = 22.500 mb2 = 22.500 m – 5.625 mb2 = 16.875 mb = √ 16.875 mb = 129,90 m .Vì vậy, khu vực sẽ chiếm những bông hoa sẽ là :Diện tích = b * h 2Diện tích = ( 150 m * 129,9 m ) 2Diện tích = ( 19,485 mét vuông ) ÷ 2Diện tích = 9.742,5 mét vuông

Bài tập thứ ba

Tam giác đều ABC được chia cho một đoạn thẳng đi từ đỉnh C của nó đến trung điểm D, nằm ở phía đối lập ( AB ). Đoạn này dài 62 mét. Tính diện tích quy hoạnh và chu vi của tam giác đều đó .

Giải pháp

Biết rằng tam giác đều được chia cho một đoạn thẳng tương ứng với độ cao, do đó tạo thành hai tam giác vuông đồng dạng, lần lượt cũng chia góc của đỉnh C thành hai góc có cùng số đo, 30 o mỗi người .Chiều cao tạo thành một góc 90 o so với đoạn AB và góc của đỉnh A sau đó sẽ đo 60 o .Sau đó sử dụng làm tham chiếu góc 30 o, CD chiều cao được thiết lập như một chân liền kề với góc và BC là cạnh huyền .Từ những tài liệu này, giá trị của một trong những cạnh của tam giác hoàn toàn có thể được xác lập, sử dụng những tỷ suất lượng giác :

Như trong tam giác đều, tổng thể những cạnh đều có cùng số đo hoặc độ dài, điều đó có nghĩa là mỗi cạnh của tam giác đều ABC bằng 71,6 mét. Biết rằng, hoàn toàn có thể xác lập khu vực của bạn :Diện tích = b * h 2Diện tích = ( 71,6 m * 62 m ) 2 Diện tích = 4.438,6 mét vuông 2Diện tích = 2.219,3 mét vuôngChu vi được tính bằng tổng ba cạnh của nó :

P = bên + bên + bên = 3 * tôi

P. = 3 * tôiP. = 3 * 71,6 mP = 214,8 m .

Tài liệu tham khảo

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Vẽ kỹ thuật: hoạt động vở.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Đại số và lượng giác với hình học phân tích. Giáo dục Pearson.
3. Hói, A. (1941). Đại số Havana: Văn hóa.
4. BARBOSA, J. L. (2006). Hình học Euclide phẳng. SBM. Rio de Janeiro, .
5. Coxford, A. (1971). Hình học A Phương pháp chuyển đổi. Hoa Kỳ: Anh em nhà Laidlaw.
6. Euclid, R. P. (1886). Các yếu tố hình học của Euclid.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Hình học và lượng giác.
8. León Fernández, G. S. (2007). Hình học tích hợp Viện công nghệ đô thị.
9. Sullivan, J. (2006). Đại số và lượng giác Giáo dục Pearson.

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn